Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức: .

2) Giải phương trình: .

3) Xác định hệ số a của hàm số , biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm .

Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình: (1) (m, n là tham số).

1) Với , chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2) Tìm m, n để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn và

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: . Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với trục hoành và trục tung; H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng OH (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

2) Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là cm, bán kính đáy là 2cm, lượng nước trong cốc cao cm. Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên. Hỏi sau khi thả 6 viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimét? (Giả sử độ dày của cốc là không đáng kể)

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm M thuộc cung nhỏ BD sao cho Gọi N là giao điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P.

1) Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh tam giác EMN là tam giác đều.

3) Chứng minh .

4) Gọi H là trực tâm của tam giác AEF. Hỏi ba điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vì sao ?

Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.

----------Hết----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………..……… Số báo danh:…………………………………

Chữ kí của giám thị 1:………………………..……….. Chữ kí của giám thị 2:………………………

B. HƯỚNG DẪN CHẤM

1. Điểm bài thi đánh giá theo thang điểm từ 0 đến 10. Điểm của bài thi là tổng của các điểm thành phần và không làm tròn.

2. Học sinh giải theo cách khác nếu đúng và hợp lí vẫn cho điểm tối đa phần đó.

------- HẾT -------

Bài 1: (1,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình

a) .

b) .

Bài 2: (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau

a) .

b) với .

Bài 3: (2,0 điểm) Cho Parapol và đường thẳng .

a) Vẽ Parapol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của và .

Bài 4: (1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 1200 . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật đó, biết rằng chiều dài hơn chiều rộng là 10.

Bài 5: (3,0 điểm) Cho một điểm nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ hai tiếp tuyến (là hai tiếp điểm) của đường tròn . Vẽ cát tuyến của đường trònsao cho đoạn thẳng với thuộc đường tròn , nằm giữa và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Gọi là trung điểm đoạn thẳng . So sánh góc và góc .

c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ và dây của hình tròn tâm .

Bài 6: (1,0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

------------------------ Hết --------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ, tên thí sinh: …………………………………………. Số báo danh: …………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TOÁN CHUNG CHÍNH THỨC

* Học sinh có thể giải cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

--------Hết--------

ĐỀ BÀI:

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức: và

1. Tính A khi x = 25.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Câu 2. (2,5 điểm)

1. Giải phương trình:
2. b)
3. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình: (a, b là các tham số). Tìm a, b để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ đường kính CE.

1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân.
2. Chứng minh:
3. Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình gì?

Câu 5. (1,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = là một số chính phương.

ĐÁP ÁN

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức: và

1. Tính A khi x = 25.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:

1. Với x = 25 (TMĐK) =>

2. Có:

3. Có:

ĐK: x > 0.

=>

Dấu "=" xảy ra <=>

Vậy

Câu 2. (2,5 điểm)

1. Giải phương trình:

a) b)

2. Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:

1. a) b)

2.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình: (a, b là các tham số). Tìm a, b để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Ta có:

Để phương trình có nghiệm thì:

Theo Vi-Et ta có:

Mà:

Thay vào biểu thức Delta ta có:

ĐK:

=>

Do:

Vậy thì pt có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ đường kính CE.

1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân.

2. Chứng minh:

3. Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình gì?

Hướng dẫn:

1. Có: (Góc nt chắn nửa đường tròn)

là hình thang (1)

Mà: (cmt)

Do: (Góc nt chắn )

=> => (2)

Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân. (đpcm)

2. Có: (Vì: AB = ED, AD = EB (cmt))

(đpcm)
3. Giả sử :

=> (Cùng phụ với )

cân tại A. => AB = AF (3)

(Đường cao trong tam giác cân)

Mà: BK // AF (cùng )

cân tại B => BA = BK (4)

Từ (3) và (4) => AB = BK = AF.

=> AF//=BK => ABKF là HBH

Mặt khác: => ABKF là hình thoi.

Câu 5. (1,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = là một số chính phương.

Hướng dẫn:

1. Với y = 0 =>

<=> <=> x = -1.

