Sự biến thiên hàm số lượng giác
Lý thuyết về Sự biến thiên hàm số lượng giác
1. Sự biến thiên hàm số $y=\sin x$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = \sin{x}$ trên đoạn $[0;2\pi]$ như sau:
Hàm số $y = \sin{x}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2} + k2\pi;\dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right)$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ và mỗi khoảng $\left(\dfrac{3\pi}{2} + k2\pi; 2\pi + k2\pi\right)$, với mỗi số nguyên $k$ bất kỳ.
2. Sự biến thiên của hàm số $y=\cos x$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = \cos{x}$ trên đoạn $[0;2\pi]$ như sau:
Hàm số $y = \cos{x}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi;\pi + k2\pi\right)$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(\pi + k2\pi; 2\pi + k2\pi\right)$, với mỗi số nguyên $k$ bất kỳ.
3. Sự biến thiên hàm số $y=\tan x$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = \tan{x}$ trên khoảng $\left(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ như sau:
Hàm số $y = \tan{x}$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{-\pi}{2} + k\pi;\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$, với mỗi số nguyên $k$ bất kỳ.
4. Sự biến thiên hàm số $y=\cot x$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = \cot{x}$ trên khoảng $\left(0;\pi\right)$ như sau:
Hàm số $y = \cot{x}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi;(k+1)\pi\right)$, với mỗi số nguyên $k$ bất kỳ.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Do hàm số $ y=\cos x $ đồng biến trên $ \left( -\pi +k2\pi \,;\,\,k2\pi \right) $ , cho $ k=0\Rightarrow \left( -\pi ;0 \right) $
suy ra đồng biến trên $ \left( -\dfrac{3\pi } 4 ;-\dfrac{\pi } 4 \right) $ .
Câu 2: Hàm số $ y=\cos x $ đồng biến trên đoạn nào dưới đây:
- A
- B
- C
- D
Do hàm số $ y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $ \left( -\pi +k2\pi \,;\,\,k2\pi \right) $ , cho $ k=1\Rightarrow \left( \pi ;2\pi \right) $
Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( -\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{6} \right)\)
- A
- B
- C
- D
Câu 4: Cho hàm số \(y=\sin 2x\)đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- A
- B
- C
- D
Câu 5: Với \(x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\), mệnh đề nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 6:
Hàm số $ y=\sin 2x $ nghịch biến trên khoảng nào sau đây $ \left( k\in Z \right) $ .
Hàm số $ y=\sin 2x $ nghịch biến trên khoảng nào sau đây $ \left( k\in Z \right) $ .
- A
- B
- C
- D
Do hàm số $ y=\sin x $ nghịch biến trên $ \left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi
\right),k\in \mathbb{Z} $
$ \Rightarrow $ Hàm số $ y=\sin 2x $ nghịch biến khi
$ \begin{array}{l}
\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <2x<\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi
\\
\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4}+k\pi <x<\dfrac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}
\end{array} $
Vậy hàm số $ y=\sin 2x $ nghịch biến trên mỗi khoảng $ \left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi
\right),k\in \mathbb{Z} $
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Quan sát trên đường tròn lượng giác
trên khoảng $ \left( 0;\dfrac{\pi } 2 \right) $ ta thấy: $ y=\cos x $ giảm dần.
Câu 8: Cho hàm số \(y=sinx\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 9: Với \(x\in \left( \dfrac{31\pi }{4};\dfrac{33\pi }{4} \right)\), mệnh đề nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có $\left( \dfrac{31\pi }{4};\dfrac{33\pi }{4} \right)=\left( -\dfrac{\pi }{4}+8\pi ;\dfrac{\pi }{4}+8\pi \right)$ thuộc góc phần tư thứ I và II.
Câu 10: Hàm số $ y=\tan x $ đồng biến trên khoảng
- A
- B
- C
- D
Do hàm số $ y=\tan x $ đồng biến trên $ \left( 0;\dfrac{\pi } 2 \right) $ .
Câu 11:
Xét hai mệnh đề sau.
(I) Với mọi \(x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\)thì hàm số $ y={{\tan }^{2}}x $ là hàm tăng
(II) Với mọi \(x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\)thì hàm số $ y={{\sin }^{2}}x $ là hàm tăng
Chọn phương án đúng.
Xét hai mệnh đề sau.
(I) Với mọi \(x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\)thì hàm số $ y={{\tan }^{2}}x $ là hàm tăng
(II) Với mọi \(x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\)thì hàm số $ y={{\sin }^{2}}x $ là hàm tăng
Chọn phương án đúng.
