Xác định yếu tố song song giữa đường và mặt

Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng \[d\] songsong với mặt phẳng  \[\left( \alpha  \right)\] ta chứng minh \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left( \alpha  \right)\].

Ví dụ: Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \[O\] và \[O'\].

a) Chứng minh \[OO'\] song song với các mặt phẳng \[\left( ADF \right)\] và \[\left( BCE \right)\].

b) Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm trên các cạnh \[AE,BD\] sao cho \[AM=\dfrac{1}{3}AE,BN=\dfrac{1}{3}BD\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[\left( CDEF \right)\].

Lời giải:

a) Ta có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[BDF\] ứng với cạnh \[DF\] nên \[OO'\parallel DF\], \[DF\subset \left( ADF \right)\]

\[\Rightarrow OO'\parallel \left( ADF \right)\].

Tương tự, \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[ACE\] ứng với cạnh \[CE\] nên \[OO'\parallel CE\], \[CE\subset \left( CBE \right)\Rightarrow OO'\parallel \left( BCE \right)\].

b) Trong \[\left( ABCD \right)\], gọi \[I=AN\cap CD\]

Do \[AB\parallel CD\] nên \[\dfrac{AN}{AI}=\dfrac{BN}{BD}\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac{1}{3}\].

Lại có \[\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac{AM}{AE}\]\[\Rightarrow MN\parallel IE\]. Mà \[I\in CD\Rightarrow IE\subset \left( CDEF \right)\Rightarrow MN\parallel \left( CDEF \right)\].