Tọa độ của vector và các phép toán

Ta có: $\vec{a}=2\vec{i}+\vec{k}-3\vec{j}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=\left( 2;\,-3;\,1 \right)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;4;-3 \right)$ suy ra $\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{34}$ .

Tọa độ điểm $A$ đối xứng với $B\left( a;b;c \right)$ qua gốc tọa độ $O\left( 0;0;0 \right)$  là $A(-a;-b;-c)$

Khi đó tọa độ điểm $A$ đối xứng với $B\left( 1;3;-5 \right)$ qua gốc tọa độ $O\left( 0;0;0 \right)$  là $A(-1;-3;5)$

Vì $AB=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}$ .

Các phép toán vecto trong SGK, $k\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}},k{{a}_{3}} \right)$ Khẳng định ${{k}^{3}}\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}},k{{a}_{3}} \right)$ sai.

Ta có $AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0+3 \right)}^{2}}+{{\left( -2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{22}$ .

Theo biểu thức tọa độ của các phép toán vecto ta có
$m\,\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\left( m{{a}_{1}}+n{{b}_{1}};m{{a}_{2}}+n{{b}_{2}};m{{a}_{3}}+n{{b}_{3}} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a = \left( {2;0;3} \right)\\ \overrightarrow b = \left( { - 3; - 18;0} \right)\\ \overrightarrow c = \left( {2;0; - 2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\overrightarrow a = \left( {4;0;6} \right)\\ - \dfrac{{\overrightarrow b }}{3} = \left( {1;6;0} \right)\\ 3\overrightarrow c = \left( {6;0; - 6} \right) \end{array} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\dfrac{\overrightarrow{b}}{3}+3\overrightarrow{c}=\left( 11;6;0 \right)$. Vậy $\overrightarrow{x}=\left( 11;6;0 \right)$

Phương pháp: Điểm $M\left( a;b;c \right)$ có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: ${{M}_{1}}\left( a;0;0 \right),{{M}_{2}}\left( 0;b;0 \right)$ và ${{M}_{3}}\left( 0;0;c \right)$ .

Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là $Q\left( 0;2;0 \right)$

$\overrightarrow{AB}=\,\left( 1;\,2;\,3 \right)$ .

Côsin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$ $=\dfrac{-1}{\sqrt{14}.\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{7}}$ .

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau $\Rightarrow \dfrac{1}{-2}=\dfrac{-1}{a}=\dfrac{2}{b}\Rightarrow a=2;b=-4$

Nếu $\vec{a}\left( {{x}_{a}},{{y}_{a}},{{z}_{a}} \right)$ và $\vec{b}\left( {{x}_{b}},{{y}_{b}},{{z}_{b}} \right)$ thì $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=\left( {{x}_{a}}-{{x}_{b}};{{y}_{a}}-{{y}_{b}};{{z}_{a}}-{{z}_{b}} \right)$

$ABC{D}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{D}}=-\overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;2 \right)$,

Ta có $\overrightarrow{v}=\left( a;b;c \right)$
$\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-2\left( -1 \right) \\ & b=-2.0 \\ & c=-2.3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 2;0;-6 \right)$

Hình chiếu của $A\left( 3;\,-1;\,1 \right)$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là điểm $N\left( 0;\,-1;\,1 \right)$ .

$\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MB}\ne \overrightarrow{0},k\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, suy ra :
$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ là hai vectơ cùng phương nhưng giá của chúng có thể trùng nhau, có thể song song nên A, M, B chưa chắc thẳng hàng (M không nằm giữa A, B) và $MA=\left| k \right|MB$
Chọn đáp án : ‘‘$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ là hai vectơ cùng phương’’

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -4;1;4 \right)$ $\Rightarrow AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{33}$ .

$AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$.

Từ $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\left( -1;2;-3 \right)$ .

Điểm thuộc mặt phẳng $\left( xOy \right)$ sẽ có cao độ bằng 0. Từ đó, tachọn được $Q\left( 2\,;\,1\,;\,0 \right)$ là điểm thỏa yêu cầu đề bài.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 2\,;\,1\,;\,-1 \right)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là $\left( 0\,;\,0\,;\,-1 \right)$ .

Ta thấy $\dfrac{-6}{2}=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{3}{-1}=-3\Rightarrow \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$