Tổng của n số hạng

Tổng của n số hạng

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tổng của n số hạng

Lý thuyết về Tổng của n số hạng

* Tổng của nn số hạng đầu của cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:

Sn=u1+u2++un=(u1+un)n2=[2u1+(n1)d]n2

* Một số tính chất hay dùng:

  • S1=u1
  • uk+uk+1+...+un=SnSk1
  • un=SnSn1

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho 3 số dương a,b,c . Điều kiện cần và đủ để dãy số a2;b2;c2 lập thành một cấp số cộng có công sai dương là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có a2;b2;c2 lập thành một cấp số cộng.

2b2=a2+c2b2a2=c2b2ba(c+a)(b+c)=cb(a+b)(c+a)1c+a1b+c=1a+b1c+a

Dãy số 1b+c;1c+a;1a+b là một cấp số cộng

Câu 2: Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi d=2a là công sai. Bốn số phải tìm là: A=(x3a);B=(xa);C=(x+a);D=(x+3a) . Ta có hệ phương trình:

{(x3a)+(xa)+(x+a)+(x+3a)=3600(x+3a)=5(x3a){x=900a=200

Bốn góc phải tìm là: A=300;B=700;C=1100;D=1500

 

Câu 3: Cho hai cấp số cộng: un=u1;u2;.un có công sai d1vn=v1;v2.vn có công sai d2 . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là Sn=u1+u2+.+un=7n+1

Tn=v1+v2+.+vn=4n+27 . Tìm tỷ số u11v11 .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: Sn=2u1+(n1)d1Tn=2v1+(n1)d2 nên

SnTn=2u1+(n1)d12v1+(n1)d2=7n+14n+27(1)u11v11=u1+10d1v1+10d2=2u1+20d12v1+20d2(2)

So sánh (1) và (2) n=21 nên u11v11=148111=43

Câu 4: Nếu các số a2,b2,c2 lập thành một cấp số cộng (abc0) thì ta có:

1b+c+1a+b=xc+a . Tìm x ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo giả thiết: a2,b2,c2 lập thành một cấp số cộng

a2+c2=2b2a2b2=b2c2(ab)(a+b)=(bc)(b+c)abb+c=bca+bc+abcb+c=a+bcaa+b1b+c1c+a=1c+a1a+b1b+c+1a+b=2c+a

x=2.

Câu 5: Cho cấp số cộng (un)Sn=7n2n2. Tính giá trị của biểu thức P=u23+u25+u27 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có un=SnSn1=94nu3=3;u5=11;u7=19.

Do đó P=491 .

Câu 6: Cho cấp số cộng (un)Sn=3n22n. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1=S1=1u1+u2=S2=8u2=7.
Vậy d=u2u1=6u10=1+9.6=55.

Câu 7: Cho cấp số cộng (un) thỏa: {u5+3u3u2=213u72u4=34 . Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ giả thiết bài toán, ta có: {u1+4d+3(u1+2d)(u1+d)=213(u1+6d)2(u1+3d)=34

{u1+3d=7u1+12d=34{u1=2d=3

Tổng của 15 số hạng đầu: S15=152[2u1+14d]=285

 

Câu 8: Cho cấp số cộng (un)S4=14u1+2u5=0 . Số 40 là số hạng thứ bao nhiêu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1+2u5=03u1+8d=0
S4=144(2u1+3d)2=142u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7{u1=8d=3
Số un=u1+(n1)d

8+(n1)(3)=40n1=16n=17

Câu 9: Cho cấp số cộng (un) có công sai d=3u22+u23+u24 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Đặt a=u1 thì
u22+u23+u24=(a+d)2+(a+2d)2+(a+3d)2=3a236a+126=3(a6)2+1818,a.
Dấu bằng xảy ra khi a6=0a=6 . Suy ra u1=6
Ta có. S100=100[2u1+(1001)d]2=14250.

Câu 10: Cho cấp số cộng{un}u5=12 và tổng 21 số hạng đầu tiên là S21=504 . Khi đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

un là cấp số cộng nên ta có : un=u1+(n1).du5=u1+4d=12
Sn=n.u1+n(n1)d2S21=21.u1+21.21.d2=504
{u1+4d=1242u1+420d=1008{u1=4d=2

Câu 11: Cho cấp số cộng (un)S4=14u1+2u5=0 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1+2u5=03u1+8d=0
S4=144(2u1+3d)2=142u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7{u1=8d=3

Câu 12: Cho dãy số (un)d=0,1;S5=0,5. Tính u1 ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

{unu1=(n1)dun+u1=2Snn{u5u1=4.0,1u5+u1=0,2u1=0,3.

Câu 13: Cho cấp số cộng (un)u5=15 , u20=60 . Tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng công thức: un=u1+(n1)d , ta có: {u5=15u20=60 {u1+4d=15u1+19d=60 {u1=35d=5 .

Áp dụng công thức: Sn=n.u1+n(n1)d2 S20=20.(35)+20.19.52=250 .

Câu 14: Cho cấp số cộng (un)Sn=3n22n. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1=S1=1u1+u2=S2=8u2=7
Vậy d=u2u1=6u100=1+99.6=595

Câu 15: Cho dãy số (un)d=2;S8=72 . Tính u1 ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: {Sn=n(u1+un)2d=unu1n1

{u1+u8=2S88u8u1=7d{u8+u1=18u8u1=14u1=16

Câu 16: Cho cấp số cộng (un)Sn=7n2n2. Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có un=SnSn1=94nu1=5;u2=1.

d=4S50=50.5+50.(501).(4)2=4650.

