90 câu trắc nghiệm vectơ trong không gian có đáp án
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′, ta có:
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có: ;
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: và
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó và không cùng phương. Khi đó: đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho . Khi đó:
+ Với . Qui ước:
+
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: thì đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Phân tích
- Khi đó
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
• là bốn điểm đồng phẳng
• là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có trong đó .
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
.
Câu 2: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là tâm của hình bình hành . Ta phân tích như sau:
(do tính chất của đường trung tuyến)
.
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta phân tích:
(tính chất đường trung tuyến)
.
Câu 5: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt ,, , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích:
.
.
.
.
Câu 6: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. .
B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.
C. .
D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A đúng do tính chất đường trung bình trong và tính chất của hình bình hành .
B đúng do nên bốn điểm , , , đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
.
D sai do giá của ba vectơ ; ; đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi ”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. là trung điểm của đoạn (, lần lượt là trung điểm và ).
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta gọi và lần lượt là trung điểm và .
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
là trung điểm đoạn .
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Câu 8: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là trung điểm .
Ta phân tích:
.
Câu 9: Cho hình hộp có tâm . Đặt ; . là điểm xác định bởi . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là tâm hình bình hành . B. là tâm hình bình hành .
C. là trung điểm . D. là trung điểm .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta phân tích:
.
là trung điểm của .
Câu 10: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ. Chọn khẳng định đúng?
A. Hai vectơ cùng phương. B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ cùng phương. D. Ba vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ Nhận thấy: nên hai vectơ cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu là hình thang thì
C. Nếu thì là hình bình hành.
D. Nếu thì là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 12: Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng?
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
D
A1
B1
C1
D1
C
B
A
Chọn C.
lần lượt là trung điểm của .
Ta có đồng phẳng.
Câu 13: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ . Chọn khẳng định đúng?
A. Ba vectơ đồng phẳng. B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ cùng phương. D. Ba vectơ đôi một cùng phương.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: nên ba vectơ đồng phẳng.
Câu 14: Cho hình hộp . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
D
A1
B1
C1
D1
C
B
A
Chọn B.
+ Ta có: . Nên .
Câu 15: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt ,, , . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
J
K
O
D
A’
B’
C’
D’
C
B
A
Chọn A.
+ Gọi lần lượt là trung điểm của .
+Ta có:
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A
B
C
B1
A1
C1
+ Dễ thấy: .
Câu 17: Cho hình hộp. Gọi là tâm hình bình hành và là tâm hình bình hành. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
I
K
D
E
F
G
H
C
B
A
+ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
O
D
A1
B1
C1
D1
C
B
A
Chọn A.
+ Gọi là tâm của hình hộp .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác là hình bình hành nếu .
B. Tứ giác là hình bình hành nếu .
C. Cho hình chóp . Nếu có thì tứ giác là hình bình hành.
D. Tứ giác là hình bình hành nếu.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
là hình bình hành
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Ta có bằng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(Vì )
Câu 22: Trong không gian cho điểm và bốn điểm không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tạo thành hình bình hành là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 23: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Bốn điểm , , , đồng phẳng B.
C. Ba vectơ không đồng phẳng. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì cùng thuộc
B. Đúng vì
C. Sai vì
ba véctơ đồng phẳng.
D. Đúng vì theo câu C
Câu 24: Cho tứ diện . Trên các cạnh và lần lượt lấy sao cho , . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng. B. Các vectơ đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng. D. Các vectơ đồng phẳng.
Chọn A.
A. Sai vì
không đồng phẳng.
B. Đúng vì
: đồng phẳng.
C. Đúng. Bằng cách biểu diễn tương tự như trên ta có
D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có .
Câu 25: Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. B. .
C. D. hay .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì là tứ diện đều nên các tam giác là các tam giác đều.
A. Đúng vì .
B. Đúng vì
C. Sai vì
D. Đúng vì
Câu 26: Cho tứ diện . Đặt gọi là trọng tâm của tam giác. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi là trung điểm .