- A
- B
- C
- D
Vì khi $ x $ chạy từ $ -\dfrac{\pi }{2} $ đến $ 0 $ thì giá trị của hai hàm số đều giảm.
Khi $ x $ chạy từ $ 0 $ đến $ \dfrac{\pi }{2} $ thì giá trị của hai hàm số đều tăng, vậy cả hai mệnh đề đều sai.
Câu 12:
Xét hai mệnh đề sau.
(I) $ \forall x\left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right) $ . Hàm số $ y=\dfrac{1}{\sin x} $ giảm
(II) $ \forall x\left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right) $ . Hàm số $ y=\dfrac{1}{\cos x} $ giảm
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên
Xét hai mệnh đề sau.
(I) $ \forall x\left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right) $ . Hàm số $ y=\dfrac{1}{\sin x} $ giảm
(II) $ \forall x\left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right) $ . Hàm số $ y=\dfrac{1}{\cos x} $ giảm
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên
- A
- B
- C
- D
Câu (I) sai, $ \forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right); $ Hàm $ y=\cos x $ tăng và $ \cos x<0;\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right) $ , suy ra hàm $ y=\dfrac{1}{\cos x} $ giảm. Câu (II) đúng.
Câu 13:
Trong khoảng $ \left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi
\right),k\in Z $ thì mệnh đề nào sau đây là sai?
Trong khoảng $ \left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi
\right),k\in Z $ thì mệnh đề nào sau đây là sai?
- A
- B
- C
- D
\right) $ , ta có.
$ \dfrac{2\pi }{3}<\dfrac{3\pi }{4}\Rightarrow \cot \dfrac{2\pi }{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}>-1=\cot \dfrac{3\pi }{4} $
Câu 14: Chọn khẳng định đúng?
- A
- B
- C
- D
Hàm số $ y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $ \left( -\pi +k2\pi ;k2\pi \right) $ và nghịch biến trên mỗi khoảng $ \left( k2\pi ;\pi +k2\pi \right) $ với $ k\in \mathbb Z $ .
Câu 15:
Với $ k\in Z, $ kết luận nào sau đây về hàm số $ y=\tan 2x $ là sai?
Với $ k\in Z, $ kết luận nào sau đây về hàm số $ y=\tan 2x $ là sai?
- A
- B
- C
- D
\right) $
$ \Rightarrow $ Hàm số $ y=\tan 2x $ luôn đồng biến khi $ -\dfrac{\pi }{2}+k\pi <2x<\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}<x<\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2} $
Vậy B sai.
Câu 16:
Để hàm số $ y=\sin x+\cos x $ tăng, ta chọn \(x\) thuộc khoảng nào?
Để hàm số $ y=\sin x+\cos x $ tăng, ta chọn \(x\) thuộc khoảng nào?
- A
- B
- C
- D
Để hàm số $ y=\sin x+\cos x $ tăng thì
$ \begin{array}{l}
-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <x+\dfrac{\pi }{4}<\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z} \\
\Leftrightarrow -\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi <x<\dfrac{\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}.
\end{array} $
Câu 17:
Hàm số $ y=\cos 2x $ nghịch biến trên khoảng nào sau đây $ \left( k\in Z \right) $
Hàm số $ y=\cos 2x $ nghịch biến trên khoảng nào sau đây $ \left( k\in Z \right) $
- A
- B
- C
- D
Hàm số $ y=\cos 2x $ nghịch biến khi $ k2\pi <2x<\pi +k2\pi \Leftrightarrow k\pi <x<\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} $.
Câu 18:
Cho hàm số $ y=4\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)-\sin 2x $ . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?
Cho hàm số $ y=4\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)-\sin 2x $ . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?
- A
- B
- C
- D
Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\sin 2x+\sqrt{3} $ , ta thấy với A, trên $ \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right) $ và $ \left( \dfrac{3\pi }{4};\pi
\right) $ thì giá trị của hàm số tăng.
Câu 19: Hàm số $ y=\sin x $ :
- A
- B
- C
- D
Hàm số $ y=\sin x $ đồng biến trên mỗi khoảng $ \left( -\dfrac{\pi } 2 +k2\pi ;\dfrac{\pi } 2 +k2\pi \right) $ và nghịch biến trên mỗi khoảng $ \left( \dfrac{\pi } 2 +k2\pi ;\dfrac{3\pi } 2 +k2\pi \right) $ với $ k\in \mathbb Z $ .
Câu 20:
Trong khoảng $ \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) $ hàm số $ y=\sin x-\cos x $ là hàm số
Trong khoảng $ \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) $ hàm số $ y=\sin x-\cos x $ là hàm số
- A
- B
- C
- D