Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng hsg toán 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
HD :
Xét hiệu ta có :
<=>
Dấu bằng khi a=b
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
HD:
Ta có:
, Dấu bằng khi a=b=c
Bài 6: CMR :
HD:
Ta có:
, Dấu bằng khi a=b=c
Bài 7: CMR :
HD:
Ta chứng minh:
Dấu bằng khi a=b
Ta chứng minh
Dấu bằng khi a=b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR :
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR :
HD:
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:
HD:
ta có: VT
Dấu bằng khi
Bài 12: Cho
HD:
Ta có:
, Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi a=b
Bài 14: Cho CMR:
HD:
Xét hiệu:
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có :
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 17: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 19: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 20: CMR :
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi x=z=1, y=
Bài 21: CMR :
HD:
Ta có :
Bài 22: CMR :
HD:
ta có:
Bài 23: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 24: CMR :
HD:
Đặt
Khi đó ta có:
Bài 25: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 26: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD:
Ta có:
Bài 30: CMR:
HD:
Ta có:
Bài 31: CMR:
HD:
ta có:
Bài 32: CMR:
HD:
Bài 33: CMR:
HD:
Ta có:
Bài 34: CMR:
HD:
ta có:
Bài 35: CMR:
HD:
ta có:
Không xảy ra dấu bằng
Bài 36: CMR:
HD:
Ta có:
Bài 37: CMR:
HD:
ta có:
, Vì x > 0
Bài 39: CMR:
HD:
Đặt
Khi đó ta có:
, Dấu bằng khi t=0
Bài 40: CMR:
HD:
Ta có :
x
( ĐPCM)
Bài 41: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 42: CMR : với a, b, c >0
HD:
Ta có:
Bài 43: CMR: với a,b,c>0
HD:
Ta có:
Vì , Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
HD:
Ta có:
Bài 45: CMR : Nếu , thì
HD:
Ta có:
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 47: CMR :
HD:
Ta có:
Nên VT > 0
Bài 48: CMR :
HD:
Ta có:
. đặt
, Dấu bằng khi
Bài 49: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 50: CMR : , Với a,b > 0
HD:
Ta có:
Bài 51: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 52: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR :
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z , CMR :
HD:
Ta có:
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có :
HD:
Ta có:
Bài 56: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 57: CMR :
HD:
ta có:
Bài 58: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 59: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 60: CMR :
HD:
Ta có:
Đặt =>
Bài 61: CMR : , Với
HD:
Ta có:
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :
HD:
Ta có:
Quy đồng
( đúng)
Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì
HD:
Ta có:
Bài 64: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 65: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và , CMR :
HD:
Ta có: ,
Xét
=
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : , CMR :
HD:
Ta có:
Bài 68: CMR :
HD:
Ta có:
, Giả sử a > b => => ĐPCM
Nếu a<b => => ĐPCM
Bài 79: CMR :
HD:
Ta có:
Cộng theo vế ta được:
Bài 70: Cho a+b=2, CMR :
HD:
Ta có:
Giả sử Nếu
Bài 71: CMR :
HD:
Ta có:
Giả sử : và => ĐPCM
Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì
HD:
Xét
Giả sử => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 75: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 78: Cho , CMR :
HD:
Ta có:
Xét tích
mà
mà
Bài 79: Cho và x+y+z=0, CMR :
HD:
Ta có:
Xét , Cộng theo vế ta có:
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , Với
HD:
Ta có:
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR :
HD:
Do
=>
Mặt khác: 0< a, b<1=>
Vậy , Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: CMR :
HD:
Chuyển vế ta có:
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: , , CMR:
HD:
Ta có: , Nhân vào ta được ĐPCM
Bài 84: Cho , CMR :
HD:
Ta có: ( do ab >0)
Do
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1, , CMR :
HD:
Xét hiệu
, Do ĐPCM
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu và a,b,c,d là các số dương thì
a= b= c= d
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
(ĐPCM)
Bài 88: Cho hãy so sánh : , và
HD:
Vì
, lại có:
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: , Chứng minh rằng: , Dấu bằng xảy ra khi nào?
HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
, Do vậy
,()
Mà: , nên
Do vậy
Dấu bằng xảy ra khi:
Bài 90: Chứng minh BĐT sau:
HD:
Ta có:
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: , Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 92: Cho các số a, b, c , chứng minh rằng:
HD:
Do a, b,c , nên:
Do , từ đó ta có:
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR :
HD:
Ta có:
=>
Vậy
Bài 2: Cho a+b = 1, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 4: Cho , CMR:
HD:
Ta có:
Cộng theo vế ta được:
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:
HD:
Ta có:
=>
Bài 7: Cho , CMR :
HD:
Ta có: , Nhân theo vế ta được:
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có: , Do
Khi đó
Chứng minh tương tự ta có:
và
Khi đó ta có:
Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì
HD:
Ta có: và
Nhân theo vế ta có:
Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Từ , Đặt
=>
<=>=>
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì :
HD:
Ta có:
Bài 15: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR :
HD:
Vì
Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và ,CMR :
HD:
Ta có:
Đặt => ,
Khi đó:
Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR :
HD:
Ta có: , Tương tự và
Cộng theo vế ta có:
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4
HD:
Ta có:
Do
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Mà:
Tương tự =>
Khi đó VT
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: , CMR:
HD:
Ta có:
=> (1)
Mặt khác: (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: CMR: , với mọi x,y là số thực
HD:
Ta có: (1)
Tương tự: (2)
Cộng theo vế ta được :
Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì
HD:
Ta có: , Tương tự ta có:
Cộng theo vế ta được :
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì
HD:
Ta có: , Mà
Khi đó
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR :
HD:
Ta có:
=>
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: , CMR :
HD:
Ta có:
Bài 27: Cho a+b = 1, CMR:
HD:
Ta có:
Bài 28: Cho a+b=1, CMR:
HD:
Ta có:
Mặt khác:
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: CMR:
HD:
Vì
Khi đó:
(1)
mà
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ
BĐT Cô Si: Với hai số a,b không âm ta có: , Dấu = xảy ra khi a=b
Mở rộng ta có:
Co si ngược dấu: và
BĐT Schwarz: với x, y > 0, Dấu = khi x = y
Mở rộng : , dấu = khi x = y = z
Bài 1: Cho x, y>0. Chứng minh BĐT :
HD :
Ta có: gt
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: CMR:
HD :
Ta có :
Bài 3: CMR:
HD:
Ta có : , tương tự : , và
Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP => VT> VP
Bài 4: Cho a,b,c là ba số dương, CMR:
HD:
Ta có : và
Nhân theo vế ta được :
Bài 5: Cho a,b,c là ba số dương, CMR:
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :
Đặt
Bài 6: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
Tương tự ta cũng có : và
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 7: Cho , CMR:
HD :
Ta có : , Nhân theo vế ta được :
Bài 8: Cho , CMR:
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
, Vì
Bài 9: Cho a,b,c dương có tích bằng 1, CMR:
HD :
Ta có :
Bài 10: Cho a,b không âm, CMR:
HD :
Ta có :
Bài 11: Cho a,b,c,d dương có tích bằng 1, CMR:
HD :
Ta có :
Bài 12: CMR:
HD :
Ta có :
Do áp dụng BĐT :
Bài 13: CMR:
HD :
Ta có : (1)
Mặt khác :
, Thay vào (1) ta được :
Bài 14: CMR:
HD :
Vì là 4 số dương =>
Bài 15: Cho a,b > 0, CMR:
HD :
Bài 16: CMR:
HD :
Ta có : Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta có :
Bài 17: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Ta có : , Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được :
Bài 18: Cho a,b,c>0, CMR:
HD :
Ta có : => ĐPCM
Bài 19: Cho a,b > 0, a+b = 1, CMR:
HD :
Ta có :
Ta lại có :
Khi đó
Bài 20: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT:
HD :
Ta có :
Bài 21: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: , CMR:
HD :
Áp dụng BĐT :
Tương tự ta có :
Khi đó nhân theo vế ta được :
Bài 22: CMR: với a,b,c > 0 thì
HD :