Với y => y.y² = (x + 1)(x² + 1)

=> (Vì:

=> y = 1

Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1)

2. Vì: ab+bc+ca = 1 => 1 + a² = ab+bc+ca + a² = (a+b)(a+c) (1)

Tương tự: 1 + b² = ab+bc+ca + b² = (a+b)(b+c) (2)

1 + c² = ab+bc+ca + c² = (c+b)(a+c) (3)

Từ (1), (2) và (3) => A = (a+b)²(b+c)²(c+a)² => A là số CP (đpcm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC : 2019 – 2020
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (1,75 điểm)

1. Giải phương trình
2. Giải phương trình
3. Giải phương trình

Câu 2. (2,25 điểm)

1. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2. Tìm các tham số thực để hai đường thẳng và song song với nhau.
3. Tìm các số thực để biểu thức xác định.

Câu 3. ( 2 điểm)

1. Cho tam giác vuông tại có với . Tính theo diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác quay quanh đường thẳng .
2. Cho là hai nghiệm của phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là và
3. Bác vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm?

Câu 4. ( 1 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( với và ).
2. Tìm các số thực và thỏa mãn

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho tam giác nội tiếp đường tròn có hai đường cao và cắt nhau tại trực tâm .

Biết ba góc đều là góc nhọn.

1. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh vuông góc với .
3. Cho lần lượt là trung điểm của hai đoạn . Cho lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng và , và . Chứng minh song song với .

Câu 6. (0,5 điểm)

Cho ba số thực . Chứng minh rằng:

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN – TỈNH ĐỒNG NAI

Câu 1. (1,75 điểm)

1. Giải phương trình
2. Giải phương trình
3. Giải phương trình

Lời giải

1. Giải phương trình:

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

1. Giải hệ phương trình :

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

1. Giải hệ phương trình:

Đặt . Khi đó ta có phương trình

Ta có:

có hai nghiệm phân biệt:

Với

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:

Câu 2 ( 2,25 điểm):

1. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2. Tìm các tham số thực để hai đường thẳng và song song với nhau.
3. Tìm các số thực để biểu thức xác định.

Lời giải

1. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ

+) Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm , , , , và nhận trục làm trục đối xứng.

+) Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị:

Vậy đường thẳng là đường thẳng đi qua hai điểm:

1. Tìm các tham số thực để hai đường thẳng và song song với nhau.

Hai đường thẳng và song song với nhau.

Vậy thỏa mãn bài toán.

1. Tìm các số thực để biểu thức xác định.

Biểu thức đã cho xác định

Vậy biểu thức xác định khi và chỉ khi

Câu 3( 2 điểm) (VD):

1. Cho tam giác vuông tại có với . Tính theo diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác quay quanh đường thẳng .
2. Cho là hai nghiệm của phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là và
3. Bác vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm?

Lời giải

1. Cho tam giác vuông tại có với . Tính theo diện tích xung quanh của hình nón tạo bởi tam giác quay quanh đường thẳng .

Khi xoay tam giác vuông tại quanh đường thẳng ta được hình nón có chiều cao và bán kính đáy

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

( Do )

Do đó hình nón có độ dài đường sinh là

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

1. Cho là hai nghiệm của phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là và

Phương trình có 2 nghiệm ( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có:

Xét các tổng và tích sau:

Ta có

và là 2 nghiệm của phương trình

1. Bác vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 năm bác phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong 1 năm?

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là ( %/năm) ( ĐK: ).

Số tiền lãi bác phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là ( triệu đồng).

Số tiền bác phải trả sau 1 năm là ( triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác phải trả sau 2 năm là ( triệu đồng).

Hết 2 năm bác phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm.

Câu 4 ( 1 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( với và ).
2. Tìm các số thực và thỏa mãn

Lời giải

1. Rút gọn biểu thức: ( với và ).

Với và thì:

Vậy

1. Tìm các số thực và thỏa mãn

Lấy cộng vế với vế ta được:

Thay vào ta được:

Với thì

Với thì

Vậy hệ có nghiệm

Câu 5 (2,5 điểm)

Cho tam giác nội tiếp đường tròn có hai đường cao và cắt nhau tại trực tâm . Biết ba góc đều là góc nhọn.

1. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh vuông góc với .
3. Cho lần lượt là trung điểm của hai đoạn . Cho lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng và , và . Chứng minh song song với .

Lời giải

Phương pháp:

1. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau.
2. Kẻ tiếp tuyến chứng minh

Cách giải:

1. Ta có:

Tứ giác có nên nó là tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Suy ra bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.

1. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại .

Khi đó ( tính chất tiếp tuyến).

Ta có: ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung )

Do tứ giác nội tiếp (cmt) ( góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diên đỉnh đó)

Từ và suy ra .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên .

Mà (cmt) nên (đpcm).

