20 đề thi hsg toán 6 cấp huyện có đáp án rất hay

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a

= 16(123+ 321 - 44):16

0,25

= 400

0,25

b

=8.125-3.{400-[673-8.50]}

0,25

= 1000-3.{400-273}

=619

0,25

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n N , n 0 )

Tính số số hạng = ( 2n-1-1): 2 + 1 = n

0,5

Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : 2 = 2n² : 2 = n ²

KL: M là số chính phương

0,5đ

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a

Ta có:

3¹⁰⁰ = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)

= (3⁴)²⁵ = 81²⁵ có chữ số tận cùng bằng 1

19⁹⁹⁰ = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 )

= (19²)⁴⁹⁵ = 361⁴⁹⁵ ( có chữ số tận cùng bằng 1

Vậy 3¹⁰⁰+19⁹⁹⁰ có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2

0,25

0,25

0,5

b

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ; ( a)

Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6

Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4

0,25

0,25

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

Vì A = < 1 A= < = = = B

Vậy A < B

0,75

0,25

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a

là số nguyên khi ( n+1) (n-2)

Ta có (n+1) =

Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)

(n-2) Ư(3) =

=> n

0.5

0,5

b

Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( dN^* )

0,25

(60n+5-60n-4) d 1 d mà dN^* d = 1

0,5đ

Vậy phân số đã cho tối giản

0,25

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a

b

Vẽ hình đúng

TH1 TH2

Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C :

AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm

Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

Ta có đẳng thức : ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD

=55⁰ – 30⁰ = 25⁰

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

c

Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD

Tính được ABz = 90⁰ - ABD = 90⁰- 30⁰ = 60⁰

- Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được ABz = 90⁰ + ABD = 90⁰ + 30⁰ = 120⁰

0,25

0,25

0,25

0,25

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

(2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12

0,25

Ư(12) =

0,25

Vì 2x + 1 là lẻ nên :

2x + 1= 1 x=0 , y =17

2x + 1= 3 x=1 , y=9

Vậy với x = 0 thì y = 17 ; Với x = 1 thì y = 9

0,25

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đáp án

Điểm

0,25

0,25

Suy ra

0,50

Vậy

0,25

1. Tìm số tự nhiên n biết

Ta có mà nên

0,25

Suy ra .Vậy

0,25

c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

( có 26 số hạng)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,50

0,25

Suy ra A chia cho 100 dư 24.

0,25

Đáp án

Điểm

Với mọi x ∈ N ta có 2x – 1 là số lẻ

0,25

Đặt

⇒ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1

0,25

Số số hạng của A là: (Số hạng)

0,25

0,25

Mà

0,25

Vậy

0,25

0,25

0,25

Đặt

0,25

Ta được

Suy ra

0,25

Vậy ta có

0,25

.Vậy

0,25

Đáp án

Điểm

a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37.

Ta có

0,50

0,25

0,25

0,25

Mà

0,25

0,25

Vậy nếu thì

0,25

b) Tìm số x, y nguyên biết

Ta có

0,25

0,25

0,25

0,25

Vì nên

0,25

Do đó từ là các ước của -11

0,25

Các ước của -11 là -11; -1;1;11

0,25

+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)

0,25

+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)

0,25

+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)

0,25

+) Với thì Suy ra ( Thỏa mãn)

0,25

Vậy

0,25

Đáp án

Điểm

Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

0,25

Nên

0,25

0,50

0,25

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

0,25

0,25

Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.

0,25

Đáp án

Điểm

1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng :

0,25

+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.

+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.

0,25

+ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là đường thẳng.

0,25

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.

– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được đường thẳng.

0,25

Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm đi là đường thẳng.

0,25

Theo bài ra ta có :

0,25

0,25

Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và nên

0,25

2. Hình vẽ :

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.

Vì D nằm giữa A và B nên:

0,25

Thay ta có .

0,25

Lại có hay

0,25

Trên tia AB có : suy ra D nằm giữa A và C

0,25

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

Vì D nằm giữa A và C suy ra

0,25

Lại có , suy ra

0,25

Hay

0,25

Thay , ta có . Vậy

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài

Nội dung

Điểm

Bài 1 (5 điểm)

1.1.a)

(2,0 đ)

M = 3 – 3² + 3³ – 3⁴ + … + 3²⁰¹⁵ – 3²⁰¹⁶

Ta có :3M = 3² – 3³ + 3⁴ – 3⁵ + … + 3²⁰¹⁶ – 3²⁰¹⁷

0,5

⇒ 3M + M = 3 + (3² – 3²) + (3³ – 3³)+ … + (3²⁰¹⁶ – 3²⁰¹⁶) – 3²⁰¹⁷

0,5

4M = 3 + 0 + 0 + . . . + 0 – 3²⁰¹⁷

0,5

4M = 3 – 3²⁰¹⁷

⇒ M = (3 – 3²⁰¹⁷) : 4

0,5

1.2.

(3,0 đ)

Ta có:

. . . . . . .

0,5

⇒

0,5

Mà

=

0,5

=

0,5

=

0,5

⇒

0,5

Bài 2 (3 điểm)

2.a)

(1,5)

Với mọi x ∈ N ta có 2x – 1 là số lẻ

0,25

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2x – 1)

⇒ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1

0,25

Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng)

0,25

⇒ A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x²

0,25

Mà A = 225 ⇒ x² = 225 = 15²

0,25

⇒ x = 15

Vậy x = 15

0,25

2.b)

(1,5 đ)

2^x . 2^{x + 1}. 2^{x + 2} = 1000 … 0 : 5¹⁸

18 chữ số 0

2^{x + x + 1+ x + 2} = 10 . 10 . 10 . … . 10 : 5 . 5 . 5 . … . 5

18 thừa số 10 18 thừa số 5

0,25

2^{3x + 3} = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . … .(10 : 5)

18 thừa số (10 : 5)

0,25

2^{3x + 3} = 2 . 2 . 2 . … . 2

18 thừa số 2

0,25

2^{3x + 3} = 2¹⁸

0,25

⇒ 3x + 3 = 18

3x = 18 – 3

3x = 15

x = 15 : 3

x = 5

0,25

Vậy x = 5

0,25

Bài 3: (5 điểm)

3.a)

(2,0đ)

Vì 3a + 2b 17 ⇒ 10(3a + 2b) 17

0,5

⇒ (30a + 20b) 17

0,25

⇒ (30a + 3b + 17b) 17

0,25

⇒ [3(10a + b) + 17b] 17

0,25

Vì 17b 17

0,25

⇒ 3(10a + b) 17

0,25

⇒ 10a + b 17 (vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau)

0,25

3.b)

(3,0đ)

xy + x – y = 4

x(y + 1) – y = 4

0,25

x(y + 1) – y – 1 + 1 = 4

0,5

x(y + 1) - ( y + 1 ) + 1= 4

0,25

( y + 1 )( x – 1) + 1 = 4

0,25

( y + 1)( x – 1)= 3

0,25

Vì x, y là số nguyên nên y + 1,x – 1 là ước của 3.