Câu 17: Cho cấp số cộng (un)Sn=7n2n2. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 204 , tìm n ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có un=SnSn1=94nu1=5;u2=1d=4.
Tổng của n số hạng đầu tiên. 204=5.n+n(n1).(4)22n27n204=0n=12.

Câu 18: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn {u4+u6=262u3u9=11 . Tính tổng S2020 .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Giả sử cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d .
Ta có {u4+u6=262u3u9=11 {(u1+3d)+(u1+5d)=262(u1+2d)(u1+8d)=11 {2u1+8d=26u14d=11{u1=1d=3 .
Vậy S2020=20202(2.1+2019.3)=6119590 .

Câu 19: Với cấp số cộng {un}u1=321; công sai d=3 . Giá trị biểu thức Q=u51+u52+.+u125.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

un là cấp số cộng với u1=321 và công sai d=3 .
Q=u51+u52+.+u125 =S125S50=1687512375=4500 .
Ta có: Sn=nu1+n(n1)d2

S125=125.321+125.124.(3)2=16875
S50=50.321+50.49.(3)2=12375

Câu 20: Cho dãy số (un)u1=1;d=2;Sn=483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: Sn=n[2u1+(n1)d]2 2.483=n.(2.1+(n1).2)n22n483=0[n=23n=21

Do nNn=23 .

Câu 21: Công sai của một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125 là  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là: (xd);x;(x+d) . Ta có hệ phương trình:

{(xd)+x+(x+d)=9(1)(xd)2+x2+(x+d)2=125(2)(1)3x=9x=3(2)(3d)2+32+(3+d)2=125d=±7

 

Câu 22: Cho cấp số cộng (un)Sn=7n2n2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có un=SnSn1=94nu1=5;u2=1d=4

Câu 23: Cho cấp số cộng (un)Sn=3n22n. Số 337 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1=S1=1u1+u2=S2=8u2=7
Vậy d=u2u1=6337=1+(n1).6

n1=56n=57

Câu 24: Cho dãy số (un) với: un=2n+5 . Khẳng định nào sau đây là sai ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có un+1un=2 nN đáp án sai là: (un) là cấp số cộng có d=5

 

Câu 25: Cho cấp số cộng (un)u1=123u3u15=84 . Biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm n ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có công sai của cấp số cộng là d=u3u15315=8412=7
18=n.1237n(n1)27n2253n+36=0n=36.

Câu 26: Cho cấp số cộng (un)u4=3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9=45. Cấp số cộng trên có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u4=u1+3d=3.
S9=459[2u1+8d]2=45u1+4d=5
Do đó ta có hệ phương trình {u1+3d=3u1+4d=5{u1=27d=8

S10=10.[2u1+9d]2=90,S20=20[2u1+19d]2=980.

Câu 27: Cho cấp số cộng (un)Sn=3n22n. Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1=S1=1u1+u2=S2=8u2=7
Vậy d=u2u1=6S50=50.1+50.(501).62=7400

Câu 28: Cho cấp số cộng (un)u3+u13=80 . Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có.
u3+u13=80(u1+2d)+(u152d)=80u1+u15=80S15=15(u1+u15)2=600.

Câu 29: Cho cấp số cộng 1,7,13,...x thỏa mãn điều kiện 1+7+13+...+x=280. Tính giá trị của x.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cấp số cộng 1,7,13,...x có số hạng đầu u1=1 và công sai d=6 nên số hạng tổng quát là un=6n5.
Giả sử x=un=6n5. Khi đó
1+7+13+...+x=n(6n4)2=3n22n
Theo giả thiết, ta có
3n22n=280n=10x=u10=55.

Câu 30: Cấp số cộng {un}:u4+u97=101 . Tổng của 100 số hạng đầu tiên của un

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

un là cấp số cộng nên ta có : un=u1+(n1).d u4+u97=101u1+3d+u1+96d=101u1 +u1+99d=101u1+u100=101
Có : Sn=(u1+un).n2 S100=101.1002=5050

Câu 31: Cho cấp số cộng 3,8,13,.... Tính tổng S=3+8+13+...+2018.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cấp số cộng 3,8,13,.... có số hạng đầu u1=3 công sai d=5.
Suy ra 2018 là số hạng thứ 201835+1=404 của cấp số cộng.
Do đó.S=S404=404(3+2018)2=408242.

Câu 32: Cho cấp số cộng (un)S4=14u1+2u5=0 . Số hạng thứ 100 bằng bao nhiêu.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. u1+2u5=03u1+8d=0
S4=144(2u1+3d)2=142u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7{u1=8d=3
Số hạng thứ 100 là. u100=u1+99d=8+99(3)=289

Câu 33: Với cấp số cộng {un}u1=321 ;công sai d=3 . Giá trị biểu thức Q=u51+u52+.+u125

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

un là cấp số cộng với u1=321 và công sai d=3 .

Q=u51+u52+.+u125=S125S50

Ta có:

Sn=nu1+n(n1)d2
{S125=125.321+125.124.(3)2=16875S50=50.321+50.49.(3)2=12375Q=S125S50=4500.