Câu 6 (0,5 điểm)

Cho ba số thực . Chứng minh rằng:

Lời giải

Phương pháp:

• Đặt đưa bất đẳng thức cần chứng minh về
• Chứng minh đẳng thức
• Từ đó đánh gái hiệu và kết luận.

Đặt

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

Ta có:

Dễ thấy:

Do đó ta đi xét dấu của

Ta có:

Suy ra

hay (đpcm)

Dấu “ =” xảy ra khi

ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 TỈNH ĐỒNG THÁP (2019-2020)

Câu 1. (1 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Tìm x biết

Câu 2. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1 điểm)

Giải phương trình:

Câu 4. (1 điểm)

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (x): y=6x+b và parabol (P):

a) Tìm giá trị của b để đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;9)

b) Với b tìm được, tìm giá trị cảu a để (d) tiếp xúc với (P).

Câu 5. (1 điểm)

Cho phương trình ( với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Câu 6. (1 điểm)

Chiều cao trung bình của 40 học sinh lớp 9A là 1,628 m. Trong đó chiều cao trung bình của học sinh nam là 1,64m và chiều cao trung bình của học sinh nữ là 1,61m. Tính số học sinh nam, số học sinh nữ của lớp 9A.

Câu 7. (1 điểm) Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng 8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón và khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt đáy dưới hình trụ bằng 10cm ( như hình vẽ bên). Tính diện tích toàn bộ mặt khuôn (lấy ).

Câu 8. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC) và đường cao AH ( K BC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O)( với M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO ). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AN và AK.

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN

c) Chứng minh

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (1 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Tìm x biết

Cách giải:

Ta có :

Vây A = 4

Điều kiện :

Ta có :( thỏa mãn)

Vậy x = 9

Câu 2. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

Cách giải:

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 3. (1 điểm)

Giải phương trình:

Cách giải:

Vậy phương trình có nghiệm

Câu 4. (1 điểm)

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y=6x+b và parabol (P):

a) Tìm giá trị của b để đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;9)

b) Với b tìm được, tìm giá trị câu a để (d) tiếp xúc với (P).

a) Đường thẳng (d): y=6x+b đi qua điểm M(0;9)

Cách giải:

thay vào phương trình đường thẳng (d): y=6x+b ta được :

9= 6.0+b

Vậy b=9

b) Theo câu a ta có b=9

để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) có nghiệm kép

Vậy a = -1 là giá trị cần tìm.

Câu 5. (1 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình ( với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Phương trình có

Ta có:

Vì

nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu 6. (1 điểm)

Chiều cao trung bình của 40 học sinh lớp 9A là 1,628 m. Trong đó chiều cao trung bình của học sinh nam là 1,64m và chiều cao trung bình của học sinh nữ là 1,61m. Tính số học sinh nam, số học sinh nữ của lớp 9A.

Cách giải:

Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là x, y (x,y ,x,y<40) (học sinh)

Lớp 9A có 40 học sinh nên ta có phươn trình x+y=40 (1)

Vì chiều cao trung bình của học sinh lớp 9A là 1,628m nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

Vậy số học sinh nam lớp 9A là 24hs

Số hs nữ của lớp 9A là 16 học sinh

Câu 7. (1 điểm)

Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng 8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón và khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt đáy dưới hình trụ bằng 10cm ( như hình vẽ bên). Tính diện tích toàn bộ mặt khuôn (lấy )

Cách giải:

Hình trụ có bán kính r=8cm và chiều cao h=16cm nên diện tích xung quanh hình trụ là

Diện tích 1 mặt đáy của hình trụ là

Phần hình nón bị lõm xuống có chiều cao và bán kính đáy r=8cm

Đường sinh của hình nón là

Diện tích xung quanh của hình nón là:

Diện tích toàn bộ mặt khuôn là:

Vậy diện tích toàn bộ mặt khuôn là 1256(cm²)

Câu 8. (3 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC) và đường cao AH ( K BC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O)( với M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO ). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AN và AK.

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN

c) Chứng minh

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn (O) có AM là tiếp tuyến nên hay

Lại có suy ra

Xét tứ giác AMKO có nên hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới các góc vuông, do đó tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp(đpcm)

b) Chứng minh KA là tia phân giác AKN

xét đường tròn (O) có AN là tiếp tuyến nên hay

Xét tứ giác KONA có mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác KONA là tứ giác nội tiếp. Suy ta (1)

Lại có tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên (2)

Xét đường tròn (O) có AM, AN là 2 tiếp tuyến nên OA là tia phân giác của (TÍNH CHẤT)

Do đó (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra hay KA là tia phân giác góc MKN (đpcm)

c) Chứng minh

xét đường tròn (O) có là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MN nên

lại có ( theo câu b) nên

Từ (4), (5) suy ra .

