Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài sau

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$
Xét $\Delta = {b^2} - 4ac$ :
– Nếu $∆ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
– Nếu $∆ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$
– Nếu $∆ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ có $a$ và $c$ trái dấu, tức là $ac < 0.$ Do đó $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Vì thế phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

A
${{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{a}$ .
B
${{x}_{1}}=\dfrac{b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ .
C
${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a}$ .
D
${{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$

và biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .

TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a}$ .

TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ .

Vậy với $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ .

Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0$ . Chọn khẳng định đúng.

A
$\Delta ={{m}^{2}}-1$ .
B
$\Delta ={{\left( 1+m \right)}^{2}}$ .
C
$\Delta ={{\left( 1-m \right)}^{2}}$ .
D
$\Delta ={{m}^{2}}+1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\Delta ={{\left( 1-m \right)}^{2}}+4m=1-2m+{{m}^{2}}+4m=1+2m+{{m}^{2}}={{\left( 1+m \right)}^{2}}$ .

Câu 3: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ . Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

A
$\Delta \ge 0$ .
B
$\Delta \le 0$ .
C
$\Delta =0$ .
D
$\Delta < 0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$

và biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .

TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2a}$ .

TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ .

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi $\Delta < 0$ .

Câu 4: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-3x-5=0$ . Giá trị biệt thức $\Delta$ của phương trình là

A
$49$ .
B
$31$ .
C
$-31$ .
D
$-49$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4.2.\left( -5 \right)=9+40=49$ .

Câu 5: Công thức nào sau đây là đúng về biệt thức $\Delta$ của phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+x-1=0\,\left( a\ne 0 \right)$ ?

A
$\Delta =1+4a$ .
B
$\Delta =1+a$ .
C
$\Delta =1-4a$ .
D
$\Delta =1-a$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+x-1=0$ có $a=a,b=1,c=-1$ nên $\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.a.\left( -1 \right)=1+4a$ .

Câu 6: Cho các phương trình sau: ${{x}^{2}}-2x+1=0\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1=0\,\,;\,\,2{{x}^{2}}-1=0\,\,;\,\,{{x}^{2}}+x+2=0$ . Số phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:

A
$2$ .
B
$3$ .
C
$4$ .
D
$1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình ${{x}^{2}}-2x+1=0$ có $\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.1=0$ nên phương trình có nghiệm kép.

Phương trình $-{{x}^{2}}+x+1=0$ có $a=-1,c=1\Rightarrow ac=-1 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Phương trình $2{{x}^{2}}-1=0$ có $a=2,c=-1\Rightarrow ac=-2 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Phương trình ${{x}^{2}}+x+2=0$ có $\Delta ={{1}^{2}}-4.1.2=-7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy có $2$ phương trình thỏa mãn bài toán.

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Lý thuyết về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) có biệt thức Δ=b2−4ac>0 \Delta ={{b}^{2}}-4ac > 0 . Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Câu 2: Cho phương trình x2+(1−m)x−m=0 {{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0 . Chọn khẳng định đúng.

Câu 3: Cho phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0) có biệt thức Δ=b2−4ac \Delta ={{b}^{2}}-4ac . Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Câu 4: Cho phương trình 2x2−3x−5=0 2{{x}^{2}}-3x-5=0 . Giá trị biệt thức Δ \Delta của phương trình là

Câu 5: Công thức nào sau đây là đúng về biệt thức Δ \Delta của phương trình bậc hai ax2+x−1=0(a≠0) a{{x}^{2}}+x-1=0\,\left( a\ne 0 \right) ?

Câu 6: Cho các phương trình sau: x2−2x+1=0;−x2+x+1=0;2x2−1=0;x2+x+2=0 {{x}^{2}}-2x+1=0\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1=0\,\,;\,\,2{{x}^{2}}-1=0\,\,;\,\,{{x}^{2}}+x+2=0 . Số phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu là:

Câu 1: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0$ . Chọn khẳng định đúng.

Câu 3: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ . Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Câu 4: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-3x-5=0$ . Giá trị biệt thức $\Delta$ của phương trình là

Câu 5: Công thức nào sau đây là đúng về biệt thức $\Delta$ của phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+x-1=0\,\left( a\ne 0 \right)$ ?

Câu 6: Cho các phương trình sau: ${{x}^{2}}-2x+1=0\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1=0\,\,;\,\,2{{x}^{2}}-1=0\,\,;\,\,{{x}^{2}}+x+2=0$ . Số phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu là: