Đề thi hsg toán 9 huyện thanh oai 2021 vòng 1 có đáp án

Đề thi hsg toán 9 huyện thanh oai 2021 vòng 1 có đáp án

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 22 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Đề thi hsg toán 9 huyện thanh oai 2021 vòng 1 có đáp án

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2020 – 2021, môn Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 25/11/2020

(Đề thi có 01 trang;

Người coi thi không giải thích gì thêm)

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho biểu thức A =

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A

2. Chứng minh rằng: A= < 2 (2020 chữ số 2)

Bài 2: (5 điểm)

1. Giải phương trình sau:

2. Tìm các số nguyên x để biểu thức là một số chính phương.

Bài 3: (4 điểm)

1. Cho , trong đó a, b, c, d là hằng số.

Biết P(-2) = 6; P(-4) = 12; P(-6) = 18. Tính

2. Với các số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Bài 4: (5 điểm)

1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh tam giác HAB và tam giác ODE đồng dạng

b) Kẻ các đường thẳng DM//OA, EN//OB, FG//OC (MAH; NBH; GCH). Chứng minh các đường thẳng DM, EN, FG đồng quy

2. Từ điểm M nằm trong tam giác ABC cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc MA’, MB’, MC’ đến BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để tích MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: (1 điểm)

Cho dãy gồm 1000 số: 7, 77, 777, 7777, …, 777…7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.

  • Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Câu

Hướng dẫn nội dung

Điểm

Bài 1

(5đ)

1. a) 2,5 điểm

ĐKXĐ : x0 ;

A =

A=

A =

A = = =

0,5

0,5

0,5

1

1.b) 1,5 điểm

A=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4

1

0,5

2. (1 điểm)

A= (đpcm)

0,5

0,5

Bài 2

(5 điểm)

1. (3 điểm)

ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Với thì nên

Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình.

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (2 điểm)

Đặt = y2 (với y là số tự nhiên)

Ta có:

Ta sẽ chứng minh: với a = x2 + x

Thật vậy:

Do nên y2 = (a+1)2

Hay

x = 1 hoặc x = -2

Thử lại: với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho đều bằng 9=32, thỏa mãn.

Vậy

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 3

(4 điểm)

1. (2 điểm)

Đặt Q(x) = P(x) +3x Q(-2)=Q(-4)=Q(-6)=0

-2;-4;-6 là nghiệm của Q(x), mà Q(x) là đa thức bậc 4 nên Q(x) có dạng: Q(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m)

P(x)= (x+2)(x+4)(x+6)(x-m)-3x

Tính được P(0)=48m; P(-8)= 408+48m

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (2 điểm)

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Kết luận:

0,5

0,75

0,5

0,25

Bài 4

(5 điểm)

1. (4 điểm)

1.a (2,5 điểm)

a) Chứng minh được ED//=AB, OD//AH (cùng vuông góc BC), BH//OE (cùng vuông góc AC)

; (góc có cạnh tương ứng song song)

(đpcm)

1.b) (1,5 điểm)

Từ câu a) suy ra: OD//

Chứng minh được tứ giác AMDO là hình bình hành suy ra OD=AM=MH, dẫn đến tứ giác MODH là hình bình hành. Nên DM đi qua trung điểm I của OH.

Chứng minh tương tự có EN, FG đi qua I. Nên các đường thẳng DM, EN, FG đồng quy (đpcm)

1

1

0,5

0,5

0,5

0,5

2. (1 điểm)

Đặt MA’=x, MB’=y, MC’=z; BC=a; AC=b; AB=c

Dấu “=” xảy ra , suy ra diện tích các tam giác BMC, tam giác AMC, tam giác AMB bằng nhau, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy MA’.MB’.MC’ lớn nhất khi M là trọng tâm của tam giác ABC

0,5

0,5

Bài 5

(1 điểm)

Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3;11;61 đôi một nguyên tố cùng nhau

Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6.

Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 777…77 (996 chữ số)

Số số hạng của dãy trên là (996-6) : 6 +1=166

Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61 hiệu của hai số đó chia hết cho 61

Hiệu của hai số có dạng: 77...7.10n (có k số 7, )

Mà (10n, 61)=1 suy ra 77...7 chia hết cho 61

Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013

0,5

0,5