0,25

Nếu x -1 = 1 và y + 1 = 3 thì x = 2 và y = 2

0,25

Nếu x -1 = -1 và y + 1 = -3 thì x = 0 và y = -4

0,25

Nếu x -1 = 3 và y + 1 = 1 thì x = 4 và y = 0

0,25

Nếu x -1 = -3 và y + 1 = -1 thì x = -2 và y = -2

0,25

Vậy x = 2 và y = 2 hoặc x = 0 và y = -4 hoặc x = 4 và y = 0 hoặc

x = -2 và y = -2

0,25

Bài 4( 4điểm)

4.

(4 đ)

Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Gọi 20 điểm đó là A₁, A₂, A₃, ... ,A₂₀.

Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên

0,25

Qua điểm A₁ và từng điểm trong 19 điểm còn lại A₂, A₃,...,A₂₀ ta vẽ được 19 đường thẳng.

0,5

Qua điểm A₂ và từng điểm trong 18 điểm còn lại A₃, A₄,...,A₂₀ ta vẽ được 18 đường thẳng.

0,5

… ….

Qua điểm A₁₉ và điểm A₂₀ ta vẽ được 1 đường thẳng.

0,5

Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 +... + 19 + 20 =

( 1+ 20).20 : 2 = 190 ( đường thẳng)

0,5

Với a điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo thành là 1 + 2 + 3 +... +( a – 1) = (a- 1). a: 2

0,5

Với a điểm thẳng hàng thì ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng

0,25

Vậy trong 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng thì sổ đưởng thẳng giảm đi là

( a- 1).a: 2 - 1 = 190 – 170

0,5

( a- 1).a: 2 - 1 = 20

( a- 1).a: 2 = 21

0,25

( a- 1).a = 42

( a- 1).a = 6.7

Mà a-1 và a là 2 số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = 6 và a =7

Vậy a = 7

0,25

5.

(3,0 đ)

Gọi số phải tìm là a

⇒ a = 2k + 1

a = 3q + 1

a = 5m + 4

a = 7r + 3

(k, q, m, r ∈ N)

0,5

⇒ a + 11 = 2k + 12 2

a + 11 = 3q + 12 3

a + 11 = 5m + 15 5

a + 11 = 7r + 14 7

⇒ a + 11 ∈ BC(2; 3; 5; 7)

1,0

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

⇒ a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7)

0,5

Mà 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau

⇒ BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210

0,25

⇒ a + 11 = 210

a = 210 – 11

a = 199

0,5

Vậy a = 199

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đáp án

Điểm

1

1

1

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374

= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65

1

e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 =

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13

1

Câu

Đáp án

Điểm

a.

1

b.

1

c.

11 - (-53 + x) = 97

1

d.

-(x + 84) + 213 = -16

1

Đáp án

Điểm

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

a = 15m; b = 15n (1)

và ƯCLN(m, n) = 1 (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75

3

Câu

Đáp án

Điểm

a.

Chứng minh đẳng thức:

- (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c.

Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta được :

VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1)

= -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1

Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được :

VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1

So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

1

b.

Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

Tính : theo trên ta suy ra :

* Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra :

+ a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 :

+ a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 , nên suy ra :

* Xét với a và b khác dấu :

Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 , ta cần xét các trường hợp sau xảy ra :

+ ,hay a > -b > 0, do đó , suy ra:

+ , hay -b > a > 0, do đó , hay suy ra :

Vậy, với : + (nếu < a < 0)

+ (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 <)

1

Câu

Đáp án

Điểm

Hình vẽ

a.

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :

OA < OB.

2

b.

Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

Vì OA < OB, nên OM < ON.

Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.

2

c.

Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :

suy ra :

hay :

Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Nội dung

Thang điểm

Câu 1(4điểm)

a (1,5)

0.5

0.5

0.5

b (1,5)

0.5

0.5

0,25

0.25

câu 2 (4điểm)

a (1,0)

0.5

0.5

b (1,5)

(không thỏa mãn)

0.5

0.5

0.5

c (1,5)

Vậy

0.5

0.5

0.5

Câu3(4,0)

a (2,0)

Gọi số đó là a

Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4

mà (7,13)=1 nên

a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (kN)

Vậy a chia cho 91 dư 82.

0.25

1.0

1.0

0.25

b (2,0)

Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400)

Vì khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3

ta có BCNN(10,12,15)=60

mà

a=363

Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh.

0.25

0.5

0.5

0.75

0.5

Câu 4

(6,0)

Vẽ hình

z t

n

x O y

0.5

a (1,5)

Vì góc xOy là góc bẹt nên suy ra trên cùng một

nưả mặt phẳng có bờ xy có và là hai góc kề bù.

+=

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.

0.75

0.75

b (2,0)

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có

và là hai góc kề bù hay

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz (1) nên ta có: hay

(2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của góc yOz.

0.75

0.75

0.5

c (2,0)

Vì là góc bẹt nên suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau Hai tia Ox và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

Vì On là tia phân giác của góc xOz nên và hai tia On và Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2)

Ta lại có tia Ot là tia phân giác của góc yOz (theo b,)

Hai tia Ot và Oy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz tia Oz nằm giữa hai tia On và Ot nên ta có:

hay .Vậy

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 5

(2,0)

n là số nguyên tố, n > 3 nên n không chia hết cho 3.

Vậy n² chia hết cho 3 dư 1

do đó n² + 2006 = 3m + 1 + 2006

= 3m+2007

= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n² + 2006 là hợp số.

0.5

0.5

0.75

0.25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Phần

Nội dung

Điểm

Câu 1

(4 điểm)

a

2đ

Ta có: .

1

0,5

0,5

b

2đ

(x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750

=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750

=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750

101 . 50 + 100 x = 5750

100 x + 5050 = 5750

100 x = 5750 – 5050

100 x = 700

x = 7

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 2

( 4 điểm )

a

2đ

Ta có:

0.5

0.5

1

b

2đ

S =(3)⁰+(3)¹ + (3)²+(3)³+...+ (3)²⁰¹⁵.

3S = (3).[(3)⁰+(3)¹+(3)² + ....+(3)²⁰¹⁵]

= (3)¹+ (3)²+ ....+(3)²⁰¹⁶]

3S – S = [(3)¹ + (3)²+...+(3)²⁰¹⁶] - (3)⁰-(3)¹-...-(3)²⁰¹⁵.

2S = (3)²⁰¹⁶ -1.

S =

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3

(4 điểm)

a

2đ

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19.

(a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19.

(a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19.

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất

Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

Từ đó tìm được : a = 809

0.5

0.5

0.5

0.5

b

2đ

Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai)

Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)

Số thứ hai bằng: (số thứ hai)

Tổng của 3 số bằng: (số thứ hai) = (số thứ hai)

Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là:.66 = 81

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 4

(6 điểm )

a

4đ

1) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K

2,5

2) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5 – 4 = 1.

1,5

b

2đ

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC = 4 (1)

Lập luân B nằm giữa A và D.

Theo gt OD < OA ⇒ D nằm giữa O và A.

Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm

Ta có DB + BA = DA DB +BA = 3 (2)

Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3)

Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)

Ta có 2BD – BD = 1 ⇒ BD = 1

AC = 2BD ⇒ AC = 2 cm

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 5

( 2 điểm )

Ta có 3² + 3³+ 3⁴+…… + 3¹⁰¹

= (3²+ 3³+ 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸ + 3⁹)+…+ (3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 3¹(3+3²+3³+3⁴) + 3⁵(3+3²+3³+3⁴) +…+3⁹⁷(3+3²+3³+3⁴)

= 3¹.120 + 3⁵.120 +…+3⁹⁷.120

= 120(3¹ + 3⁵ +…+3⁹⁷)120 (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Phần

Nội dung cần trình bày

Điểm

1

(4đ)

a

(2đ)

Cho Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.

0,5

0,5

0,5

0,5

Ta có: n =

(vì a + b < 19).

Mà a – b = 6 nên a + b > 3. Do đó a + b = 12.

Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3.

b

(2đ)

Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 5^x + 12^y = 26.

0,5

0,5

1

Ta có 12² = 144 > 26 và y N => 0y 1 => y

+) Với y = 1 => 5^x + 12¹ = 26 => 5^x = 14 => không tìm được x.

+) Với y = 0 => 5^x + 12⁰ = 26 => 5^x = 25=5² => x = 2

2

(4đ)

a

(2đ)

Tìm các số nguyên a, b biết rằng:

0,5

0,5

0,5

0,5

Do nên 2a – 7 Ư(14)

Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7

Từ đó tính được: (a; b) = (0; -5), (3; -17), (4; 11), (7; -1)

b

(2đ)

Tìm x , biết : ( + + . . . + ) . x =

0,5

0,5

0,5

0,5

( + + . . . + ) . x =

() . x =

() . x =

x = 2

3

(4đ)

a

(2đ)

Cùng một công việc nếu mỗi người làm riêng thì 3 người A, B, C hoàn thành công việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đó người C chuyển đi làm việc khác, người A cùng làm với người B tiếp tục công việc cho đến khi hoàn thành. Hỏi người A làm trong mấy giờ?

0,5

0,5

0,5

0,5

Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được , , , B và C làm được

2 giờ B và C làm được

A và B làm được

1 giờ A và B cùng làm được:

Thời gian A cùng làm với B là: giờ.

b

(2đ)

Cho D = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5¹⁹ + 5²⁰. Tìm số dư khi chia D cho 31.

0,5

0,5

1

D + 1 = (1+ 5 + 5² ) + 5³(1+ 5 + 5² ) + 5⁶(1+ 5 + 5² ) + ... + 5¹⁸(1+ 5 + 5² )

Do 1 + 5 + 5² = 31 nên D + 1 chia hết cho 31

=> D chia 31 dư 30.

4

(4đ)

a

(2đ)

So sánh M và N biết M = ; N =

0,5

0,5

0,5

0,5

M = nên 19M = = = 1 +

N = nên 19N = = = 1 +

Vì >

Suy ra 1 + > 1 +

Hay 19M > 19N

Nên M > N

b

(2đ)

Thực hiện tính:

0,5

0,5

0,5

0,5

Từ được:

E =

= 10150

5

(4đ)

a

(2đ)

Cho: = 120⁰, = 50⁰. Gọi Om là tia phân của góc . Tính

0,5

0,5

0,5

0,5

a, Trường hợp 1 : 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox

b, Trường hợp 2 : 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox.

b

(2đ)

Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

0,5

0,5

0,5

0,5

Nếu trong 20 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được . (Đường thẳng).

Trong 7 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì tạo thành (Đường thẳng).

Vì 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - 1 = 20 (Đường thẳng).

Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng).

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4.0 điểm)

Thực hiện phép tính

a) A = 1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…8.8

= 1.2.3…8.(9 - 1 - 8)

= 0

b) B =

c) C = 70.( + + )

= 70.( + + )

= 70.13.( + + )

= 70.13.( - )

= 39

d ) B =

=

=

=

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

Bài 2: (4.0 điểm)

1. + = 4 = 4 - =

TH1: - 2x = 2x = - 2x = x =

TH2: - 2x = 2x = + 2x = x =

Vậy x= ; x =

Vậy x = 21

c)

Vậy

d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147

2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147

2014x + 2027091 = 2035147

2014x = 8056

x = 4

Vậy x = 4

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 3: (4.0 điểm)

1. Gọi số tự nhiên cần tìm là a

Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a - 2 chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 do đó a - 2 là BC(3, 4, 5, 6)

+ BCNN(3, 4, 5, 6) = 60

+ Lập luận a - 2

a

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất và chia cho 7 thì dư 3 nên a = 122

1. x + y + xy = 40

(y+1)x + y + 1= 41

(x + 1)(y + 1) = 41

Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41

Tính được (x, y)

1. Theo đề bài ta có: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyên)

Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1)

a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2)

Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13 là bội của 4.9 = 36

Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23

Vậy a chia cho 36 dư 23

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

Bài 4: (6.0 điểm)

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C

=> AC = AD + CD

= 4 + 3 = 7(cm)

Vậy AC = 7cm

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

ta có đẳng thức: = +

=> = - = 55⁰ – 30⁰ = 25⁰

c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp)

- Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD

+ Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

Tính được =- =

- Trường hợp 2: Tia Bz^, và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD

+ Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được = + =

0,75

0,5

0,5

0.25

1.0

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

Bài 5: (2.0 điểm)

T = + ++ ++

2T = 2 + ++ ++

2T –T=

2 + - +-+…….+ -+--

T= 2+++………+ -

Đặt N = ++………+

Ta có 2N = 1+ ++………+

2N-N= 1-

Vậy N < 1

Nên T< 2+1-=3-

Vậy T<3

0.75

0.5

0.5

0.25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Đáp án

Điểm

1.1

(2.0 điểm)

Tính

Tính được số các số hạng của A là (2016 - 1) : 1 + 1 = 2016 số hạng

0,75

Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào một nhóm:

0.75

Vậy A=-2016

0.5

1.2

(2.0 điểm)

1.75

Vậy B=

0.25

2.1

(2.0 điểm)

So sánh và

Ta có

0.75

Ta có

0.75

Từ (1) và (2) suy ra A>B

0.25

Vậy A>B

0.25

2.2

(2.0 điểm)

Tìm x biết: (1)

Ta có:

1,25

Nên từ (1) suy ra: =>x=3

0.5

Vậy x=3

0.25

2.3

(2.0 điểm)

Chứng minh rằng: nếu p và p²+2 là các số nguyên tố thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

Ta nhận xét rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia cho 3 đều có dạng

p=3k+1 hoặc p=3k+2 ()

0.5

Với p=3k+1 thì p²+2=9k²+6k+3 chia hết cho 3.

Với p=3k+2 thì p²+2=9k²-6k+6 chia hết cho 3

0.5

Vì p là nguyên tố nên pkhi đó trong cả 2 trường hợp trên thì p²+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức là p²+2 là hợp số

=> p²+2 chỉ là nguyên tố khi p=3 (khi đó p²+2=11 là số nguyên tố)

=> p³+2=27+2=29 là số nguyên tố

0.75

Vậy nếu p và p²+2 là các số nguyên tố thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

0.25

3.1

(2.0 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số là phân số rút gọn được.

Gọi d là ƯCLN(2n+1,n+2) (d)

Ta có 2n+1d, n+2d => [(2n+4)-(2n+1)]d

=> 3d

0.75

Vì d nên d{1;3}

Để phân số rút gọn được thì d=3

0.75

=> n+2=3k ()

=> n=3k-2 ()

Vậy với n=3k-2 () thì phân số là phân số rút gọn được.

0.5

3.2

(2.0 điểm)

Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của lớp 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp.

Số học sinh giỏi của lớp 6B bằng

( số học sinh giỏi lớp 6A)

Số học sinh giỏi lớp 6C bằng

( số học sinh giỏi lớp 6A)

Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng

( số học sinh giỏi lớp 6A)

Vậy số học sinh giỏi lớp 6A là 90: 3 = 30 học sinh, của lớp 6B là 36 học sinh và của lớp 6C là 24 học sinh

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

4

(4.0 điểm)

Cho tam giác ABC có , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=2cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD.

b) Tính số đo của góc DCB biết .

c) Dựng tia Cx sao cho . Tính .

d) Trên cạnh AC lấy điểm E. Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau.

E

E

Trường hợp 1 Trường hợp 2

a) D nằm giữa A và B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm

KL...

0.75

0.25

b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB

=>

=>=40⁰
KL...

0.75

0.25

c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB

Tính được góc ACx = 90⁰- = 70⁰

K.L...

- Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB

Tính được góc ACx = 90⁰ + = 110⁰

K.L ...

0.5

0.5

- Xét đường thẳng CD.

Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A.

E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A

=> E và B ở 2 nửa MP bờ CD

=> đường thẳng CD cắt đoạn EB

- Xét đường thẳng BE.

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD.

Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

0.5

0.5

5

(1.0 điểm)

Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho:

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: abc khi đó ta có:

Nếu a=1 thì không thể được, do đó a= 2 hoặc a=3

0.5

Nếu a=2 thì

Suy ra

Suy ra b=4 hoặc b= 5 hoặc b=6 vì <

Suy ra các số a, b, c thỏa mãn là (a=2,b=4,c=20) và (a=2,b=5,c=10)

0.5

Nếu a=3 thì

từ đó suy ra b=3 hoặc b=4. Không có trường hợp nào thỏa mãn

0.5

K.L có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ ba số (2,4,20) và (2,5,10)

0.5

Điểm toàn bài

20 điểm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Nội dung

Điểm

1

(3,0đ)

a) 21.7² - 11.7² + 90.7² + 49.125.16 = 7²(21 – 11 + 90) + 49.125.16

= 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21

0.5đ

0.5đ

b) =

=

0.5đ

0.5đ

2

(6,0đ)

a) x : ( - ) =

x : 8 = x = 2 .Vậy x = 2

0.5đ

1.0đ

b) = (x + 1) = 16 = (4)²

*) x + 1 = 4 x = 3

*) x + 1 = - 4 x = - 5 .

Do x N nên x = 3.

0.75đ

0.5đ

0.25đ

c) 5^{2x - 3} – 2.5² = 5².3 5^{2x - 3} = 5².3 + 2.5²

5^{2x - 3} = 5².5 5^{2x - 3} = 5³

2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3. Vậy x = 3

0.5đ

0.5đ

0.5đ

d)

*) 2x – 7 = 5 2x =12 x = 6

*) 2x – 7 = - 5 2x = 2 x = 1

Vậy x

0.75đ

0.5đ

0.25đ

3

(6,0đ)

a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.

xy - x + 2y = 3 ( xy – x) + (2y – 2) = 1

x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 (y – 1)( x + 2) = 1

*)

*)

Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0

0.75đ

0.75đ

b) 2^{x + 1} . 3^y = 12^x 2^{x + 1} . 3^y = (4.3)^x = 2^2x.3^x

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y - x = 0 x = y = 1

0.5đ

0.5đ

0.5đ

c) Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp nên tổng của chúng luôn bằng 1+ 2+ 3 = 6.

Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh

A = chia hết cho 4 ; 9 và 11.

Thật vậy :

*) A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4

*) A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :

1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9

*) A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.

{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0

Vậy A 396

0.5đ

0.75đ

0.25đ

d) B =

B =

Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên

11 (n+2) n + 2 Ư(11) =

Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 n = 9

Vậy n = 9 thì B N

0,5đ

0,5đ

0,5đ

4

(5.0đ)

Vẽ hình

y

A

M

N

)

x

B

40⁰

0.5đ

a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB AM + 2 = 5 AM = 3 cm

Có AN = AM AN = 3 cm

Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B

BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm. Vậy BN = 8cm

1.5đ

b) + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: hay

0.75đ

0.75đ

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có và là hai góc kề bù

hay

c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất

Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất

Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.

Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.

1,5đ

5

(1.0đ)

Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng 1 + 2 +…+ n =

Mà 1 + 2 + 3+…..+ n =

Suy ra = = a . 111 = a . 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a

Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n 37 hoặc n + 1 37

Vì số có 3 chữ số n+1 < 74 n = 37 hoặc n + 1 = 37

+) Với n = 37 thì ( loại)

+) Với n + 1 = 37 thì ( thoả mãn)

Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+…..+ 36 = 666

0.5đ

0.5đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN LỚP 6

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1 (4đ)

1) 4n – 5 = 4n – 2 – 3 = 2(2n – 1) – 3 2n – 1

Vì 2(2n – 1) 2n – 1 nên 3 2n – 1

-> 2n – 1 Ư₍₃₎

Lí luận đi đến 2n – 1

Kết luận n

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

2) a) Vì 3 không chia hết cho 9

Các hạng tử còn lại đều chia hết cho 9

Nên S không chia hết cho 9

b) Tính được số số hạng của tổng S là 1008 số hạng

S = (3¹ + 3³ + 3⁵) + (3⁷ + 3⁹ + 3¹¹) + ... + (3²⁰¹¹ + 3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁵)

S = 3. 91+ 3⁷. 91 + …..+ 3²⁰¹¹. 1 91

Kết luận S 7

S = (3¹ + 3³) + (3⁵ + 3⁷) + ... + (3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁵)

S = 3. 10+ 3⁵. 10 + …..+ 3²⁰¹³. 10 10

Kết luận S 10

Vì (10, 7) = 1 nên S 70

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu 2 (4đ)

a)

( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.

Tính được 100x + 101. 100 : 2 = 5750

Kết luận đúng x = 7

1. x²y – x + xy = 6

⬄ (xy – 1)(x + 1) = 5 = 1.5 = (-1)(-5)

Xét 4 trường hợp và kết luận

(x;y) = (-2;2), (-4;0).

1 đ

1 đ

1 đ

1 đ

1. Số số hạng của A là (số hạng)

Số hạng cuối cùng là: (1007 – 1).4 + 1 = 4025

1 đ

1 đ

Câu 3

(2đ)

Đặt A = = = =

A Có GTNN⬄ 1 + có GTLN ⬄ Có GTLN ⬄ b = 9 và a = 1

Khi đó số = 19

GTNN của A là 1,9

0.5đ

1đ

0.5đ

Câu 4

(4đ)

Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham quan là như nhau nên ta lấy làm đơn vị.

Số hs nữ đăng kí đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số.

Số hs nữ đã đi tham quan bằng số nam đã đi tham quan nên bằng tổng số.

Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là: - tổng số hay 1 học sinh

Tổng số hs là = 30 (học sinh)

Số hs nữ đã đi tham quan là: 30 . = 5 (học sinh)

Số hs nam đã đi tham quan là: 30 – 25 = 5 (học sinh)

0.5đ

0.5đ

0.5đ

1đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu 4

(5đ)

Tính

2 trường hợp :

a, Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox

b, Trường hợp 2 : 2 tia Oy và Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox.

Chỉ được Ox nằm giữa Om và Oz.

Tinh đúng

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

1đ

1đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài

Tóm tắt nội dung hướng dẫn

Điểm

Bài 1

(4,0 đ)

Câu a ( 2 điểm)

Ta có 4x + 3y 7

4( 4x + 3 y) 7

16x + 12 y 7

14x + 7y + 2x + 5y 7

Mà 14x + 7y = 7(2x + y) 7

Nên 2x + 5y 7

Vậy 4x + 3y 7 khi 2x + 5y 7

Câu b ( 2 điểm)

Gọi số phải tìm là a .

Ta có a + 42 chia hết cho 130 và 150 nên a + 42 là BC(130,150)

Tìm đúng a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708 ( mỗi giá trị 0,25 đ)

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,75đ

1,25đ

Bài 2

( 5,0đ)

Câu a ( 2,0 điểm)

Ta có

A =

Vậy A = ( 0 + 0) . = 0

Câu b(3,0 điểm)

Từ ta có: (x,y N)

Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó yƯ(54) = ,

vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54.

Vậy y

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y)

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,75 đ

0,25 đ

Bài 3

(2 đ)

* Chứng minh S <

S =

S <

S <

S<

S << hay S < (1)

* Chứng minh < S

S >

S >

S >

S > > Hay S >

Từ (1) và (2) ta có < S <

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

Bài 4

(4 đ)

Gọi a, b, c là 3 số tự nhiên phải tìm.

Theo đề bài ta có: ( 1) và (2)

Từ ( 1) suy ra , thay vào (2) ta có:

Tính được b = 30,

Vậy 3 số tự nhiên cần tìm là: 30; 20; 36

1 đ

1 đ

1 đ

0,75 đ

0,25 đ

Bài 5

(5,0 đ)

O

t

x

z

y

m

x’

• Bài làm không có hình vẽ không cho điểm.
• Hình vẽ chính xác phần a, b được 0,5 điểm

Câu a : 2,0 điểm

* Chứng minh góc tOz + góc zOm = 180⁰

Tia Oz nằm trong góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 90⁰

Theo giả thiết có các tia phân giác nên góc xOz = góc tOz

góc zOy = góc zOm

Từ đó suy ra góc tOz + góc zOm = 90⁰

Hay góc tOz + góc zOm = 180⁰

* Chứng minh góc tOz và góc zOm là hai góc kề nhau:

* Kết luận : Cho 0,5 điểm

0,5 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,25

Câu b : 1,5 điểm

Chứng minh góc tOx = mOx’ = 30⁰ ( Cùng kề bù với góc mOx)

Góc tOx = góc xOz = 30⁰

Góc tOz = 60⁰

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

Câu c : 1,0 điểm

Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’. Tất cả trong hình vẽ có n+6 tia phân biệt .

Cứ 1 tia trong n+6 tia đó tạo với n+5 tia còn lại thành n+5 góc .

Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần . Vậy có tất cả là góc

Thay = 2014 ta được số góc có là

(2014+6)(2014+5) : 2 = 2 039 190 góc

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(5 điểm)

a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750.

=> 100x + 101.50 = 5750

=> 100x = 700 = > x = 7

b) +) x = 0 => 2⁰ + 124 = 5^y => 125 = 5^y

=> 5³ = 5^y => y = 3

+) x0 => 2^x + 124 là số chẵn => 2^x + 124 = 5^y là vô lý

Vậy x = 0 và y = 5 thì thỏa mãn đề bài.

c) A = . = A = .(1 - 1)

= -

= 54

0,75

0,75

0,5

0,25

0,5

0,25

0,5

0,5

1,0

Câu 2

(4 điểm)

a) Chứng minh : 10²⁰¹⁴ + 8 8

10²⁰¹⁴ + 8 9

Mà (8; 9) = 1 => 10²⁰¹⁴ + 8 72

=> là một số tự nhiên.

b) 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7

=> 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7

Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7

c) Khi xét 1 số tự nhiên khi chia cho 10

=> Có thể xảy ra 10 trường hợp về số dư (1)

Mà các số tự nhiên từ 11 --> 21 gồm (21 - ) + 1 = 11 số.

Biết mỗi số cộng với đúng số thứ tự của nó được 1 tổng

=> Có 11 tổng , mỗi tổng đều có giá trị là 1 số tự nhiên (2)

Từ (1) và (2) => Trong 11 tổng trên chắc chắn có 2tổng có cùng số dư khi chia cho 11

=> Luôn hai tổng có hiệu chia hết cho 10.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3

(2 điểm)

Xét tổng S = có 30 số hạng

Mà

=> (1)

Lại có :

=> S < => S < 8 (2)

Từ (1) và (2) => 3 < S < 8.

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

0,25

Câu 4

(4 điểm)

Lập luận => Số thứ nhât bằng số thứ hai.

