Đề thi hsg toán 9 huyện thanh oai 2021 vòng 1 có đáp án

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2020 – 2021, môn Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 25/11/2020

(Đề thi có 01 trang;

Người coi thi không giải thích gì thêm)

Câu

Hướng dẫn nội dung

Điểm

Bài 1

(5đ)

1. a) 2,5 điểm

ĐKXĐ : x0 ;

A =

A=

A =

A = = =

0,5

0,5

0,5

1

1.b) 1,5 điểm

A=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4

1

0,5

2. (1 điểm)

A= (đpcm)

0,5

0,5

Bài 2

(5 điểm)

1. (3 điểm)

ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Với thì nên

Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình.

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (2 điểm)

Đặt = y² (với y là số tự nhiên)

Ta có:

Ta sẽ chứng minh: với a = x² + x

Thật vậy:

Do nên y² = (a+1)²

Hay

x = 1 hoặc x = -2

Thử lại: với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho đều bằng 9=3², thỏa mãn.

Vậy

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 3

(4 điểm)

1. (2 điểm)

Đặt Q(x) = P(x) +3x Q(-2)=Q(-4)=Q(-6)=0

-2;-4;-6 là nghiệm của Q(x), mà Q(x) là đa thức bậc 4 nên Q(x) có dạng: Q(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m)

P(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m)-3x

Tính được P(0)=48m; P(-8)= 408+48m

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (2 điểm)

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Kết luận:

0,5

0,75

0,5

0,25

Bài 4

(5 điểm)

1. (4 điểm)

1.a (2,5 điểm)

a) Chứng minh được ED//=AB, OD//AH (cùng vuông góc BC), BH//OE (cùng vuông góc AC)

; (góc có cạnh tương ứng song song)

(đpcm)

1.b) (1,5 điểm)

Từ câu a) suy ra: OD//

Chứng minh được tứ giác AMDO là hình bình hành suy ra OD=AM=MH, dẫn đến tứ giác MODH là hình bình hành. Nên DM đi qua trung điểm I của OH.

Chứng minh tương tự có EN, FG đi qua I. Nên các đường thẳng DM, EN, FG đồng quy (đpcm)

1

1

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (1 điểm)

Đặt MA’=x, MB’=y, MC’=z; BC=a; AC=b; AB=c

Dấu “=” xảy ra , suy ra diện tích các tam giác BMC, tam giác AMC, tam giác AMB bằng nhau, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy MA’.MB’.MC’ lớn nhất khi M là trọng tâm của tam giác ABC

0,5

0,5

Bài 5

(1 điểm)

Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3;11;61 đôi một nguyên tố cùng nhau

Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6.

Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 777…77 (996 chữ số)

Số số hạng của dãy trên là (996-6) : 6 +1=166

Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61 hiệu của hai số đó chia hết cho 61

Hiệu của hai số có dạng: 77...7.10ⁿ (có k số 7, )

Mà (10ⁿ, 61)=1 suy ra 77...7 chia hết cho 61

Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013

0,5

0,5