Áp dụng BĐT :
Tương tự ta có : , Cộng theo vế ta được ĐPCM
Bài 23: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Ta có : , Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được :
Bài 24: Cho a,b không âm, CMR:
HD :
Ta có :
Bài 25: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Co si cho hai số : , Ta được:
Tương tự ta có :
và
Cộng thoe vế ta được :
Bài 26: CMR: Trong tam giác ABC ta có:
HD :
Ta có :
Lại có :
, Tương tự ta có :
và
=> => Bài 27: Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1, CMR:
HD :
Ta có :
Chứng minh tương tự ta có :
Vì
Bài 28: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR:
HD :
Ta có : ,
Ki đó
Bài 29: Cho CMR:
HD :
Áp dụng BĐT :
Dấu ’’=’’ xảy ra khi
Khi đó ta có :
tương tự ta có :
, Khi đó
Bài 30: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của:
Bài 31: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của :
Bài 32: Cho a,b,c là các số thực dương, CMR:
Bài 33: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của :
Bài 34: CMR với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, thì:
Bài 35: Giả sử có: 2015 số nguyên dương: thỏa mãn: , CMR có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau
Bài 36: Cho , CMR:
HD:
Từ:
Do đó :
Bài 37: Cho hai số a,b khác 0 và trái dấu nhau trong đó: . xác định dấu của mỗi số
HD:
Vì nên nên mà a ,b trái dấu nên a <0
Bài 38: Cho x>y>0 và , CMR:
HD:
Vì x>y>0=>x - y>0,
Do đó :
=>
Bài 39: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : , CMR:
HD:
Cách 1:
Ta có:
Vì
Khi đó: , Mà:
Cách 2:
Ta có:
Mặt khác ta lại có: Nên ,
Dấu ‘’=’’ khi
Bài 40: Cho , Chứng minh rằng: (1)
HD:
Đặt , Khi đó:
, Với
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
, ĐT xảy ra khi x=y=z
, ĐT xảy ra khi
, mà , Đẳng thức xảy ra khi :
Bài 41: Cho a, b,c là ba số dương và , CMR :
HD:
Ta có: và
Áp dụng BĐT co si cho ba số dương a, b, c , Dấu bằng xảy ra khi a= b= c
DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có :
Tương tự ta có: , cộng theo vế
Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Ta có : và và
Cộng theo vế ta được :
Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR:
HD :
Ta có : và
và
Cộng theo vế ta có :
Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR:
HD :
Ta có :
Chứng minh tương tự :
,
Và
Cộng theo vế ta có :
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có : và và
Cộng theo vế ta được :
Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì
HD :
Áp dung BĐT : , Đặt
Khi đó ta có :
=> ĐPCM
Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Đặt : , Khi đó :
Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,
CMR:
HD :
Áp dụng BĐT Schawzr :
Tương tự ta có :
và , Cộng theo vế ta được : ĐPCM
Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì:
HD :
Ta có :
Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR:
HD :
ta có :
Chứng minh tương tự ta có : và
Nhân theo vế ta được :
Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:
HD :
Ta chứng minh :
Chuyển vế ta được :
Ta chứng minh :
Ta có : , Cộng theo vế ta được :
Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có :
Tương tự ta có : và
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có :
(Luôn đúng )
Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR: với
HD :
Nhân 2 vế với a,b,c ta có :
Đúng
Bài 15: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì:
HD :
Xét hiệu :
đúng
Bài 16: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta xét :
Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm
Bài 17: Cho
HD :
Đặt Cộng theo vế ta được :
(1)
Mà : , Thay vào (1)
=>
Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có : , Cộng theo vế ta được ĐPCM
Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: , cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
HD :
Ta cần chứng minh :
Tương tự ta cũng có : và
Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1,
CMR:
HD :
Giải sử :
Khi đó :
lại có :
Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,
CMR:
HD :
Ta có :
Tương tự ta có : và
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR :
HD :
Ta chứng minh :
Chuyển vế ta được :
Ta chứng minh :
ta có :
, Cộng theo vế ta được :
Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR:
HD :
Giải sử :
Khi đó :
lại có :
Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác: CMR:
HD :
Ta có :
, Lại có :
Bài 25: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: ,
Tìm Max của:
HD :
Ta có :
Schawzr ta có :
(1)
Mà : , Tự chứng minh
=> thay vào (1) ta được :
Bài 26: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác: CMR :
HD :
Xét hiệu ta có :
Tương tự ta cũng có :
và
Khi đó
Giả sử : Ngoặc 2, 3
ta có ngoặc 1= , ĐPCM
Bài 27: Cho
HD :
Đặt Cộng theo vế ta được :
(1)
mà : , Thay vào (1)
=>
Bài 28: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Đặt : , Khi đó :
Bài 29: Cho a,b,c,d>0, CMR:
Bài 30: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì :
Bài 31: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : , CMR :
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi
HD:
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có: (1) và (2)
Từ (2) , thay vào (1) ta có:
, thay vào (1) ta được :
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI:
Bài 1: Cho
HD :
Ta có : Dấu bằng khi a = 2 =>
Khi đó ta có :
Dấu bằng khi
Bài 2: Cho a,b > 0,
HD :
Ta có : Dấu bằng khi
Khi đó :
, Mà
Bài 3: Cho Tìm GTNN của:
HD :
Ta có : , đặt
Dấu bằng khi
Bài 4: Cho a3, Tìm GTNN của:
HD :
Ta có : Dấu bằng khi
Vậy Min
Bài 5: Cho x1, Tìm Min của:
HD :
Ta có : Dấu bằng khi
Khi đó :
Bài 6: Cho x,y là các sớ thực dương thỏa mãn: x+y6, Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi , Dự đoán sẽ có các cặp (x ; y) là (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) và (4 ;2)
và nhận thấy cắp (2 ;4) thì P có giá trị nhỏ nhất
Khi đó ta có :
=>
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c20,
Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi a=2, b=3, c=4
Khi đó :
Bài 8: Cho a2, Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi a=2=> , Khi đó ta có :
Bài 9: Cho , Tìm Min của:
HD ;
Dấu bằng khi , Khi đó ta có :
, mà
Bài 10: Cho a10, b100, c1000, Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi , Tương tự với b và c,
Khi đó ta có :
, Tương tự với b và c
Bài 11: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi , Khi đó
Mà
Vậy
Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của:
HD :
Ta có : Dấu bằng khi
Tương tự ta có :
Cộng theo vế ta được :
Bài 13: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi
Bài 14: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: ,
Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi
Bài 15: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi Khi đó :
, Tương tự ta cũng có :
Cộng theo vế ta được :
Bài 16: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm min của:
HD :
Ta có : Dấu bằng khi
Khi đó ta có :
mà
Vậy
Bài 17: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: , Tìm min của
HD :
Dấu bằng khi
Bài 18: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min
HD :
Dấu bằng khi
Khi đoa :
Bài 19: Cho a,b,c là các sơ thực dương thỏa mãn: , Tìm Min:
HD :
Dấu bằng khi :
Bài 20: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi : , Ta cần chứng minh
Xét
, do , Nên ta cần chứng minh :
BĐT này đúng do: khi
Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi :
Khi đó ta có :
Bài 22: Cho và a,b>0, Tìm min của:
HD :
Dấu bằng khi
Khi đó :
Bài 23: Cho a,b>0 và , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi : . Khi đó :
=>
Mặt khác :
Dấu bằng khi
Bài 24: Cho a,b>0, , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi
Khi đó :
. Dấu bằng khi
Bài 25: Cho a,b>0 và , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi và
Khi đó :
, Vì =>, Dấu bằng khi
Bài 26: Cho a,b,c>0 và , Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi , Khi đó :
Tìm m sao cho :
, Ta lại có :
Bài 27: Cho x,y,z>0 và , Tìm Max của :
HD :
Dấu bằng xảy ra khi
Nên :
Bài 28 : Cho a,b,c là các số thực dương và , CMR:
HD :
Dấu bằng khi :
Khi đó ta có : =>,
Tương tự ta có :
Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của
HD :
Dấu bằng khi :
Nên :
Tương tự ta có :
và
Cộng theo vế ta được :
Bài 30: Cho x,y,z>0 và xyz=1, CMR:
HD :
Ta có Dấu bằng khi
Khi đó : , tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được :
Bài 31: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min của :
HD :
Ta có : , Cộng theo vế ta được :
Dấu bằng khi x=y=1, z=2
Bài 32: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min của :
HD :
Ta có : hoặc
Hay
Dấu bằng khi
Bài 33 : Cho a,b là các số thực thỏa mãn : và a+b=11,
Tìm Max của :
HD :
Dấu bằng khi
Khi đó :
Bài 34: Cho x,y > 0,
HD :
Dấu bằng khi
Khi đó :
=>
Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn :
HD :
Dấu bằng khi
Co si ngược ta có :,
Tương tự ta có :
Cộng theo vế ta được :
Bài 36: Cho a,b > 1, CMR:
HD :
Dấu bằng khi :
Co si ngược ta có :
Cộng theo vế ta được :
Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của:
HD :
Dáu bằng khi
Khi đó :
Nên : , Tương tự ta có :
Bài 38: Cho x,y > 1, CMR :
HD :
Dấu bằng khi , Thay vào ta được :
Khi đó : và
Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn:, CMR:
HD :
Dấu bằng khi
Khi đó :
Tương tự ta có :
BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN
Bài 1 : Cho , Chứng minh rằng :
HD:
Từ
Mặt khác:
Với
Với
Bài 2 : Cho x+y=2, CMR:
HD :
Xét =
Do x-1=1-y
Vậy
Giả sử : và do đó :
Tương tự nếu lấy và đo đó dấu = khi x=y=1
Bài 3: CMR:
HD:
Đặt , từ đó:
thay vào A ta được
Bài 4: CMR: nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A<0
HD:
Ta có:
Vậy A<0
Bài 5: Cho a,b,c,d > 0, Chứng tỏ rằng: có giá trị không nguyên
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
HD:
Ta có gt=> =>
Bài 7: Cho và , CMR:
HD:
Đặt
Khi đó x+y+z= và với
Áp dụng Co si cho 3 số : ta được
=> mà => đảng thức xảy ra khi x=y=z=
Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3. CMR:
HD:
Theo giả thiết ta có:
Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:
, Mà
Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và 1 số bằng 1
Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: , CMR : , dấu bằng xảy ra khi nào ?
HD:
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: do vậy
Do . Mà Nên do vậy dấu bằng khi x=y=1
Bài 10: CM:
HD:
=>
=> luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1
Bài 11: CMR không có giá trị nào của x thỏa mãn:
HD:
Ta có: mà => đpcm
Bài 12: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: , CMR:
HD:
Ta có:
=>
=> luôn đúng do a, b dương
Bài 13: Cho các số a, b, c, CMR:
HD:
Do a,b,c Nên
=>, Do a,b,c nên , từ đó ta có:
Bài 14: Cho a>0, b>0 và a+b=1, CMR:
HD:
=> do a+b=1
=> => đúng với mọi a, b
Bài 15: Cho a, b, c là ba số dương và , CMR :
HD:
và
=>
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c
Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: vô nghiệm,
CMR:
HD:
Do nên ta có (*)
Vì phương trình vô nghiệm nên
=> từ đó suy ra: (*) đúng hay
Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : , CMR :
Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: CMR:
Bài 19: CMR : với mọi x
Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: và . CMR:
Bài 21 : CMR :
HD :
Ta có : Khi đó :
, Dấu ‘’=’’ khi x=y=z
Bài 22 : CHứng minh rằng nếu : , thì hoặc :
Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR :
Bài 24: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: và , thì
Bài 25: Cho , CMR:
Bài 26: Cho , CMR:
Bài 27: Cho , Tính giá trị của:
Bài 28: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: , CMR:
Bài 29: Cho , tính giá trị của:
Bài 30: Cho , CMR:
Bài 31: Cho , Rút gọn:
Bài 32: Cho , CMR:
Bài 33: Cho , CMR:
Bài 34: Chứng minh rằng nếu: thì:
Bài 35: Cho a ,b thỏa mãn: , CMR:
Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: , Tìm GTLN của:
HD:
Ta có: ,
Bài 37: Cho a, b, c là các số thỏa mãn hai điều kiện vô nghiệm,
Chứng minh rằng:
HD:
Do , nên bất đẳng thức:
Vì phương trình: vô nghiệm nên
Từ đó suy ra: