Đường kính và dây cung của đường tròn

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow IO=IA=12OA=32cm$

Ta có: $BC\bot OA\left( gt \right)\Rightarrow$ $\widehat{OIB}={{90}^{0}}$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $OIB$ ta có:

$O{{B}^{2}}=B{{I}^{2}}+I{{O}^{2}}$ $\Rightarrow B{{I}^{2}}=O{{B}^{2}}-I{{O}^{2}}\Rightarrow BI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $BI=CI$ (đường kính dây cung)

$\Rightarrow BC=2BI=3\sqrt{3}\left( cm \right)$

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Do AB là đường kính nên AB là dây cung lớn nhất

Mặt khác CD không đi qua tâm nên $CD < AB$

Do khoảng cách từ tâm O đến 2 dây bằng nhau nên $CD=AB$ .

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ta có $DB=DC=DO=R$

Mà $OB=OC=R$

Nên tam giác $OBD$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{BDA}={{60}^{0}}$

Mà $\widehat{ABD}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BAD}={{90}^{0}}-{{60}^{0}}={{30}^{0}}$

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Kẻ $OH\bot AB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ .

Xét tam giác $OHB$ vuông tại $H$ có $OH=3;OB=5$ . Theo định lý Pytago ta có:

$HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ .

Mà $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AB=2HB=8\,cm$ .

Vậy $AB=8\,cm$ .

Kẻ $OH\bot AB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ .

Xét tam giác $OHB$ vuông tại $H$ có $OH=2,5;OB=6,5$ . Theo định lý Pytago ta có $HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{6,{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}}=6$ .

Mà $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AB=2HB=12\,cm$ .

Vậy $AB=12\,cm$ .

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Dây lớn nhất trong đường tròn là đường kính $d=2r=4\,cm$ .

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau.

Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lấy $I$ là trung điểm của $EF$ .

Xét tứ giác $AEFB$ có $AE\text{//}FB$ (vì cùng vuông với $EF$ ) nên $AEFB$ là hình thang vuông tại $E;F$

Ta có $OI$ là đường trung bình của hình thang $AEFB$ nên $OI\text{//}AE\text{//}FB\Rightarrow OI\bot EF$

Hay $OI\bot CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$ (quan hệ giữa dây và đường kính)

Xét tam giác $OEF$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta OEF$ cân tại $O$ . Suy ra $OE=OF$ .

Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Từ đề bài ta thấy dây $CD$ gần tâm hơn dây $AB$ nên $CD > AB$ .