Đề thi chọn hsg toán 8 thcs gia trấn 2022 có đáp án

TRƯỜNG THCS GIA TRẤN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2022

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút.

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2022

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

1

(4,0 điểm)

1. ( 2 điểm): Mỗi ý đúng 1 điểm

a.

6x² – 5x +1

= 6x² – 3x -2x +1

=3x(2x - 1) -(2x - 1)

= (3x - 1)(2x - 1)

0,5

0,25

0,25

b.

= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) -24

= (x²+5x+4)(x²+5x+6)-24

Đặt x²+5x+4=a ta có: a(a+2)-24

=a²+2a-24=(a+6)(a-4)

=(x² +5x+12)(x²+5x-2)

0.25

0,25

0,25

0,25

2.a. ( 1,5 điểm)

+ A xác định⇔

Vậy ĐKXĐ :

+ Rút gọn A:

0,5

b. ( 0,5 điểm)Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

* ∈ Z ⇔ x +1 2x ⇒ 2x + 2 2x Mà 2x 2x

⇒ 2 2x ⇒ 1 x ⇒ x = 1 hoặc x = -1

* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ)

Vậy A= ∈ Z ⇔ x = 1 hoặc x = -1

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2

(3,5 điểm)

1) ý a 1,0 điểm; ý b 1,5 điểm

a) 4^x – 12.2^x +32 = 0 2^x.2^x – 4.2^x – 8.2^x + 4.8 = 0

2^x(2^x – 4) – 8(2^x – 4) = 0 (2^x – 8)(2^x – 4) = 0

(2^x – 2³)(2^x –2²) = 0 2^x –2³ = 0 hoặc 2^x –2² = 0

2^x = 2³ hoặc 2^x = 2² x = 3; x = 2 b)

HS lập bảng để phân ra các trường hợp

* Với x < 0 phương trình đã cho trở thành: - 2x + 4 = 4x = 0(loại)

* Với phương trình đã cho trở thành: 0x = 0, phương trình có vô số nghiệm với

* Với 1 < x < 2 phương trình đã cho trở thành :

-4x + 8 = 4 x = 1(loại)

* Với phương trình đã cho trở thành : 2x – 4 = 4 x = 4 (t/m)

Vậy nghiệm của phương trình là các giá trị x thoả mãn x =4;

2 , ( 1điểm)

A = 13x² + y² + 4xy - 2y - 16x + 2026

= y² + 4xy - 2y + 13x² - 16x + 2026

= y² + 2y(2x - 1) + (2x -1)² + 9x² - 12 x + 4+2022

= (y + 2x - 1)² + (3x - 2)² + 2022

Chứng tỏ A 2022, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = )

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2022 khi x = ; y =

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

3

(4,0 điểm)

1.( 1.5 điểm)

P(x)=ax² + bx + c

P(0)= 37 c = 37

P(1) = 14 a + b + c =14 a+b =-23 (1)

P(2) = 2011 4a + 2b + 37=20112a + b = 987 (2)

Từ (1) và (2) a = 1000; b = -1023

0.25

0.25

0,25

0,25

0,5

2, (1 điểm)

=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3

0,25

0,25

0,25

0,25

3.( 1.5 điểm)

Để n+18 và n-41 là hai số chính phương thì

n +18 = p², n – 41 = q² (p,q ϵ N)

→ p² – q² = 59 =1.59

⇔ (p-q)(p+q) = 1.59

⇔ ⇔

Từ p = 30 → n+18=30² =900⇔ n = 882

Với n= 882 → n – 41 = 841= 29²

Vậy n=882 là số tự nhiên cần tìm

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

4

(6,0 điểm)

- Vẽ hình đúng để làm được ý a

0,25

a) (0,75 điểm)

Xét và , có:

0,25

chung

0,25

0,25

b) (2,5 điểm)

- Chứng minh được:

0,5

0,5

0,25

- Chứng minh được:

0,5

0,5

Vậy

0,25

c) (2,5 điểm)

Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh:

- Chứng minh được là phân giác trong của

0,5

- Chứng minh được EA là phân giác trong, ngoài của tại đỉnh E

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

5

(2,0 điểm)

1, ( 1 điểm)

5x² + 5y² + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0

⇔ (4x² + 8xy + 4y²) + (x²+ 2x + 1) + (y² - 2y + 1) = 0

⇔ 4 (x + y)² + (x + 1)² + (y - 1)² = 0

Vì 4 (x + y)² ≥ 0 ; (x + 1)² ≥ 0 ; (y - 1)² ≥ 0 với mọi giá trị x, y

Nên 4 (x + y)² + (x + 1)² + (y - 1)² ≥ 0 với∀ x, y.

⇒ 4 (x + y)² + (x + 1)² + (y - 1)² = 0

⇔

Vậy

0,25

0,25

0,25

0,25

2, ( 1 điểm)

8351 là số lẻ⇒ 8351⁶³⁴ là số lẻ

8241 là số lẻ ⇒ 8241¹⁴² là số lẻ

Do đó: 8351⁶³⁴ + 8241¹⁴² là số chẵn ⇒ (8351⁶³⁴ + 8241¹⁴²) 2

Mặt khác: (8351² + 1) 13; (8241 + 1) 13

Áp dụng: (aⁿ - bⁿ) (a - b)

8351⁶³⁴ + 8241¹⁴² = [(8351²)³¹⁷ - (-1)³¹⁷] + [8241¹⁴² - (-1)¹⁴²]

Chia hết cho 13 vì [(8351²)³¹⁷ - (-1)³¹⁷] [8351²- (-1)]

và [8241¹⁴² - (-1)¹⁴²] [8241- (-1)]

2 và 13 là số nguyên tố cùng nhau, 2. 13 = 26

Do đó 8351⁶³⁴ + 8241¹⁴² chia hết cho 26

0,25

0,25

0,25

0,25