Tọa độ của vector và các phép toán

Tọa độ của vector và các phép toán

4.7/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tọa độ của vector và các phép toán

Lý thuyết về Tọa độ của vector và các phép toán

Trong không gian tọa độ OxyzOxyz với các vectơ đơn vị i;j;ki;j;k trên các trục, cho một vectơ uu.

Ta nói bộ ba số (x;y;z)(x;y;z) là tọa độ của vectơ uu đối với hệ tọa độ OxyzOxyz và kí hiệu là u=(x;y;z)u=(x;y;z) hoặc u(x;y;z)u(x;y;z) khi và chỉ khi u=xi+yj+zk.u=xi+yj+zk.

Tính chất. Cho các vectơ u1=(x1;y1;z1),u2=(x2;y2;z2)u1=(x1;y1;z1),u2=(x2;y2;z2) và một số thực kk tùy ý, ta có:

u1=u2{x1=x2y1=y2z1=z2u1±u2=(x1±x2;y1±y2;z1±z2)ku1=(kx1;ky1;kz1)

Hai vectơ u1u2 khác vectơ-không được gọi là cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số k sao cho u1=ku2 hay x1:y1:z1=x2:y2:z2.

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho biểu diễn của vectơ a qua các vectơ đơn vị a=2i+k3j . Tọa độ của vectơ a

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: a=2i+k3j=2i3j+ka=(2;3;1) .

Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B(2;3;2) . Khi đó |AB| bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có AB=(3;4;3) suy ra |AB|=(3)2+42+(3)2=34 .

Câu 3: Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm A đối xứng với B(1;3;5) qua gốc tọa độ O(0;0;0) ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tọa độ điểm A đối xứng với B(a;b;c) qua gốc tọa độ O(0;0;0)  là A(a;b;c)

Khi đó tọa độ điểm A đối xứng với B(1;3;5) qua gốc tọa độ O(0;0;0)  là A(1;3;5)

Câu 4: Cho M(1;3;2) . Điểm M là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz . Tọa độ của M là :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;3)B(2;1;1) . Độ dài đoạn thẳng AB bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

AB=9+4+4=17 .

Câu 6: Trong không gian Oxzy cho 2 vectơ a(a1;a2;a3),b(b1;b2;b3),kR. Khẳng định nào sau đây là sai

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Các phép toán vecto trong SGK, ka=(ka1;ka2,ka3) Khẳng định k3a=(ka1;ka2,ka3) sai.

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;1),B(3;0;2) . Tính độ dài đoạn AB .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có AB=(31)2+(0+3)2+(21)2=22 .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ khác 0, a(a1;a2;a3),b(b1;b2;b3), khi đó ma+nb bằng : (m,nR)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo biểu thức tọa độ của các phép toán vecto ta có
ma+nb=(ma1+nb1;ma2+nb2;ma3+nb3)

Câu 9: Cho bốn vectơ a=(2;0;3),b=(3;18;0),c=(2;0;2)x=2ab3+3c. Trong các bộ số sau, bộ số nào là tọa độ của x ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: {a=(2;0;3)b=(3;18;0)c=(2;0;2){2a=(4;0;6)b3=(1;6;0)3c=(6;0;6)
x=2ab3+3c=(11;6;0). Vậy x=(11;6;0)

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương pháp: Điểm M(a;b;c) có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: M1(a;0;0),M2(0;b;0)M3(0;0;c) .

Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là Q(0;2;0)

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B(2;3;2) . Vectơ AB có tọa độ là  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

AB=(1;2;3) .

 

Câu 12: Cho điểm M(1;2;3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a=(2;3;1)b=(1;0;1) . Côsin góc giữa hai vectơ ab bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Côsin góc giữa hai vectơ ab là: cos(a,b)=a.b|a|.|b| =114.2=127 .

Câu 14: Cho u=(1;1;2). Giá trị của a, b sao cho v=(2;a;b) cùng phương với u

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

u,v cùng phương với nhau 12=1a=2ba=2;b=4

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các véctơ a(3;2;1),b(1;1;5), tọa độ véctơ c=ab là 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu a(xa,ya,za)b(xb,yb,zb) thì c=ab=(xaxb;yayb;zazb)

Câu 16: Trong không gian, cho hình bình hành ABCDAB=(1;1;2) . Tọa độ CD có thể là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

ABCD là hình bình hành nên CD=AB=(1;1;2),

Câu 17: Cho u=(1;0;3), tọa độ v=2u

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có v=(a;b;c)
v=2u{a=2(1)b=2.0c=2.3v=(2;0;6)

Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1;1) . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hình chiếu của A(3;1;1) lên mặt phẳng (Oyz) là điểm N(0;1;1) .

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho MA=kMB,MB0,kR{0} . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

MA=kMB,MB0,kR{0}, suy ra :
MA,MB là hai vectơ cùng phương nhưng giá của chúng có thể trùng nhau, có thể song song nên A, M, B chưa chắc thẳng hàng (M không nằm giữa A, B) và MA=|k|MB
Chọn đáp án : ‘‘MA,MB là hai vectơ cùng phương’’

Câu 20: Cho điểm A(4;1;1) , B(0;2;3) . Độ dài đoạn thẳng AB bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có AB=(4;1;4) AB=|AB|=(4)2+12+42=33 .

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2);B(2;1;1). Độ dài đoạn AB bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

AB=(21)2+(1+1)2+(12)2=6.

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a=i+2j3k . Tìm tọa độ của vectơ

a .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ a=i+2j3ka=(1;2;3) .

Câu 23: Trong không gian Oxyz , điểm nào thuộc mặt phẳng (xOy) ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điểm thuộc mặt phẳng (xOy) sẽ có cao độ bằng 0. Từ đó, tachọn được Q(2;1;0) là điểm thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 24: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M(2;1;1) trên trục Oz có tọa độ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2;1;1) trên trục Oz có tọa độ là (0;0;1) .

Câu 25: Trong không gian cho u(2;1;1),v(6;3;3) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta thấy 62=31=31=3v=3u