* Tổng của nn số hạng đầu của cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:
Sn=u1+u2+⋯+un=(u1+un)n2=[2u1+(n−1)d]n2
* Một số tính chất hay dùng:
Ta có a2;b2;c2 lập thành một cấp số cộng.
⇔2b2=a2+c2⇔b2−a2=c2−b2⇔b−a(c+a)(b+c)=c−b(a+b)(c+a)⇔1c+a−1b+c=1a+b−1c+a
Dãy số 1b+c;1c+a;1a+b là một cấp số cộng
Gọi d=2a là công sai. Bốn số phải tìm là: A=(x3a);B=(xa);C=(x+a);D=(x+3a) . Ta có hệ phương trình:
{(x−3a)+(x−a)+(x+a)+(x+3a)=3600(x+3a)=5(x−3a)⇔{x=900a=200
Bốn góc phải tìm là: A=300;B=700;C=1100;D=1500
Và Tn=v1+v2+….+vn=4n+27 . Tìm tỷ số u11v11 .
Ta có: Sn=2u1+(n1)d1 và Tn=2v1+(n1)d2 nên
SnTn=2u1+(n−1)d12v1+(n−1)d2=7n+14n+27(1)u11v11=u1+10d1v1+10d2=2u1+20d12v1+20d2(2)
So sánh (1) và (2) ⇒n=21 nên u11v11=148111=43
1b+c+1a+b=xc+a . Tìm x ?
Theo giả thiết: a2,b2,c2 lập thành một cấp số cộng
⇔a2+c2=2b2⇔a2−b2=b2−c2⇔(a−b)(a+b)=(b−c)(b+c)⇔a−bb+c=b−ca+b⇔c+a−b−cb+c=a+b−c−aa+b⇔1b+c−1c+a=1c+a−1a+b⇔1b+c+1a+b=2c+a
⇒x=2.
Ta có un=Sn−Sn−1=9−4n⇒u3=−3;u5=−11;u7=−19.
Do đó P=491 .
Ta có. u1=S1=1 và u1+u2=S2=8⇒u2=7.
Vậy d=u2−u1=6⇒u10=1+9.6=55.
Từ giả thiết bài toán, ta có: {u1+4d+3(u1+2d)−(u1+d)=−213(u1+6d)−2(u1+3d)=−34
⇔{u1+3d=−7u1+12d=−34⇔{u1=2d=−3
Tổng của 15 số hạng đầu: S15=152[2u1+14d]=−285
Ta có. u1+2u5=0⇔3u1+8d=0
S4=14⇒4(2u1+3d)2=14⇔2u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3
Số un=u1+(n−1)d
⇒8+(n−1)(−3)=−40⇔n−1=16⇔n=17
un là cấp số cộng nên ta có : un=u1+(n−1).d⇒u5=u1+4d=12
Sn=n.u1+n(n−1)d2⇒S21=21.u1+21.21.d2=504
⇒{u1+4d=1242u1+420d=1008⇒{u1=4d=2
Ta có. u1+2u5=0⇔3u1+8d=0
S4=14⇒4(2u1+3d)2=14⇔2u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3
Ta có:
{un−u1=(n−1)dun+u1=2Snn⇔{u5−u1=4.0,1u5+u1=−0,2⇒u1=−0,3.
Áp dụng công thức: un=u1+(n−1)d , ta có: {u5=−15u20=60 ⇒{u1+4d=−15u1+19d=60 ⇔{u1=−35d=5 .
Áp dụng công thức: Sn=n.u1+n(n−1)d2 ⇒S20=20.(−35)+20.19.52=250 .
Ta có. u1=S1=1 và u1+u2=S2=8⇒u2=7
Vậy d=u2−u1=6⇒u100=1+99.6=595
Ta có: {Sn=n(u1+un)2d=un−u1n−1
⇒{u1+u8=2S88u8−u1=7d⇒{u8+u1=18u8−u1=−14⇒u1=16
Ta có un=Sn−Sn−1=9−4n⇒u1=5;u2=1.
⇒d=−4⇒S50=50.5+50.(50−1).(−4)2=−4650.