Câu 27: Cho hình hộp . Gọi là trung điểm . Chọn đẳng thức đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A. Sai vì
B. Đúng vì
C. Sai. theo câu B suy ra
D. Đúng vì .
Câu 28: Cho tứ diện và điểm thỏa mãn ( là trọng tâm của tứ diện). Gọi là giao điểm của và mp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo đề: là giao điểm của và mp là trọng tâm tam giác .
Ta có:
Câu 29: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng. B. Các vectơ không đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng. D. Các vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì
B. Đúng vì từ ta dựng véctơ bằng véctơ thì không nằm trong mặt phẳng .
C. Sai. Tương tự đáp án B thì không nằm trong mặt phẳng .
D. Đúng vì
Câu 30: Cho tứ diện. Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi ”. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. là trung điểm của đoạn ( lần lượt là trung điểm và )
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
là trung điểm nên đáp án A đúng
Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.
Câu 31: Cho hình lập phương . Gọi là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo quy tắc hình hộp:
Mà nên .
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Từ ta suy ra
B. Nếu thì là trung điểm đoạn.
C. Vì nên bốn điểm đồng phẳng
D. Từ ta suy ra .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Suy ra: hay bốn điểm đồng phẳng.
Câu 33: Cho tứ diện. Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
lần lượt là trung điểm của theo quy tắc trung điểm :
Suy ra: hay .
Câu 34: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có :
(vô lí)
Câu 35: Cho hình hộp với tâm . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : (vô lí)
Câu 36: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng.
B. Các vectơ đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng.
D. Các vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Các vectơ đồng phẳng
Mà :
(hệ vô nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số
Câu 37: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi là điểm thỏa mãn: . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. không thẳng hàng. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 38: Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 39: Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
là trọng tâm tứ diện
.
Câu 40: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(quy tắc trung điểm)
Mà (vì là trung điểm ) .
Câu 41: Cho ba vectơ . Điều kiện nào sau đây khẳng định đồng phẳng?
A. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
B. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
C. Tồn tại ba số thực sao cho .
D. Giá của đồng qui.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo giả thuyết tồn tại ít nhất một số khác .
Giả sử . Từ .
đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).
Câu 42: Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
(qt hình bình hành)
Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Nếu thì là trung điểm của đoạn .
B. Từ ta suy ra
C. Vì nên bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.
D. Từ ta suy ra
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Sai vì là trung điểm .
B. Sai vì .
C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
D. Sai vì (nhân 2 vế cho ).
Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Ba véctơ đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.
B. Ba véctơ đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ .
C. véctơ luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ và .
D. Cho hình hộp ba véctơ đồng phẳng
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
C. Sai
D. Đúng vì 3 vectơ đồng phẳng.
Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương có cạnh . Ta có bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 46: Cho hình chóp . Gọi là giao điểm của và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu thì là hình thang.
B. Nếu là hình bình hành thì .
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì .
Vì và thẳng hàng nên đặt
.
Mà không cùng phương nên và
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu là hình thang cân có 2 đáy là thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
A. Từ hệ thức ta suy ra ba véctơ đồng phẳng.
B. Vì nên là trung điểm của đoạn
C. Vì là trung điểm của đoạn nên từ một điẻm bất kì ta có
D. Vì nên bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
B. Đúng
C. Đúng vì
Mà (vì là trung điểm ) .
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.
Câu 48: Cho hình hộp có tâm . Đặt ;. là điểm xác định bởi . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là trung điểm B. là tâm hình bình hành
C. là tâm hình bình hành D. là trung điểm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. là trung điểm (quy tắc trung điểm).
(quy tắc hình hộp).
Câu 49: Cho hai điểm phân biệt và một điểm bất kỳ không thuộc đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
B. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
C. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
D. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Sai vì ( là trung điểm ) thẳng hàng.
B. Sai vì và thẳng hàng: vô lý
C. thẳng hàng.
D. Sai vì thẳng hàng: vô lý.
Câu 50: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là trung điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có ,
nên . Vậy
Câu 51: Cho hình hộp . Chọn đẳng thức sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có : nên D sai.
