Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Lý thuyết về Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ là $$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$$
Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1, x=2$.
Giải. Ta có $x^3 \le 0$ trên đoạn $\left[ -1;0 \right]$ và $x^3 \ge 0$ trên đoạn $\left[0;2 \right]$. Áp dụng công thức tính diện tích ta có $$S=\int\limits_{-1}^{2}{\left|x^3\right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( -x^3\right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{x^3dx} = \left.\left(-\dfrac{x^4}{4}\right)\right|_{-1}^{0} + \left.\dfrac{x^4}{4}\right|_{0}^{2} = \dfrac{17}{4}$$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Diện tích hình thang cong T (hình bên) được tính theo công thức nào sau đây:
- A
- B
- C
- D
Do phần hình thang cong nằm toàn bộ phía trên trục hoành
$\Rightarrow {{S}_{T}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$
Chú ý nêú phần diện tích hình thang nằm phía dưới Ox thì
$\Rightarrow {{S}_{T}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
Câu 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thì cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $O\left( 0;0\right),B\left( 2;0 \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục hoành là
- A
- B
- C
- D
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow S=\int\limits_{0}^{2}{\left| f\left( x \right) \right|d{x}}$
Câu 3: Cho hình vẽ
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định nào sau đây là đúng?- A
- B
- C
- D
Dựa vào diện tích các miền giới hạn bởi đường cong $y=f\left( x \right)$ để đưa ra được so sánh đúng là $\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)}dx<\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}dx$