Số thứ ba bằng số thứ hai.

=> Tổng của ba số bằng số thứ hai

=> Số thứ hai là : 420 : = 132

=> Số thứ nhất là :

=> Số thứ nhất là :

0,75

0,75

0,75

0,75

0,5

0,5

Câu 5

(5 điểm)

a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ chứa tia Ox :

Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz

z

x

y

O

=> góc yOz = 80⁰ + 30⁰ = 110⁰

+) TH2: Hai tia Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mp bờ chứa tia Ox

O

y

z

x

Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy .

=> góc yOz = 80⁰ - 30⁰ = 50⁰

b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a.

=> Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD

+) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D

=> Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.

+) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D

=> Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.

Suy ra điều phải chứng minh .

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(4điểm)

1) Ta viết số A dưới dạng sau : A = 10ⁿ + 18n - 1 = 10ⁿ - 1 - 9n + 27n = - 9n + 27n = 9( - n) + 27n

n là tổng các chữ số của nên ( - n) 3

Từ đó A 27

2) Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d N, d 1) thì 16n + 3 d và

12n + 2 d 3(16n + 3) d và 4(12n + 2) d Do đó 3(16n + 3) - 4(12n + 2) d

48n + 9 - 48n - 8 d

1 d

Vậy d = 1 Phân số là phân số tối giản.

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Câu 2

(5điểm)

1) Ta có: (x - 1)(3 - y) = 2

Vì 4 có các ước là - 2; -1; 1; 2 và nên (x - 4), (3 - y) .Do đó ta có:

+ .

+

+

+

Vậy các cặp số nguyên x; y thỏa mãn là: (x; y) =

2) (

mà x nên x

3. Nhân vào hai vế ta được :

.

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

1đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Câu 3

(2điểm)

1 + + () + () + () + …+() > 1 + = 1+ . 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM)

0,5đ

1đ

0,5đ

Câu 4

(4điểm)

- Nhận xét : quả cuối cùng chính là số cam còn lại sau lần 3. Vậy bài này phải tính ngược từ dưới lên.

Tiết mục đơn ca được tặng = 1 (quả).

Tương tự trên, tiết mục đơn ca và tốp ca được tặng :

() : = 8 (quả).

Tương tự số cam của trường đó đã tặng :

(8 + ) : = 49 (quả)

Số cam tặng tiết mục tốp ca : 8 - 1 = 7 (quả)

Số cam tặng tiết mục đồng ca : 49 - 8 = 41 (quả).

1đ

0,75đ

0,75đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Câu 5

(5điểm)

z^,

y

x^, O x

z

y^,

a) Kẻ tia Ox^, là tia đối của tia Ox Ta có: + = 180⁰ (kề bù)

= 180⁰ - 120⁰ = 60⁰

Tương tự:

Ta có : và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên vậy

b) Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz.

-Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy.

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

1đ

0,5đ 0,5đ

1đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài

Nội dung

Điểm

Bài 1

(4điểm)

Câu a( 2 điểm)

A = 5 – 5² + 5³ – 5⁴ + …- 5⁹⁸ + 5⁹⁹

5A = 5² – 5³ + 5⁴ - …+ 5⁹⁸ – 5⁹⁹ + 5¹⁰⁰

Tính và rút gọn được 6A = 5 + 5¹⁰⁰

Câu b ( 2 điểm)

Ta có: . ( +1).( + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.

Mà không chia hết cho 3

nên ( + 1).( + 2) 3 ∀ n∈ N

0,5 đ

1 đ

0,5 đ

0,75 đ

0,5 đ

0,5đ

0,25đ

Bài 2

(5điểm)

Câu a( 3 điểm)

Ta có : -4 = 1².(-4) = 2².(-1) nên ta có các trường hợp sau:

TH1: ( x - 2)² = 12 và y - 3 = -4

x - 2 = 1 ; y = -1 hoặc x - 2 = -1; y = -1

x = 3; y = -1 hoặc x = 1; y = -1

TH2: ( x - 2)² = 2² và y - 3 = -1

x - 2 = 2 ; y = 2 hoặc x - 2 = -2; y = 2

x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = 2

KL: Vậy ta có các cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là:

(3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)

Câu b( 2 điểm)

Ta có: 4n – 3 3n – 2

Mà 3n + 2 3n + 2

→ 3(4n – 3) – 4(3n – 2) 3n – 2

→ ( 12n - 9 - 12n + 8 ) 3n – 2

→ - 1 3n – 2

→ 3n – 2 Ư(-1)

+) 3n – 2 = 1 suy ra n = 1

+) 3n – 2 = -1 suy ra n = 1/3

Kết hợp điều kiện n nguyên ta được n = 1

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5đ

0,75đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Bài 3

(2điểm)

Giữ nguyên

Ta có:

Chứng minh A’ =

Do đó

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,75 đ

Bài 4

(4điểm)

Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham quan là như nhau, ta lấy làm đơn vị.

Số nữ dự định đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số nam và nữ.

Số nữ đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số nam và nữ.

Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là: ( tổng số học sinh) hay tổng số học sinh tương ứng với 1 học sinh.

Tổng số học sinh là: 1 : = 30 ( học sinh)

Số học sinh nữ đã đi tham quan là: 30 . = 5 (học sinh)

Số học sinh nam đã đi tham quan là: 30 – 5 = 25 ( học sinh)

Vậy có 5 học sinh nữ và 25 học sinh nam đi tham quan.

0,5 đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Bài 5

(5điểm)

Vẽ hình đúng câu a, b được 0,5 điểm ( hs không vẽ được hình không tính điểm bài làm)

x

O

y

z

t

Câu a ( 1 điểm)

Vì

Mà nên

Tính được

Câu b ( 2,5 điểm)

Ta có 2 trường hợp:

TH1: Tia Om nằm giữa tia Oz và tia Ot

x

O

y

z

t

m

Tính được

TH2: Tia Ot nằm giữa 2 tia Om và Oz

x

O

y

z

t

m

Tính được

Câu c ( 1 điểm)

Từ hai tia chung gốc ta vẽ được 1 góc.

Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om. Tất cả trong hình vẽ có 15 tia phân biệt .

Cứ 1 tia trong 15 tia đó tạo với 14 tia còn lại thành 14 góc .

Có 15 tia nên tạo thành 15.14 ( góc)

nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần .

nên có tất cả số góc tạo thành từ 15 tia phân biệt chung gốc là : góc

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

1,25 đ

1,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài

Nội dung

Điểm

Bài 1

(4điểm)

1. Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17

Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17

Ngược lại Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1

2x + 3y chia hết cho 17

2. B = (3 + 3² + 3³+ 3⁴) +……+ (3⁹⁷+3⁹⁸+3⁹⁹+3¹⁰⁰)

= 3 (1 + 3 + 3²+3³)+…….+ 3⁹⁷(1+3+3²+3³) = 40. (3 + 3⁵ +3⁹ +………+3⁹⁷ ) : 40

3. Do –4 = 1² . (- 4) = 2².(-1) nên có các trường hợp sau:

a.

hoặc

b.

hoặc

1,0đ.

0,5đ.

0,5đ

1,0đ.

1,0đ

Bài 2

(5điểm)

1 .a) 3^2x = 81 => 3^2x = 3⁴ => 2x = 4 => x = 2

b). 5^2x-3 – 2.5² = 5².3⬄5^2x: 5³ = 5².3 + 2.5²⬄5^2x: 5³ = 5².5

⬄5^2x = 5².5.5³⬄ 5^2x = 5⁶

=> 2x = 6 => x = 3

2 .

3. Ta có

......;

B=

B=

4.

Để A N thì 187 4n + 3 => 4n +3

+ 4n + 3 = 11 -> n = 2

+ 4n +3 = 187 --> n = 46

+ 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N

Vậy n = 2; 46

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

1,0đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

Bài 3

(2điểm)

Ta có:

Vậy

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

Bài 4

(4điểm)

Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1

Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2.

Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3

Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng :4 .8 : 2 = 16 ( quyển loại 3)

Số trang của 9 quyển loại 2 bằng9 .4 : 3 = 12 (quỷên loại 3)

Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3)

Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2 là (trang)

Số trang 1 quyển vở loại1 là; ( trang)

A

0,5đ.

1,0đ.

1,0đ.

0,5đ.

1,0đ.

Bài 5

(5điểm)

M

B

C

y

x

a. M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM

-> C nằm giữa B và M. -> BM = BC + CM = 8 (cm)

b. C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM

-> CAM = BAM - BAC = 20⁰

c. Có xAy = x AC + CAy = BAC + CAM

= ( BAC + CAM) = BAM = .80 = 40⁰

d. +) Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K₁

-> BK₁ = BC + CK₁ = 6 (cm)

+)Nếu K tia CB -> K₂ nằm giữa B và C

-> BK₂ = BC = CK₂ =4 (cm)

0,75đ

0,5đ.

0,75đ

1,0đ

1,0đ

1,0đ

HÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

BÀI

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Bài 1

(4,0điểm)

a/ nZ và n2

b/ (n - 2 ) Ư( -5) =

Vậy n = 1;3;7

2

1

0,5

0,5

Bài 2

(5 điểm)

1

A= 24.136 + 24.14 - 14.150 = 24.(136 + 14)- 14.150

= 24.150 - 14.150= 150. (24- 14)=150.10 =150

0,5

1

1

2

a) 3 + 2^x-1 = 24 – [4² – (2² - 1)]

3 + 2^x-1 = 24 – 4² + 3

2^x-1 = 24 – 4² = 2²

x -1 = 2

x = 3

0,5

0,5

0,5

b/ x = 7 hoặc x = 3;

1

Bài 3

(5đ)

1.( 2điểm)

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai đ O và B OA< OB.Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

Vì OA < OB, nên OM < ON.

Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.

A

B

C

O

D

2.(3 điểm)

Vẽ hình đúng

a)Vì và là hai góc kề bù nên: mà nên: 6 = 180⁰

Do đó: = 180⁰ : 6 = 30⁰ ; = 5. 30⁰ = 150⁰ b)Vì OD là tia phân giác của nên = = =75⁰.

Vì góc và góc là hai góc kề bù nên:

Do đó =180⁰ – = 180⁰- 75⁰ = 105⁰

KL:

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Bài 4

(4,0điểm)

Gọi số bạn An nghĩ ra là A

Vì (A-8) 7 ⇒ (A-1) - 7 7⇒ (A-1) 7

Vì (A-9) 8 ⇒ (A-1) - 8 8⇒ (A-1) 8

Vì (A-10) 9 ⇒ (A-1) - 9 9⇒ (A-1) 9

Do đó: (A-1) là bội chung của 7,8,9 và A là số có 3 chữ số

nên

99 < A < 1000

Từ đó giải và tìm được A-1 = 504Suy ra :A= 505

1

0,5

0,5

1

0,5

0,5

Bài 5

(2,0đ)

Ta có ; ; ; … ;

0,5

0,5

0,5

= < 1

0,5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

- = .10000 + .100 + = 10101.

0,50

- Do 10101 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3 hay là bội của 3.

0,50

Có: 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ = 5(1 + 5³) + 5²(1 + 5³) + 5³(1 + 5³)

= 5. 126 + 5².126 + 5³.126

⇒ 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ chia hết cho 126.

0,50

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + 5⁶(5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + … + 5¹⁹⁹⁸(5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶).

Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

0,25

Có: 5 + 5² + 5³ + 5⁴ = 5+ 5³ + 5(5 + 5³) = 130 + 5. 130.

⇒ 5 + 5² + 5³ + 5⁴ chia hết cho 130 .

0,25

S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁴ (5 + 5² + 5³ + 5⁴ ) + … + 5²⁰⁰⁰(5 + 5² + 5³ + 5⁴ )

Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

0,25

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.

0,25

- ⇒

0,25

- ⇒

0,25

- ⇒

0,25

- ⇒4

0,25

- ⇒

0,25

- ⇒

0,25

- ⇒

0,25

- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)

0,25

Câu 3: (2.0 điểm)

a) - Nếu p lẻ ⇒ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố.

0,25

- Suy ra p chẵn ⇒ p = 2.

0,25

b) - Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.

0,25

- Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.

0,25

- Suy ra p chia hết cho 3, p nguyên tố nên p = 3.

0,5

C©u4 (1.5 điểm)

Gäi sè bÞ chia lµ a; sè chia lµ b (b ≠ 0)

PhÐp chia cã th­¬ng b»ng 5 sè d­ lµ 12 ⇒ a = 5b+12

0,5

Sè bÞ chia chia cho tæng sè chia vµ sè d­®­îc th­¬ng lµ 3 vµ sè d­ lµ 18 ⇒

a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54

0,5

⇒ 5b + 12 = 3b + 54 ⇒ b = 21 ⇒ a = 117

VËy sè bÞ chia lµ 117.

0,5

Bài 5: Vẽ hình (0,25đ)

- M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm)

0,25

- AN = AM = 2 (cm)

0,25

- A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm).

0,25

- BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất.

0,25

- AN lớn nhất khi AM lớn nhất.

0,25

- AM lớn nhất khi AM = AB.

0,25

- Lúc đó M trùng với B và BN bằng 6(cm).

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

a.

1

0.5

0.5

0.5

b. B²= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b)

thay a=-50, b-c=2 vào ta được B²=-50.(-2)=100

do nên B=10

0.5

0.5

0.5

Câu 2

a. (1,5 điểm)

(2x+1)(y-3)= 12

Với ⇒ 2x+1 là số lẻ.

Ta có: 12 =1.12=3.4

2x+1=1⇒ 2x=0⇒ x=0; y-3=12 ⇒ y=15

2x+1=3⇒ 2x=2⇒ x=1; y-3=1 ⇒ y=4

Vậy x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=4

0.25

0.25

0.25

0.25

0. 5

b. (1,25 điểm)

Ta có :

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

c. (1 điểm)

36²⁵ = (18.2)²⁵ =18²⁵ .2²⁵ =18²⁵ .2⁶ .2¹⁹

25^{36 =}25²⁵.25¹¹= 25²⁵.5²²= 25²⁵.5³.5¹⁹

ta có: 5³=125, 2⁶=64, ⇒ 5³>2⁶

25²⁵>18²⁵; 5¹⁹>2¹⁹

Vậy 25²⁵.5³.5¹⁹ >18²⁵ .2⁶ .2¹⁹ hay 36²⁵ <25³⁶

0.25

0.25

0.25

0. 5

Câu 3

a. Gọi d là UC của 6n+5 và 3n+2

ta có: và

Vậy phân số là phân số tối giản

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

b. Ta có

p đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá trị nhỏ nhất

vì nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n=0 hay n=0

Vậy với n=0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 2+1/2=3/2

0.5

0.5

0.5

0.25

Câu 4

1(4 điểm).

a. Ta có ∠xOy + ∠yOt=180⁰

(Vì 2 góc kề bù)

Thay ∠xOy = 40⁰ ta có:

40⁰+∠yOt= 180⁰

suy ra ∠yOt=140⁰

Ta có: Om là tia phân giác của ∠tOy nên

Vì 2 góc xOy và yOt kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau

suy ra ∠tOm và ∠mOx là hai góc kề bù

⇒∠tOm + ∠mOx = 180⁰

70⁰ + ∠mOx = 180⁰

∠mOx = 180⁰-70⁰= 110⁰

b. Ta có ∠mOx+ ∠xOn = 110⁰+ 70⁰=180⁰

⇒ ∠mOx và ∠xOn là hai góc bù nhau (1)

- Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox; - Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox

nên: Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox

⇒ ∠mOx và ∠xOn là hai góc kề nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠mOx và ∠xOn là hai góc kề bù.

Vẽ hình 0,5

0.25

0. 5

0.25

0. 5

0.5

0.5

0.5

0.5

2. (3,5đ)

- Vì D nằm giữa A và B nên: AD+DB=AB

Thay AB= 6cm ta có AD+DB = 6 (cm)

Lại có AC+DB=9cm (gt)

⇒ AD+DB< AC+DB hay AD<AC (1)

- Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D,C cùng thuộc tia AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C

b, Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC

Lại có AC+BD= 9

nên AD+DC+BD = 9 hay (AD+DB)+DC =9

Thay (AD+DB)=6

ta có 6+DC=9 vậy DC= 3(cm)

Vẽ hình

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.25

0.5

0.5

Câu 5

Xét 2x+5y= 14

Ta có:

Do (5,2)=1 nên

Ta có 3y<14 ⇒ y<14 :5 ⇒

Mà y là số nguyên dương và nên y = 2

ta có 2x+5.2=14⇒ 2x=4⇒ x=2

vậy x=2, y=2

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Môn: Toán – Lớp 6

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1

(3,0điểm)

Hướng dẫn giải

Điểm

A = 1 + 3² + 3⁴ + 3⁶ +…+ 3²⁰⁰⁸

9A = 3² + 3⁴ + 3⁶ + 3⁸ +… + 3²⁰¹⁰

1,0

Tính được 8A = 3²⁰¹⁰ - 1

1,0

B = 8A - 3²⁰¹⁰ = 3²⁰¹⁰ - 1 - 3²⁰¹⁰ = -1

1,0

Bài 2

(4,0điểm)

a,

(2,0 điểm)

Tìm chữ số tận cùng của A

- Tìm được chữ số tận cùng của tích B = 1.4.7.10…58 là 0

0,75

- Tìm được chữ số tận cùng của tích C = 3.12.21.30…174 là 0

0,75

- Tìm được và kết luận chữ số tận cùng của A là 0

0,5

b,

(2,0 điểm)

Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377

- Nhận xét 377 = 13.29

0,5

- Tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13. Do đó B = 1.4.7.10.13…58

B = 1.4.7.10.13…29.2

Suy ra B chia hết cho 377

0,5

- Tìm được quy luật của các thừa số trong tích C là các số tự nhiên chia 9 dư 3, nên C chứa thừa số 39. Do đó C = 3.12.21.30.39…174

C = 3.12.21.30.(3.13)…(6.29)

Suy ra C chia hết cho 377

0,5

- Kết luận A chia hết cho 377

0,5

Bài 3

(4,0điểm)

a,

(1,5 điểm)

x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450.

100x + (1 + 2+ 3+ …+ 99) = 5450

0,5

Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ …+ 99 = 4950

khi đó 100x + 4950 = 5450

0,5

100x = 500

0,25

x = 5

0,25

b,

(1,5 điểm)

3.(5^x - 1) - 2 = 70.

3.(5^x - 1) = 70 + 2

3.(5^x - 1) = 72

0,5

5^x - 1 = 72 : 3

5^x - 1 = 24

5^x = 25

0,5

5^x = 5²

x = 2

0,5

c,

(1,0 điểm)

2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 960 - 2^{x + 3}

2^x (1 + 2 + 2² + 2³) = 960

2^x .15 = 960

2^x = 960: 15

0,5

2^x = 64

2^x = 2⁶

x = 6

0,5

Bài 4

(4,0điểm)

a,

(2,0 điểm)

Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau…

- Gọi số cần tìm là , (điều kiện của a, b…)

0,25

- Theo đề bài ta có .a.b =

Suy ra .a.b = 111.b

Hay .a = 111

0,75

Mà 111 = 3.37

Trong đó: 3 là số nguyên tố; 7 là số nguyên tố; 3 7 thỏa mãn đề bài

nên = 37

0,75

Kết luận số cần tìm là 37

0,25

b,

(2,0 điểm)

Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với kN, k 1)

0,5

Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1)

và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài

0,75

Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3)

và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số

0,75

Kl…..

Bài 5

(5,0điểm)

a,

(3,0 điểm)

Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần, nên số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm

1,5

- Khi số giao điểm là 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128

1,0

- Lý luận tìm được n = 48

0,5

b,

(2,0 điểm)

- Giả sử số giao điểm bằng 2017

- Áp dụng kết quả câu a ta có n(n - 1):2 = 2017

1,0

- Lý luận tìm ra điều vô lý

- Kết luận: Số giao điểm không thể bằng 2017

1,0