Tổng n số hạng của cấp số nhân

${{S}_{5}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}={{6}^{5}}-1$

${{S}_{4}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}={{6}^{4}}-1$

$\Rightarrow {{u}_{5}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}={{6}^{5}}-{{6}^{4}}=6480$ .

 Công bội của cấp số nhân là. $q=\dfrac{-6}{3}=-2$ . Ta có:
${{S}_{k}}=\dfrac{3. \left[ 1-{{\left( -2 \right)}^{k}} \right]}{1-\left( -2 \right)}=-16383\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{k}}=16384\Rightarrow k=14\Rightarrow {{u}_{14}}=-24576.$

. Ta có. ${{u}_{6}}=224\Leftrightarrow {{u}_{1}}{{q}^{5}}=224\Rightarrow q=2$ . Do ${{S}_{k}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right)$ nên ${{S}_{k}}=3577$
$\Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}\Rightarrow k=9$ . Suy ra $T=10. {{u}_{9}}=10. {{u}_{1}}. {{q}^{8}}=17920$

. Ta có ${{S}_{n}}={{u}_{1}}. \dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}$ nên theo giả thiết, ta có $5. \dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=200\Leftrightarrow {{3}^{n}}=81\Leftrightarrow n=4$
Suy ra ${{u}_{4}}={{u}_{1}}. {{q}^{3}}=135.$

. Ta có. $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\ {{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{2}}\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=10 \\ {{x}_{2}}q\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{2}}=2 \\ q=2 \end{array} \right.$
Suy ra ${{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{2}}}{q}=1\Rightarrow S=\dfrac{1. \left( 1-{{2}^{50}} \right)}{1-2}={{2}^{50}}-1$

 Ta có. ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4$ và ${{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20.$
Suy ra $q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5.$

Cách 1.

Ta có. ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4$ và ${{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20.$

Suy ra $q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{20}}={{u}_{1}}. {{q}^{19}}={{4. 5}^{19}}$.

Cách 2.

Ta có: $S_n = \dfrac{q^n - 1}{q- 1} u_1 = 5^n - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ \dfrac{u_1}{q - 1} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ u_1 = 4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow u_{20} = u_1 q^{19} =  4 \cdot 5^{19}$.

Ta có. ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4$ và ${{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20.$
Suy ra $q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{n}}={{4. 5}^{n-1}}$.

${{u}_{n}}$ là cấp số nhân nên ta có

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_3} = {u_1}.{q^2} = 16}\\ {{u_6} = {u_1}.{q^5} = 128} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{q^3} = 8}\\ {{u_1}.{q^2} = 16} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} q = 2\\ {u_1} = 4 \end{array} \right.$

Ta xét: ${ u _ n }+a=5({ u _{n-1}}+a)\Leftrightarrow { u _ n }=5{ u _{n-1}}+4a$

Kết hợp với đề bài $\Rightarrow 4a=6\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}$

Vậy ${ u _ n }=5{ u _{n-1}}+6\Leftrightarrow { u _ n }+\dfrac{3}{2} =5\left( { u _{n-1}}+\dfrac{3}{2} \right)$

Đặt ${ v _ n }={ u _ n }+\dfrac{3}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2}$ và ${ v _ n }=5{ v _{n-1}}$

Suy ra dãy số $({ v _ n })$ là cấp số nhân có ${ v _ 1 }=\dfrac{7}{2}$ , công bội $q=5$

$\begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}} \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}}-\dfrac{3}{2} \\ & \Rightarrow { u _ 6 }=10936. \\ \end{align}$

Từ đề bài suy ra $f(n)=8{ n ^ 2 }+14n+1$ là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức

$g(n)=a{ n ^ 2 }+bn+c$ sao cho ${ u _{n+1}}+g(n+1)=9\left[ { u _ n }+g(n) \right]$

$\begin{align} & \Rightarrow { u _{n+1}}+a{{(n+1)}^ 2 }+b(n+1)+c=9\left[ { u _ n }+a{ n ^ 2 }+bn+c \right] \\ & \Rightarrow { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a \\ \end{align}$

Mà ${ u _{n+1}}=9{ u _ n }+8{ n ^ 2 }+14n+1$ nên ta phải có:

$8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a=8{ n ^ 2 }+14n+1$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8a = 8\\ 8b - 2a = 14\\ 8c - b - a = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2\\ c = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow g(n) = {n^2} + 2n + \frac{1}{2}$

Do đó: ${ u _{n+1}}+{{(n+1)}^ 2 }+2(n+1)+\dfrac{1}{2} =9\left[ { u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right]$

Đặt ${ v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{7}{2} =\dfrac{17} 2$ và ${ v _{n+1}}=9{ v _ n }$

Suy ra $({ v _ n })$ là cấp số nhân có ${ v _ 1 }=\dfrac{17} 2$ , công bội $q=9$

$\Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{17} 2 {{.9}^{n-1}}=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}}$ mà

${ v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\left( { n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}}-{ n ^ 2 }-2n-\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow { u _ 7 }=4517185$

Gọi ba số đã cho là: ${ u _ 1 },{ u _ 2 },{ u _ 7 }$ là ba số của một cấp số cộng

Còn cấp số nhân $({ v _ n })$ . Theo giả thiết ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} {v_1} + {v_2} + {v_3} = 93\\ {v_1} = {u_1}\\ {u_1} + d = {v_1}q\\ {u_1} + 6d = {v_1}{q^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {v_1}(1 + q + {q^2}) = 93\\ d = {u_1}(q - 1)\\ 6d = {u_7} - {u_1} = {u_1}({q^2} - 1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}(1 + q + {q^2}) = 93(*)\\ {u_1}(q - 1) = \frac{1}{6}{u_1}({q^2} - 1)(1)\\ d = {u_1}(q - 1) \end{array} \right.$

