Bài tập tự luận hai đường thẳng chéo nhau, song song có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A. CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng và trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với và :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả và , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

• và cắt nhau tại điểm , ta kí hiệu .
• và song song với nhau, ta kí hiệu .
• và trùng nhau, ta kí hiệu .

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả và , khi đó ta nói và là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất.

• Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với .
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
• Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và thì giao tuyến của và là đường thẳng đi qua song song với và .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và

Lời giải.

Ta có

.

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

b) Tìm điều kiện của và để thiết diện của và hình chóp là một hình bình hành.

Lời giải.

a) Ta có là hình thang và là trung điểm của nên .

Vậy

với

.

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác .

Do là trọng tâm tam giác và nên

( là trung điểm của ).

.

Lại có . Vì nên là hình thang, do đó là hình bình hành khi

.

Vậy thết diện là hình bình hành khi .

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

• Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
• Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
• Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh song song với .

b) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh song song với .

Lời giải.

a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên .

Lại có là hình thang .

Vậy .

b) Trong gọi , trong gọi .

Ta có .

Vậy .

Do .

Ta có .

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .

a) Chứng minh song sonng với .

b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .

Lời giải.

a) Ta có .

Vậy

Tương tự

Vậy

Từ và suy ra .

b) Ta có ;

Do đó . Mà .

Tính : Gọi

Ta có ,

Mà .

Từ suy ra

Tương tự . Vậy .

Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh song song hoặc cắt nhau, khi đó thuôc .

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được đồng qui.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .

a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và ).

b) Bốn điểm đồng phẳng.

Lời giải.

a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác .

Vậy .

Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .

Vậy minh đồng qui .

b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra đồng phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh:

a) Bốn điểm đồng phẳng.

b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ).

Lời giải.

a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

Ta có

.

Tương tự

Lại có

Từ và suy ra . Vậy bốn điểm đồng phẳng.

b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .

Xét ba mặt phẳng và ta có :

.

Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

19. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

20. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và .

a) Chứng minh .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

21. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

b) Gọi là một điểm trên cạnh . Xác định giao điểm của với . Tứ giác là hình gì?

c) Giả sử . Chứng minh thuộc một đường thẳng cố định khi chạy trên cạnh .

22. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .

a) Chứng minh là một hình bình hành.

b) Gọi là một điểm trên cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với .

23. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là một điểm thuộc cạnh ( khác và ).

a) Xác định thiết diện của tứ diện với .

b) Tìm vị trí của điểm trên sao cho thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí của điểm trên sao cho thiết diện là hình thoi.

24. Cho tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Hãy xác định các điểm và sao cho .

b) Tính theo .

25. Cho hình chóp có đáy là hình thang.Một mặt phẳng cắt các cạnh và lần lượt tại các điểm .

a) Giả sử , . Chứng minh thẳng hàng.

b) Giả sử và .

Chứng minh .

26. Cho hình chóp có đáy là hình thang với . là một điểm di động trong tứ giác . Qua vẽ các đường thẳng song song với cắt các mặt và lần lượt tại .

a) Nêu cách dựng các điểm .

b) Tìm tập hợp điểm sao cho lớn nhất.

27. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của và nằm bên trong hình chóp.

28. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và , là điểm trên cạnh sao cho . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

29. Cho hình chóp , là một điểm nằm trong tam giác Các đường thẳng qua và song song và cắt các mặt lần lượt tại các điểm .

a) Nêu cách dựng các điểm .

b) Chứng minh có giá trị không đổi khi di động trong tam giác .

c) Xác định vị trí của điểm để tích lớn nhất.

30. Cho tứ diện . Một mặt phẳng cắt bốn canh

Lần lượt tại các điểm .

Chứng minh : . Khi đẳng thức xảy ra thì là hình gì?