Ta có un=Sn−Sn−1=9−4n⇒u1=5;u2=1⇒d=−4.
Tổng của n số hạng đầu tiên. −204=5.n+n(n−1).(−4)2⇒2n2−7n−204=0⇒n=12.
Giả sử cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d .
Ta có {u4+u6=262u3−u9=−11 ⇔{(u1+3d)+(u1+5d)=262(u1+2d)−(u1+8d)=−11 ⇔{2u1+8d=26u1−4d=−11⇔{u1=1d=3 .
Vậy S2020=20202(2.1+2019.3)=6119590 .
un là cấp số cộng với u1=321 và công sai d=−3 .
Q=u51+u52+….+u125 =S125S50=1687512375=4500 .
Ta có: Sn=nu1+n(n−1)d2
⇒S125=125.321+125.124.(−3)2=16875
S50=50.321+50.49.(−3)2=12375
Ta có: Sn=n[2u1+(n−1)d]2 ⇔2.483=n.(2.−1+(n−1).2)⇔n2−2n−483=0⇔[n=23n=−21
Do n∈N∗⇒n=23 .
Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là: (xd);x;(x+d) . Ta có hệ phương trình:
{(x−d)+x+(x+d)=9(1)(x−d)2+x2+(x+d)2=125(2)(1)⇔3x=9⇒x=3(2)⇔(3−d)2+32+(3+d)2=125⇔d=±7
Ta có un=Sn−Sn−1=9−4n⇒u1=5;u2=1⇒d=−4
Ta có. u1=S1=1 và u1+u2=S2=8⇒u2=7
Vậy d=u2−u1=6⇒337=1+(n−1).6
⇔n−1=56⇔n=57
Ta có un+1−un=2 ∀n∈N∗ ⇒ đáp án sai là: (un) là cấp số cộng có d=5
Ta có công sai của cấp số cộng là d=u3−u153−15=84−12=−7
18=n.123−7n(n−1)2⇒7n2−253n+36=0⇒n=36.
Ta có. u4=u1+3d=−3.
S9=45⇔9[2u1+8d]2=45⇔u1+4d=5
Do đó ta có hệ phương trình {u1+3d=−3u1+4d=5⇔{u1=−27d=8
⇒S10=10.[2u1+9d]2=90,S20=20[2u1+19d]2=980.
Ta có. u1=S1=1 và u1+u2=S2=8⇒u2=7
Vậy d=u2−u1=6⇒S50=50.1+50.(50−1).62=7400
Ta có.
u3+u13=80⇔(u1+2d)+(u15−2d)=80⇔u1+u15=80⇒S15=15(u1+u15)2=600.
Cấp số cộng 1,7,13,...x có số hạng đầu u1=1 và công sai d=6 nên số hạng tổng quát là un=6n−5.
Giả sử x=un=6n−5. Khi đó
1+7+13+...+x=n(6n−4)2=3n2−2n
Theo giả thiết, ta có
3n2−2n=280⇒n=10⇒x=u10=55.
un là cấp số cộng nên ta có : un=u1+(n−1).d u4+u97=101⇔u1+3d+u1+96d=101⇔u1 +u1+99d=101⇔u1+u100=101
Có : Sn=(u1+un).n2 ⇒S100=101.1002=5050
Cấp số cộng 3,8,13,.... có số hạng đầu u1=3 công sai d=5.
Suy ra 2018 là số hạng thứ 2018−35+1=404 của cấp số cộng.
Do đó.S=S404=404(3+2018)2=408242.
Ta có. u1+2u5=0⇔3u1+8d=0
S4=14⇒4(2u1+3d)2=14⇔2u1+3d=7
Từ đây ta có hệ phương trình. {3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3
Số hạng thứ 100 là. u100=u1+99d=8+99(−3)=−289
un là cấp số cộng với u1=321 và công sai d=−3 .
Q=u51+u52+….+u125=S125−S50
Ta có:
Sn=nu1+n(n−1)d2
⇒{S125=125.321+125.124.(−3)2=16875S50=50.321+50.49.(−3)2=12375⇒Q=S125−S50=4500.