Đề thi hsg toán 12 sở gd-đt thanh hóa 2021-2022 có đáp án và lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số là hàm số chẵn.

B. Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .

C. Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .

D. Đồ thị hàm số nhận trục là trục đối xứng.

Câu 2. Có bao nhiêu cách lấy ra một quả cầu từ một hộp chứa 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5.

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho dãy số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Dãy bị chặn. B. Dãy không bị chặn.

C. Dãy giảm. D. Dãy tăng.

Câu 4. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ bên.

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Cho số thực dương. Rút gọn biểu thức ta được biểu thức nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?

A. Hình lăng trụ. B. Hình lập phương. C. Hình trụ. D. Hình chóp.

Câu 7. Tính bán kính của đường tròn đáy hình nón có độ dài đường sinh bằng , diện tích xung quanh bằng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy và chiều cao .

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Newton biểu thức ,.

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Biết với là số nguyên tố. Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp có mấy mặt bên là tam giác vuông?

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Cho , là hai số thực dương, và thỏa mãn , . Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Gọi là tổng các nghiệm của phương trình .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Cho , , là các số thực dương và khác . Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số , , . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm cái đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể và các que tre được chuẩn bị sẵn)?

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Gọi là thể tích của khối hộp và là thể tích của khối đa diện . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Cho tứ diện có thể tích . Gọi , và lần lượt là trung điểm của , và . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Cho mặt cầu và mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng bằng . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có chu vi . Diện tích mặt cầu bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho , với là các số nguyên. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Gọi là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng của phương trình

. Tính tổng tất cả các phần tử của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho khối chóp có đáy là hình bình hành, Cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách bờ biển một khoảng . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí đến vị trí trên bờ biển với vận tốc rồi đi xe đạp từ đến với vận tốc (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ đến để người đó đi từ đến là nhanh nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Gọi S là tập hợp các giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Gọi là số thực sao cho phương trình có ba nghiệm dương phân biệt ; ; thỏa mãn . Biết rằng có dạng với ; là các số hữu tỷ. Tính :

A. . B. . C. . D. .

Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn sao cho hàm số có cực đại.

A. . B. . C. . D. .

Câu 33. Gọi là giá trị để phương trình: có 2 nghiệm phân biệt , thoả mãn: . Giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình là đoạn với , là các số nguyên. Giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 35. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 36. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại, cạnh, và tứ giác là hình thoi có nhọn. Biết vuông góc với và tạo với góc . Thể tích của khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 37. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao , bán kính đáy . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích của thiết diện đó

A. . B. . C. . D. .

Câu 38. Lon nước ngọt có dạng hình trụ và cốc uống nước có dạng hình nón cụt. Lon nước có chiều cao , đường kính đáy , cốc có chiều cao , đường kính đáy và đường kính miệng cốc lần lượt là và (như hình vẽ minh họa dưới đây). Khi rót nước ngọt từ lon ra cốc thì chiều cao của phần nước ngọt còn lại trong lon và chiều cao của phần nước ngọt có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao trong lon nước gần nhất số nào sau đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc không chứa nước trước khi rót

A. . B. . C. . D. .

Câu 39. Nếu và thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 40. Giả sử với . Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Gọi là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó thuộc khoảng nào sau đây ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 42. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và là trọng tâm tam giác Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 43. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 44. Cho hàm số bậc bốn có bảng biên thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 45. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Cho phương trình (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Câu 47. Xét các số thực không âm và thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D.

Câu 49. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính tổng khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 50. Cho hình hộp có cạnh và diện tích tứ giác là . Mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối hộp , biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng thuộc miền giữa hai đường thẳng và , đồng thời khoảng cách giữa và nhỏ hơn .

A. . B. . C. . D. .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số là hàm số chẵn.

B. Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .

C. Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì .

D. Đồ thị hàm số nhận trục là trục đối xứng.

Lời giải

Chọn C

Câu 2. Có bao nhiêu cách lấy ra một quả cầu từ một hộp chứa 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có tất cả là quả cầu trong hộp. Số cách lấy ra một quả cầu từ một hộp đó là 11 cách.

Câu 3. Cho dãy số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Dãy bị chặn. B. Dãy không bị chặn.

C. Dãy giảm. D. Dãy tăng.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có:

+ chẵn thì .

+ lẻ thì . Vậy dãy không bị chặn.

Câu 4. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ bên.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có đây là hình dáng đồ thị của hàm có .

Câu 5. Cho số thực dương. Rút gọn biểu thức ta được biểu thức nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Câu 6. Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?

A. Hình lăng trụ. B. Hình lập phương. C. Hình trụ. D. Hình chóp.

Lời giải

Chọn C

Câu 7. Tính bán kính của đường tròn đáy hình nón có độ dài đường sinh bằng , diện tích xung quanh bằng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có diện tích xung quanh

.

Câu 8. Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy và chiều cao .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Thể tích khối trụ .

Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Câu 11. Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Newton biểu thức ,.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton biểu thức ,.

.

không chứa .

Vậy số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Newton biểu thức , là .

Câu 12. Biết với là số nguyên tố. Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

.

Câu 13. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp có mấy mặt bên là tam giác vuông?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

ChọnA.

Dễ thấy các hai giác và vuông tại .

Ta có vuông tại .

Tương tự, ta cũng có vuông tại .

Vậy hình chóp có mặt bên đều là tam giác vuông.

Câu 14. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Hàm số xác địnhtập xác định .

Ta có (nhận).

Bảng xét dấu :

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

Câu 15. Chop hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Khi đó .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có điểm cực trị.

Câu 16. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

và nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang

đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Câu 17. Cho , là hai số thực dương, và thỏa mãn , . Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Với là hai số thực dương, ta có:

Hay: .

Thay vào ta có .

Vậy

Câu 18. Gọi là tổng các nghiệm của phương trình .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đk:

Vậy

Câu 19. Cho , , là các số thực dương và khác . Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số , , . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

ChọnA.

Dựng đường thẳng cắt các đồ thị của ba hàm số , , tại các điểm có hoành độ lần lượt là

Khi đó ta có .

Câu 20. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm cái đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể và các que tre được chuẩn bị sẵn)?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Mỗi bát diện đều có 12 cạnh, nên 100 cái đèn lồng hình bát diện đều cần 1200 cạnh

Mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài , nên để làm cái đèn cần .

Câu 21. Gọi là thể tích của khối hộp và là thể tích của khối đa diện . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có , mà nên

Vậy .

Câu 22. Cho tứ diện có thể tích . Gọi , và lần lượt là trung điểm của , và . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng .

Theo giả thiết thì và .

Ta có

.

Câu 23. Cho mặt cầu và mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng bằng . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có chu vi . Diện tích mặt cầu bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi , lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu .

Gọi , lần lượt là tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.

Theo giả thiết ta có: và .

Bán kính mặt cầu là .

Diện tích mặt cầu là .

Câu 24. Cho , với là các số nguyên. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi .

Đặt .

Đổi cận: .

, do đó .

Vậy .

Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A.. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Xét

Đặt

Câu 26. Gọi là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng của phương trình

. Tính tổng tất cả các phần tử của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Do nên

Do nên

Do đó tổng các nghiệm là

Câu 27. Cho khối chóp có đáy là hình bình hành, Cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có nên góc giữa bằng góc giữa

* Kẻ

Tính được

* Tính được

Vậy

Cách 2.

Gọi .

Dựng . Ta có

Trong mặt phẳng , dựng .

Khi đó và (do tam giác vuông tại )

Ta có

+)

.

+) ;

Ta có

Từ đó suy ra

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách bờ biển một khoảng . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí đến vị trí trên bờ biển với vận tốc rồi đi xe đạp từ đến với vận tốc (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ đến để người đó đi từ đến là nhanh nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: .

Thời gian chèo từ đến vị trí : .

Thời gian đạp xe từ đến : .

Thời gian từ đến : .

Ta có: . Dựa vào BBT ta thấy khi Chọn D

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Đặt , và .

Ta có.

Vì

Nên hàm số đồng biến trên khoảng với

Mà nguyên dương nên không có giá trị nào của thỏa yêu cầu. Chọn A

Câu 30. Gọi S là tập hợp các giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

ChọnA.

Ta xét: trên đoạn

Đặt: trên đoạn . Ta có hàm số liên tục trên đoạn

có .

Khi đó



 .

Theo bài ra .

Do đó . Vậy tổng các phần tử của tập bằng . Chọn A

Câu 31. Gọi là số thực sao cho phương trình có ba nghiệm dương phân biệt ; ; thỏa mãn . Biết rằng có dạng với ; là các số hữu tỷ. Tính :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị của hàm số , ta có phương trình có ba nghiệm dương phân biệt ; ; khi và chỉ khi .

Ta có hàm số là hàm số chẵn (vì ).

Từ đó, ta thấy rằng nếu ; ; là ba nghiệm dương của phương trình thì ; ; cũng là ba nghiệm của phương trình .

Không mất tính tổng quát, giả sử . Khi đó ta có ; ; là nghiệm của phương trình . Theo định lí Viet, .

Theo bài ra, nên .

Khi đó,

Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn sao cho hàm số có cực đại.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện cần: Hàm số có cực đại nếu có nghiệm

Nhận xét không phải là nghiệm của .

Vậy có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm.

Ta có:

có nghiệm khi và chỉ khi hoặc .

Điều kiện đủ:

.

Với thì nên hàm số không có điểm cực đại.Vậy không thoả mãn điều kiện.

Với thì nên hàm số có điểm cực đại. Vậy thoả mãn điều kiện.

Mà là số nguyên thuộc đoạn nên . Vậy có số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 33. Gọi là giá trị để phương trình: có 2 nghiệm phân biệt , thoả mãn: . Giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ( đặt ; )

Để Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt, nghĩa là

Ta có

Theo bài ra ta có:

(*)

Theo Viet (**)

Từ (*) và (**) suy ra và .

So với điều kiện ta nhận .

Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình là đoạn với , là các số nguyên. Giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

(đặt , )

Vậy .

Câu 35. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng?

A.. B. . C.. D..

Lời giải

Chọn B.

Sau 1 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là

Sau 2 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là

….

Sau n tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là

Giả sử sau n tháng anh Ba trả hết nợ ta có

Với , thay vào phương trình (tháng)

Câu 36. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại, cạnh, và tứ giác là hình thoi có nhọn. Biết vuông góc với và tạo với góc . Thể tích của khối lăng trụ bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Từ kẻ .

Từ kẻ .

là hình thoi nên , .

Mặt khác .

.

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng:

.

Câu 37. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao , bán kính đáy . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính diện tích của thiết diện đó

A. . B.. C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Thiết diện là tam giác

Xét vuông tại có:

.

.

Xét vuông tại có: .

Diện tích thiết diện là:

Câu 38. Lon nước ngọt có dạng hình trụ và cốc uống nước có dạng hình nón cụt. Lon nước có chiều cao , đường kính đáy , cốc có chiều cao , đường kính đáy và đường kính miệng cốc lần lượt là và (như hình vẽ minh họa dưới đây). Khi rót nước ngọt từ lon ra cốc thì chiều cao của phần nước ngọt còn lại trong lon và chiều cao của phần nước ngọt có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao trong lon nước gần nhất số nào sau đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc không chứa nước trước khi rót

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Thể tích lon nước ngọt lúc đầu là: .

Gọi là thể tích nước ngọt còn lại trong lon sau khi rót ra cốc. Ta có .

Gọi là thể tích nước ngọt đã rót ra.

Ta có: trong đó là bán kính mặt trên của phằn nước ngọt trong cốc.

Ta có: (do ).

Vì nên ta có:

Câu 39. Nếu và thì bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt

Đặt

Vậy

Câu 40. Giả sử với . Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đặt

Ta có:

Vậy

Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Gọi là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó thuộc khoảng nào sau đây ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Xét phép thử : T = ‘Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0". Ta có: .

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau :

TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy số tự nhiên.

TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy số tự nhiên.

Vậy: .

Kết luận: .

Câu 42. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và là trọng tâm tam giác Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Dựng

Chứng minh được

Tính được

Suy ra Vậy

Câu 43. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

+) Phương trình .

+) Phương trình

Vẽ đồ thị hàm số . Suy ra phương trình có hai nghiệm

Tương tự phương trình có hai nghiệm

Tương tự phương trình có hai nghiệm.

Nhận thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên phương trình có tất cả nghiệm.

Câu 44. Cho hàm số bậc bốn có bảng biên thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có :

Ta có

Phương trình có (nghiệm bội ba).

Phương trình có cùng số nghiệm với phương trình nên có 4 nghiệm đơn.

Phương trình có cùng số nghiệm với phương trình :

có 4 nghiệm đơn phân biệt.

Nhận thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số có tất cả 9 điểm cực trị.

Câu 45. Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: .

Tập xác định:

Với điều kiện trên, phương trình trở thành

.

Xét hàm số với tập xác định . Ta có

.

Bảng biến thiên

Để và cắt nhau tại đúng điểm phân biệt thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị cần tìm là .

Câu 46. Cho phương trình (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Phương trình .

TH1: Nếu thì (loại) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

TH2: Nếu thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

. Do

Vậy có tất cả giá trị nguyên dương của thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 47. Xét các số thực không âm và thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có (1)

Th1. Xét .

Ta có (1) đúng với mọi giá trị (2)

Th2. Xét .

Xét hàm số với với mọi

(1)

(3)

So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN của là khi

Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Đk: ( do , )

Đặt , nên từ

Để không có quá 255 nghiệm nguyên khi và chỉ khi bất phương trình có không quá 255 nghiệm nguyên dương .

Đặt với .

Vì là hàm đồng biến trên nên khi .

Vậy có không quá 255 nghiệm nguyên nguyên dương

.

Vậy có 158 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 49. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính tổng khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đặt , . Gọi ; ; .

là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó: .

Ta có: .

Do đó góc giữa và bằng góc giữa và . Suy ra .

Mặt khác .

Tính , :

Ta có: , và nếu , thì gọi là trung điểm của , khi đó:

.

Tương tự: . Mà .

Nếu hoặc thì ta cũng có .

Tóm lại: .

Suy ra: .

Do đó .

Câu 50. Cho hình hộp có cạnh và diện tích tứ giác là . Mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối hộp , biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng thuộc miền giữa hai đường thẳng và , đồng thời khoảng cách giữa và nhỏ hơn .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là chân đường cao của hình hộp xuất phát từ ; các điểm , và lần lượt là hình chiếu của lên , và ; là hình chiếu của lên ;

Theo giả thiết, ta có ; nên .

Mặt khác nên ; .

Ta lại có .

Đặt , với , ta có .

Trong tam giác vuông ta có .

Do đó:

(loại) hoặc (chọn).