Do và nên . A đúng
Do nên
nên B đúng.
Do nên C đúng.
Câu 52: Cho tứ diện. Gọi là trung điểm của và . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn B.
Ta có : và
nên . Vậy
Câu 53: Cho hình hộp . là điểm trên sao cho. Lấy trên đoạn sao cho . Với giá trị nào của thì.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn A.
Câu 54: Cho hình hộp . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có nên
Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Vì là trung điểm đoạn nên từ bất kì ta có: .
B. Vì nên bốn điểm đồng phẳng.
C. Vì nên là trung điểm đoạn.
D. Từ hệ thức ta suy ra ba vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn B.
Do đúng với mọi điểm nên câu B sai.
Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng
B. Ba tia vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
C. Cho hai véctơ không cùng phương và . Khi đó ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số sao cho , ngoài ra cặp số là duy nhất.
D. Nếu có và một trong ba số khác thì ba véctơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn A.
Ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai
Câu 57: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện. Gọi là trung điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta chứng minh được nên
Câu 58: Cho ba vectơ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu không đồng phẳng thì từ ta suy ra .
B. Nếu có , trong đó thì đồng phẳng.
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn ta có thì đồng phẳng.
D. Nếu giá của đồng qui thì đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn D.
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.
Câu 59: Cho hình lăng trụ, là trung điểm của. Đặt ,, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có
Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 61: Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Đẳng thức đúng là.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Vì là trọng tâm tam giác nên .
Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
B. Ba véctơ đồng phẳng thì có với là các số duy nhất.
C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có với là véctơ bất kì.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ không cùng phương.
Câu C sai vì với là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ đồng phẳng.
Câu 63: Cho hình hộp . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với ta có: .
Câu 64: Cho hình chóp Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho , trong đó là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa để mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Nếu thì nên .
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác => là đáp án đúng.
Câu 65: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt . Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là tâm hình bình hành . Ta có:=>
Câu 66: Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây sai.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với là một điểm bất kỳ ta luôn có: .
Ta thay điểm bởi điểm thì ta có:
Do vậy là sai.
Câu 67: Cho hình hộp với tâm . Chọn đẳng thức sai.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có mà nên sai.
Câu 68: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,,. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có .
Câu 69: Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng.
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 3 véctơ đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng
Câu 70: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác Đặt Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Vì là trọng tâm của tam giác nên
Câu 71: Cho hình chóp Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu thì là hình bình hành.
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp án C sai do nếu là hình thang có 2 đáy lần lượt là và thì ta có
Câu 72: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. B. . C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
Mà và lần lượt là trung điểm của và nên
Do đó .
Câu 73: Cho tứ diện . Đặt gọi là trung điểm của Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. B.
C. . D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Câu 74: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tam giác Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Chứng minh tương tự câu 61 ta có .
Câu 75: Cho tứ diện . Gọi là các điểm thỏa nãm còn là các điểm xác định bởi . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. P, Q, R thẳng hàng B. P, Q, R không đồng phẳng
C. P, Q, R không thẳng hàng D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
Từ ta có
Lấy theo vế ta có
Tương tự
Mặt khác nên
Vậy thẳng hàng.
Câu 76: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của .
a) Giả sử thì giá trị của a là?
A. 2 B. 1 C. D.
b) Cho các đẵng thức sau, đẵng thức nào đúng?
A. B.
C. D.
c) Xác định vị trí của để nhỏ nhất.
A. Trung điểm AB B. Trùng với G C. Trung điểm AC D. Trung điểm CD
Hướng dẫn giải:
a) .
b)
.
c) Ta có nên nhỏ nhất khi .
Câu 77: Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm lần lượt trên và sao cho . Tính tỉ số bằng?
A. B. C. 1 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
.
Giả sử .
Dễ dàng có các biểu diễn và . Từ đó suy ra
Để thì
Từ và ta có:
.
Vậy các điểm được xác định bởi .
Ta cũng có .
Câu 78: Cho hình hộp có các cạnh đều bằng và các góc .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng với ; với .
A. ; B. ;
C. ; D. ;
b) Tính diện tích các tứ giác và .
A. ; B. ;
C. ; D. ;
c) Tính góc giữa đường thẳng với các đường thẳng .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
Ta có nên
.
Để ý rằng , .
Từ đó
Ta có , từ đó tính được .
b)
nên .
Dễ dàng tính được
, .
Tính được
Vậy .
c) ĐS:.
Câu 79: Cho tam giác , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
Câu 6. Cho tứ diện . Lấy các điểm lần lượt thuộc sao cho .
Hãy xác định để đồng phẳng.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1.
Ta có
.
Lại có do đó .
Vậy Nếu đồng phẳng thì
hay .
Cách 2. Đặt thì không khó khăn ta có các biểu diễn
, ,
Các điểm đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ đồng phẳng
Do các vec tơ không đồng phẳng nên điều này tương đương với
Câu 80: Cho hình chóp có , . Gọi là mặt phẳng đi qua và các trung điểm của .
Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi lần lượt là trung điểm của . Thiết diện là tam giác .
Theo bài tập 5 thì
Ta có
. Tính tương tự, ta có
.
Vậy
.
Câu 81: Cho hình chóp , mặt phẳng cắt các tia ( là trọng tâm tam giác ) lần lượt tại các điểm .Ta có . Hỏi k bằng bao nhiêu?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Do là trọng tâm của nên
Mặt khác đồng phẳng nên
.
Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng :
Nếu là điểm thuộc miền trong tam giác thì trong đó lần lượt là diện tích các tam giác . Vì vậy ta có bài toán tổng quát hơn như sau:
Cho hình chóp , mặt phẳng cắt các tia ( là điểm thuộc miền trong tam giác ) lần lượt tại các điểm .
Chứng minh: . ( Với lần lượt là diện tích các tam giác và là diện tích tam giác ).
Câu 82: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại .Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Gọi là tâm của hình bình hành thì
Do đồng phẳng nên đẳng thức trên .
Câu 83: Cho hình chóp có . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm của tam giác , cắt các cạnh lần lượt tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi là trọng tâm của tam giác . Ta có
.
Mà đồng phẳng nên
Theo BĐT Cauchy schwarz:
Ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi
kết hợp với ta được .
Vậy GTNN của là .
Câu 84: Cho tứ diện , là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng cắt các mặt lần lượt tại . Mặt phẳng đi qua và song song với lần lượt cắt tại các điểm .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh là trọng tâm của tam giác .
A. là trọng tâm của tam giác .
B. là trực tâm của tam giác .
C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Vì nằm trong tứ diện nên
tồn tại sao cho
Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng .
Ta có .
Do đó
Trong , chiếu các vec tơ lên đường thẳng theo phương ta được:
Từ suy ra
Tương tự ta có
Mặt khác chiếu các vec tơ trong lên mặt phẳng theo phương tì thu được . Vậy từ ta có , hay là trọng tâm của tam giác .
Câu 85: Cho tứ diện có
Gọi là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Do tứ diện có nên . Gọi là diện tích và là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì , nên bất đẳng thức cần chứng minh .
Theo công thức Leibbnitz: Với điểm bất kì và là trọng tâm của tam giác thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta được .
Câu 86: Cho hình hộp và các điểm xác định bởi
.
Hãy tính theo để ba điểm thẳng hàng.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại sao cho .
Thay các vec tơ vào và lưu ý không đồng phẳng ta tính được .
Câu 87: Cho hình hộp . Một đường thẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại sao cho . Tính .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt .
Vì nên
,
Ta có
Do
. Vậy .
Câu 88: Giả sử là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh cỏa tứ diện . Gọi là giao điểm của ba mặt phẳng và là giao điểm của ba mặt phẳng .
Ta được thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Goi .
Trong có trong có .
Đặt và
Ta có .
Do nên
. Vì không cùng phương nên ta có .
Hoàn toàn tương tự ta có :
.
Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm và ta được :
Suy ra
Vậy thẳng hàng và .