Xét và có;

(cmt)

Nên suy ra

Lại có AM = AN ( tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên AN²=AK.AH (đpcm)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2019-2020

Câu I (2,0 điểm).

1) Giải phương trình

2) Giải hệ phương trình:

Câu II (2,0 điểm).

1) Rút gọn biếu thức:

2) Cho biểu thức: , (với ).

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của để .

Câu III (1.5 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và đường thẳng có phương trình (với m là tham số).

1) Tìm tọa độ điểm thuộc parabol , biết điểm có hoành độ bằng 4.

2) Chứng minh đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Gọi lần lượt là hoành độ của hai điểm . Tìm m để .

Câu IV (4.0 điểm).

1) Cho nửa đường tròn đường kính . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn đó. Gọi là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (với khác , khác ), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt lần lượt tại và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác vuông tại .

c) Chứng minh .

b) Kẻ ; cắt tại . Chứng minh là trung điểm của .

2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy cm, độ dài đường sinh cm.

Câu V (0,5 điểm).

Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện

Chứng minh .

Hướng dẫn giải

Câu I (2,0 điểm).

1) Giải phương trình

Lời giải

Ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

2) Giải hệ phương trình:

Lời giải

Ta có .

Câu II (2,0 điểm).

1) Rút gọn biếu thức:

Lời giải

Ta có

.

2) Cho biểu thức: , (với ).

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của để .

Lời giải

Ta có

.

Vì nên

Vì .

Câu III (1.5 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và đường thẳng có phương trình (với m là tham số).

1) Tìm tọa độ điểm thuộc parabol , biết điểm có hoành độ bằng 4.

Lời giải

Vì .

2) Chứng minh đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Gọi lần lượt là hoành độ của hai điểm . Tìm m để .

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Ta có

Suy ra đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Ta có hệ thức Vi-ét

Yêu cầu

.

Vậy .

Câu IV (4.0 điểm).

1) Cho nửa đường tròn đường kính . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn đó. Gọi là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (với khác , khác ), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt lần lượt tại và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác vuông tại .

c) Chứng minh .

b) Kẻ ; cắt tại . Chứng minh là trung điểm của .

2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy cm, độ dài đường sinh cm.

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có

Xét tứ giác có tổng hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác vuông tại .

Tương tự ý a) ta cũng chứng minh được tứ giác nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra tam giác vuông tại .

Suy ra

Lại có (cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác )

(cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác )

vuông tại .

c) Chứng minh .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

Tam giác vuông tại có đường cao

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có Đpcm.

d) Kẻ ; cắt tại . Chứng minh là trung điểm của .

Kẻ BM cắt Ax tại E.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là đường phân giác trong của tam giác cân ACM. Suy ra OC vừa phân giác vừa là đường cao của tam giác ACM.

Suy ra , mà //.

Lại có O là trung điểm của AB suy ra OC là đường trung bình tam giác ABE.

Suy ra C là trung điểm của AE.

Ta có // (vì cùng vuông góc với AB).

Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABE ta có

Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABC ta có

là trung điểm của .

2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy cm, độ dài đường sinh cm.

Ta có

Thể tích hình nón là .

Câu V (0,5 điểm).

Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện

Chứng minh .

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có .

Dấu “=” xảy ra khi .

Hoàn tất chứng minh.

1. ( 2,0 điểm )

Cho hai biểu thức và với .

1) Tìm giá trị của biểu thức khi .

2) Rút gọn biểu thức .

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhât.

1. (2,5 điểm).
2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong ngày thì cả hai đội hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên?

1. Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao và diện tích đáy là . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
2. (2,0 điểm)
3. Giải phương trình:
4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol
5. Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt
6. Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn .

1. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn () nội tiếp đường tròn . Hai đường cao và

của tam giác cắt nhau tại điểm .

1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ,

đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng .

1. ( 0,5 điểm)

Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

---HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. ( 2,0 điểm )

Cho hai biểu thức và với .

1) Tìm giá trị của biểu thức khi .

2) Rút gọn biểu thức .

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhât.

Lời giải

1) Với

Thay vào ta có : .

2) Rút gọn biểu thức .