Do: ${ u _ 1 }\ne 0,q\ne 1\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{6} (q+1)\Leftrightarrow q=5$

Theo (*): ${ v _ 1 }+5{ v _ 1 }+25{ v _ 1 }=93\Leftrightarrow { u _ 1 }=3$

Vậy 3 số đó là: $3,15,75$

Theo đề bài: ${ u _{n+1}}=2{ u _ n }+5\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2\left[ { u _ n }+\dfrac{5}{2} \right]$

Ta tìm số $a$ thoả mãn: ${ u _{n+1}}+a=2\left[ { u _ n }+a \right]\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2{ u _ n }+a$

Mà ${ u _{n+1}}=2{ u _ n }+5$ nên ta có $a=5$

Đặt ${ v _ n }={ u _ n }+5\Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+5=6$ và ${ v _{n+1}}=2{ v _ n }$

$\Rightarrow ({ v _ n })$ là cấp số nhân có công bội $q=2$

$\begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}={{6.2}^{n-1}}={{3.2}^ n } \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-5={{3.2}^ n }-5 \\ & \Rightarrow { u _{2018}}={{3.2}^{2018}}-5 \\ \end{align}$

Ta có:

$\begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _ 2 }={ u _ 1 }+3.1-1-{{2.5}^ 1 } \\ & { u _ 3 }={ u _ 2 }+3.2-1-{{2.5}^ 2 } \\ & ................................. \\ & { u _ n }={ u _{n-1}}+3.(n-1)-1-{{2.5}^{n-1}} \\ \end{align}$

Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra:

${ u _ n }=1+3\left[ 1+2+3+...+(n-1) \right]-(n-1)-2\left[ { 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} \right]$

Trong đó: $1+2+3+...+(n-1)=\dfrac{(n-1)n} 2$

Và tổng $A={ 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}}$ là tổng của $n-1$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất ${ a _ 1 }=5$ , công bội $q=5$

$\Rightarrow A={ S _{n-1}}={ a _ 1 }\dfrac{1-{ q ^{n-1}}}{1-q}\Rightarrow A=5.\dfrac{1-{ 5 ^{n-1}}}{-4}=-\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4$

$\begin{align} & { u _ n }=2-n+3\dfrac{(n-1)n} 2 -2\left[ -\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 \right]=\dfrac{1}{2} (3{ n ^ 2 }-5n+9-{ 5 ^ n }) \\ & \Rightarrow { u _{10}}=-4882683 \\ \end{align}$

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội là:

$\left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=12288{ m ^ 2 } \\ & q=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right.$

Vì tháp có 11 tầng nên diện tích mặt trên cùng là số hạng thứ 12 của cấp số

$\Rightarrow S={ u _{12}}={ u _ 1 }.{ q ^{12-1}}={ u _ 1 }.{ q ^{11}}=12288.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{11}}=6{ m ^ 2 }$

Gọi 4 số đó là: ${ a _ 1 },{ a _ 2 },{ a _ 3 },{ a _ 4 }$ . Theo giả thiết ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} a_2^2 = {a_1}{a_3}\\ 2{a_3} = {a_2} + {a_4}\\ {a_1} + {a_4} = 14\\ {a_2} + {a_3} = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{a_1}{q^2} = {a_1}q + {a_2} + 2d\\ {a_1} + {a_2} + 2d = 14\\ {a_1}q + {a_1}{q^2} = 12\\ {a_2} + {a_2} + d = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_2^2 = {a_1}({a_2} + d)(*)\\ {a_2} + 2d = 14 - {a_1}\\ {a_1} = \frac{{12}}{{q + {q^2}}}\\ d = 12 - 2{a_2} \end{array} \right.$

Giải hệ trên ta có 4 số đó là: $\left[ \begin{align} & (2,4,8,12) \\ & \left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right) \\ \end{align} \right.$ ‘

Nhưng do điều kiện giả thiết nên ta tìm được 4 số đó là: $\left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right)$

Ta có:

$VT=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}+a\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^{2n}}-1+a{ q ^ n }-a}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a}$

$VP=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{3n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^{3n}}-{ q ^{2n}}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^ n }({ q ^{2n}}-{ q ^ n })}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }}$

$VT=VP\Leftrightarrow$ $\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }}$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow {q^{2n}} - {q^n} = {q^{2n}} + a{q^n} - 1 - a\\  \Leftrightarrow a{q^n} + {q^n} - 1 - a = 0\\  \Leftrightarrow {q^n}(a + 1) - (a + 1) = 0\\  \Leftrightarrow (a + 1)({q^n} - 1) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a =  - 1\\ {q^n} = 1 \end{array} \right. \end{array}$

Gọi các số phải tìm là $a,aq,a{ q ^ 2 },a{ q ^ 3 }$ (Với $q$ là công bội của cấp số nhân)

Khi đó theo giả thiết: $a-2,aq-1,a{ q ^ 2 }-7,a{ q ^ 3 }-27$ lập thành cấp số cộng

Do đó: $\left\{ \begin{align} & 2(aq-1)=(a-2)+(a{ q ^ 2 }-7) \\ & 2(a{ q ^ 2 }-7)=(aq-1)+(a{ q ^ 3 }-27) \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} a{(q - 1)^2} = 7\\ aq{(q - 1)^2} = 14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 7\\ q = 2 \end{array} \right.$

Vậy bốn số đó là: $7,14,28,56$