Xác định yếu tố song song giữa đường và mặt

Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng $d$ songsong với mặt phẳng  $\left( \alpha  \right)$ ta chứng minh $d$ song song với một đường thẳng $d'$ nằm trong $\left( \alpha  \right)$.

Ví dụ: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $O$ và $O'$.

a) Chứng minh $OO'$ song song với các mặt phẳng $\left( ADF \right)$ và $\left( BCE \right)$.

b) Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\dfrac{1}{3}AE,BN=\dfrac{1}{3}BD$. Chứng minh $MN$ song song với $\left( CDEF \right)$.

Lời giải:

a) Ta có $OO'$ là đường trung bình của tam giác $BDF$ ứng với cạnh $DF$ nên $OO'\parallel DF$, $DF\subset \left( ADF \right)$

$\Rightarrow OO'\parallel \left( ADF \right)$.

Tương tự, $OO'$ là đường trung bình của tam giác $ACE$ ứng với cạnh $CE$ nên $OO'\parallel CE$, $CE\subset \left( CBE \right)\Rightarrow OO'\parallel \left( BCE \right)$.

b) Trong $\left( ABCD \right)$, gọi $I=AN\cap CD$

Do $AB\parallel CD$ nên $\dfrac{AN}{AI}=\dfrac{BN}{BD}\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac{1}{3}$.

Lại có $\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac{AM}{AE}$$\Rightarrow MN\parallel IE$. Mà $I\in CD\Rightarrow IE\subset \left( CDEF \right)\Rightarrow MN\parallel \left( CDEF \right)$.