Với , , ta có .

.

.

.

.

.

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá giá trị nguyên lớn nhất.

Ta có .

Để nhận giá trị nguyên khi thì hay .

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

Do đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có . Khi đó giá trị cần tìm của là .

1. (2,5 điểm).
2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong ngày thì cả hai đội hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên.

1. Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao và diện tích đáy là . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Lời giải

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

• Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là và , đơn vị (ngày).

Một ngày đội thứ nhất làm được (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được (công việc).

• Vì hai đội cùng làm trong ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (1).
• Ba ngày đội đội thứ nhất làm được (công việc).
• Năm ngày đội thứ hai làm được (công việc).
• Vì đội thứ nhất làm trong ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong ngày thì cả hai đội hoàn thành xong (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (2).
• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : (TMĐK).
• Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là (ngày).

1. Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng được của bồn sẽ là :
2. (2,0 điểm)
3. Giải phương trình:
4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol
5. Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt
6. Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn

Lời giải

1) Giải phương trình:

• • Cách 1 :

Đặt

*Phương trình trở thành :

Ta có :

Suy ra :Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

và

Thay vào ta có :

Vậy nghiệm của phương trình là :

• • Cách 2 :

Ta có :

Vậy nghiệm của phương trình là :

2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm

Để luôn cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt với

Ta có :

Xét

Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt

1. Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Ta có

Hai nghiệm của phương trình :

Biến đổi biểu thức ta có :

Thay vào biểu thức ta có :

Kết Luận : Với thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn () nội tiếp đường tròn . Hai đường cao và

của tam giác cắt nhau tại điểm .

1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng .

3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ,

đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng .

Lời giải

1) Chứng minh bốn điểm, , , cùng thuộc một đường tròn.

Xét tứ giác ta có :

( là đường cao)

( là đường cao)

là tứ giác nội tiếp (đỉnh , cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông).

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Vẽ tiếp tuyến như hình vẽ (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung).

Do tứ giác nội tiếp

Ta suy ra (do hai góc so le trong)

Lại có (đpcm).

3) Chứng minh

Ta có : ( Vì )

Mặt khác (vì )

( Vì )

Vậy ( g-g).

* Chứng minh

Gọi là giao điểm của và , dung đường kính

Ta có cùng vuông góc

cùng vuông góc

là hình bình hành nên thẳng hàng

Ta có và

Nội tiếp đường tròn

Kết hợp nội tiếp đường tròn .

1. ( 0,5 điểm)

Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

Lời giải

Ta có thay vào ta được.

.

Vì , mà .

Và .

Từ và suy ra

Vậy . Dấu = xảy ra khi .

. Dấu = xảy ra khi hoặc .

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a)

b) (với và ).

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng đi qua hai điểm và .

b) Cho phương trình (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Câu 3. (1,5 điểm) Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M, không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua điểm cố định khác O.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thỏa mãn: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

--------HẾT--------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh .................................................. Số báo danh .....................

Mã đề 01

Chú ý :- Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

- Điểm toàn bài không qui tròn.

- Hội đồng chấm có thể thống nhất để chia các ý có điểm lớn hơn 0.25 thành các ý 0.25 điểm

(nếu thấy cần thiết).

------HẾT------

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức:

a)

b) với và .

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng đi qua hai điểm và .

b) Cho phương trình (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Câu 3. (1,5 điểm) Một đội xe vận tải được phân công chở 144 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M

kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (E, F là tiếp điểm). Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M, không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt P và Q (P nằm giữa M và Q).

a) Chứng minh EMFO là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua điểm cố định khác O.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

-------HẾT-------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh...........................................................Số báo danh..........................

Mã đề 02

Chú ý :- Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

- Điểm toàn bài không qui tròn.

- Hội đồng chấm có thể thống nhất để chia các ý có điểm lớn hơn 0.25 thành các ý 0.25 điểm

(nếu thấy cần thiết).

------HẾT------

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Cho hai đường thẳng (d₁): và (d₂): (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox.

2) Rút gọn biểu thức: với .

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

2) Cho phương trình: (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho và .

Câu 4 (3,0 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) (AM < AN, MN không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN.

1) Chứng minh: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AM.AN và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số dương thỏa mãn điều kiện: .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

------------------------------ Hết ------------------------------

Họ và tên thí sinh: ................................................................. Số báo danh: .............................

Chữ kí của giám thị số 1: ................................... Chữ kí của giám thị số 2: .............................

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: