Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 |
Năm học 2020 – 2021, môn Toán | |
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) | |
Ngày thi: 25/11/2020 | |
(Đề thi có 01 trang; Người coi thi không giải thích gì thêm) |
Bài 1: (5 điểm)
1. Cho biểu thức A =
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2. Chứng minh rằng: A= < 2 (2020 chữ số 2)
Bài 2: (5 điểm)
1. Giải phương trình sau:
2. Tìm các số nguyên x để biểu thức là một số chính phương.
Bài 3: (4 điểm)
1. Cho , trong đó a, b, c, d là hằng số.
Biết P(-2) = 6; P(-4) = 12; P(-6) = 18. Tính
2. Với các số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 4: (5 điểm)
1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh tam giác HAB và tam giác ODE đồng dạng
b) Kẻ các đường thẳng DM//OA, EN//OB, FG//OC (MAH; NBH; GCH). Chứng minh các đường thẳng DM, EN, FG đồng quy
2. Từ điểm M nằm trong tam giác ABC cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc MA’, MB’, MC’ đến BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để tích MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho dãy gồm 1000 số: 7, 77, 777, 7777, …, 777…7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu | Hướng dẫn nội dung | Điểm |
Bài 1 (5đ) | 1. a) 2,5 điểm ĐKXĐ : x0 ; A = A= A = A = = = | 0,5 0,5 0,5 1 |
1.b) 1,5 điểm A= Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4 | 1 0,5 | |
2. (1 điểm) A= (đpcm) | 0,5 0,5 | |
Bài 2 (5 điểm) | 1. (3 điểm) ĐK: Phương trình đã cho tương đương với: Với thì nên Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình. | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2. (2 điểm) Đặt = y2 (với y là số tự nhiên) Ta có: Ta sẽ chứng minh: với a = x2 + x Thật vậy: Do nên y2 = (a+1)2 Hay x = 1 hoặc x = -2 Thử lại: với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho đều bằng 9=32, thỏa mãn. Vậy | 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
Bài 3 (4 điểm) | 1. (2 điểm) Đặt Q(x) = P(x) +3x Q(-2)=Q(-4)=Q(-6)=0 -2;-4;-6 là nghiệm của Q(x), mà Q(x) là đa thức bậc 4 nên Q(x) có dạng: Q(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m) P(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m)-3x Tính được P(0)=48m; P(-8)= 408+48m | 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2. (2 điểm) Ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1 Kết luận: | 0,5 0,75 0,5 0,25 | |
Bài 4 (5 điểm) | 1. (4 điểm) 1.a (2,5 điểm) a) Chứng minh được ED//=AB, OD//AH (cùng vuông góc BC), BH//OE (cùng vuông góc AC) ; (góc có cạnh tương ứng song song) (đpcm) 1.b) (1,5 điểm) Từ câu a) suy ra: OD// Chứng minh được tứ giác AMDO là hình bình hành suy ra OD=AM=MH, dẫn đến tứ giác MODH là hình bình hành. Nên DM đi qua trung điểm I của OH. Chứng minh tương tự có EN, FG đi qua I. Nên các đường thẳng DM, EN, FG đồng quy (đpcm) | 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2. (1 điểm) Đặt MA’=x, MB’=y, MC’=z; BC=a; AC=b; AB=c Dấu “=” xảy ra , suy ra diện tích các tam giác BMC, tam giác AMC, tam giác AMB bằng nhau, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC. Vậy MA’.MB’.MC’ lớn nhất khi M là trọng tâm của tam giác ABC | 0,5 0,5 | |
Bài 5 (1 điểm) | Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3;11;61 đôi một nguyên tố cùng nhau Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6. Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 777…77 (996 chữ số) Số số hạng của dãy trên là (996-6) : 6 +1=166 Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61 hiệu của hai số đó chia hết cho 61 Hiệu của hai số có dạng: 77...7.10n (có k số 7, ) Mà (10n, 61)=1 suy ra 77...7 chia hết cho 61 Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013 | 0,5 0,5 |
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới