Chuyên đề ứng dụng vectơ để giải toán hình học có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Phương pháp chung

Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán tổng hợp về bài toán vectơ.

Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó.

Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp.

Sau đây là một số dạng toán thường gặp

I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH.

1. Phương pháp giải.

• Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ và cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: .
• Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi có hai số thực , có tổng bằng 1 sao cho: .

Lời giải

* Nếu A, B, M thẳng hàng

. Đặt và

.

* Nếu với

Suy ra M, A, B thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho . Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.

Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là (*)

Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho với . Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy

Ta có . từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho . Kết hợp với giả thiết ta chọn được điểm A' và B' sao cho .

Lời giải

Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A', B' sao cho .

Do I là trung điểm của AB nên

Ta có

Do đó điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho

, muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ qua hai vectơ không cùng phương và và sử dụng nhận xét " với là hai vectơ không cùng phương " từ đó tìm được .

Lời giải (hình 1.35)

Ta có (1)

Mặt khác theo giả thiết ta có suy ra

Hình 1.35

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD () sao cho

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải

Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho .

Gọi H là điểm thỏa mãn do đó H cố định.

Ta có

(theo (1))

(3)

Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3))

Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác nằm trên một đường thẳng.

Lời giải

Gọi lần lượt là trực tâm của các tam giác

Ta có: ,

và

Suy ra

Vì các dây cung song song với nhau

Nên ba vectơ có cùng phương

Do đó hai vectơ và cùng phương hay ba điểm thẳng hàng.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.101: Cho tam giác và các điểm M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho , P là điểm đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Bài 1.102: Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E . Đặt .

Tìm x để A, O, E thẳng hàng.

Bài 1.103: Cho lấy các điểm I, J thoả mãn , . Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của .

Bài 1.104: Cho tam giác . Hai điểm M, N di động thỏa mãn

a) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.

b) P là trung điểm của AN. Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.

Bài 1.105: Cho hai điểm M,P là hai điểm di động thỏa mãn . Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.

Bài 1.106. Cho hình bình hành . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF.

Bài 1.107: Cho hai tam giác và ; lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , .

Chứng minh rằng thẳng hàng và tính .

Bài 1.108. Cho tam giác .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho .

Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng.

Bài 1.109: Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng trung điểm hai đường chéo AC, BD và tâm O thẳng hàng.

Bài 1.110: Cho lục giác nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác đồng dạng và cân tại M, N, P, Q, R, S. Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác và . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Bài 1.101: Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Bài 1.102: Ta có:

A, E, O thẳng hàng

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 1.103:

Suy ra I, J, G thẳng hàng.

Bài 1.104: a) Gọi G là trọng tâm tam giác suy ra

Suy ra thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G.

b) P là trung điểm AM

Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra

Do đó suy ra MP đi qua điểm cố định J.

Bài 1.105: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác suy ra

Do đó

Vậy MP đi qua điểm cố định I.

Bài 1.106: Ta có: ,

. Vì vậy K là trung điểm EF

Bài 1.107: Vì là trọng tâm tam giác suy ra

Tương tự là trọng tâm tam giác suy ra

Mặt khác

Mà lần lượt là trọng tâm các tam giác

Suy ra

Do đó

Vậy

Bài 1.108: Ta có:

Ta có: Và

Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có

.

Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đối với đường tròn tâm O. Đặt .

Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác ta có:

Suy ra O, M, N thẳng hàng (đpcm)

Bài 1.110: Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Suy ra lần lượt là trung điểm của

Ta có

( Vì theo định lí con nhím thì )

Mặt khác suy ra

Do đó

Hay ba điểm thẳng hàng.

II. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.

1. Phương pháp giải.

• Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh và điểm A không thuộc đường thẳng CD.
• Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:

+ Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định.

+ Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho ngũ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ.

Hình 1.36

Chứng minh rằng IJ song song với AE

Lời giải (hình 1.36)

Ta có

Suy ra IJ song song với AE

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn , thì AM, BN, CP đồng quy tại O, với O là điểm được xác định bởi

Lời giải

Ta có

Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O

Tương tự ta có BN, CP đi qua O

Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy

Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.

Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F.

Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn khác nhau thì H thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và . Nếu là tam giác ABC thì là tam giác DEF. Gọi G và G^' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.

H thuộc đường thẳng khi có số thực k sao cho

Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho khi đó

Lời giải

Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó

Giả sử lần lượt là trọng tâm của hai tam giác suy ra

Suy ra

Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.111: Cho tứ giác , gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KL và AD song song với nhau

Bài 1.112: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt lấy các điểm sao cho . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Chứng minh rằng tam giác có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác .

Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mư­ời đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.

Bài 1.114. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MP và NQ).

Bài 1.115: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng . Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 1.116: Cho tam giác . Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi chu vi tam giác .

Chứng minh rằng x, y, z đồng quy .

Bài 1.117: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó.

Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

a) Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng

b) Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm G.

Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

a) Các đường thẳng đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường

b) M, G, O thẳng hàng và .

Bài 1.120: Cho tam giác . Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh . Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc với BC, là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, là đường thẳng đi qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng và đồng quy.

Bài 1.121: Cho hai hình bình hành và sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.

Bài 1.111: Ta có và

Trừ vế với vế ta được

Suy ra KL//AD

Bài 1.112: , vì và nên

Tương tự ta có và

Bài 1.113: Giả sử năm điểm đó là nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ; P là trung điểm của đoạn thẳng .Vì (do ) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng khi có số thực k sao cho . Mà (vì G là trọng tâm của tam giác ). (vì P là trung điểm của đoạn thẳng )

Do đó

Hay

Vì các điểm trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho

Khi đó

Hay (G là trọng tâm của hệ điểm ).

Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ'.

Vì OP CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' khi có số thực k sao cho .

Mà M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

Do đó Hay

Vì các điểm A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn

Khi đó

Hay (Dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD)

Vậy H là điểm đối xứng của O qua I.

Bài 1.115: Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác và DE là đoạn thẳng . Gọi G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của DE thì với điểm O tùy ý ta có

Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E.

Bài 1.116: Hướng dẫn :

Đặt

Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có

Suy ra

Do đó :

Tương tự ta có :

Do đó x, y, z đồng quy tại I được xác định bới

Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M.

Gọi B’,C’ là tiếp điểm của cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A

Khi đó

Đến đây tương tự bài 1.116.

Bài 1.118: a) Ta có:

b) ;

cùng phương hay AA­₁ đi qua G

Tương tự ta có BB­₁ đi qua G; CC­₁ đi qua G; DD­₁ đi qua G

Vậy ta có đồng quy tại G

Bài 1.119: a) Gọi O là trung điểm CC­₁

(vì hình bình hành) hay O là trung điểm AA₁

Tương tự ta có hay O là trung điểm BB₁

Vậy đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường

b) Ta có:

M, G, O thẳng hàng và

Bài 1.120: Đặt

Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.

O là điểm được xác định

Suy ra

Suy ra , tương tự ta có

Suy ra và đồng quy tại O.

Bài 1.121: Đặt . Gọi I là giao điểm BD' và DB'

Ta có

Do đó ;

Suy ra

Suy ra I, C', C thẳng hàng đpcm

III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.

1. Phương pháp.

Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương và sử dụng các kết quả sau:

Cho là hai vectơ không cùng phương khi đó

• Với mọi vectơ luôn tồn tại duy nhất các số thực sao cho
• Nếu và là hai vectơ cùng phương thì

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN.

Tính tỉ số và

Hình 1.37

Lời giải (hình 1.37)

Giả sử ;

Ta có

;

Và

Vì chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua và suy ra

.

Vậy và .

Ví dụ 2: Cho hình bình hành . M thuộc đường chéo AC sao cho . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho . Gọi N là giao điểm của AQ và CP.

Tính tỉ số và theo .

Lời giải (hình 1.38)

Đặt , ta có:

Hình 1.38

Vì nên

Mặt khác

Vì nên

Từ (1) và (2) ta suy ra: .

Do đó và

Ví dụ 3: Cho tam giác có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’ . Gọi M' là giao điểm của B'C' và AM. Chứng minh: .

Lời giải (hình 1.39)

Đặt

Hình 1.39

Vì

Hay đpcm.
3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.122. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho

. Gọi I là giao điểm của AN và CM

Tính tỉ số và

Bài 1.123: Cho tam giác và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC.

Tính

Bài 1.124: Cho có . Phân giác trong AD của góc cắt trung tuyến BM tại I. Tính

Bài 1.125: Cho tam giác , trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: , , gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích biết diện tích bằng 1.

Bài 1.126: Cho hình bình hành . Gọi M, N lần lượt là nằm trên cạnh AB, CD sao cho , G là trọng tâm tam giác và AG cắt BC tại I. Tính

Bài 1.127: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết , tính .

Bài 1.128. Cho tam giác . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho . Một đường thẳng cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Chứng minh rằng

Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng

Bài 1.122: Đặt

Ta có:

Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có:.

Tương tự: .

Bài 1.123: Ta đặt: .Khi đó . Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho , với . Khi đó

Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

Hay

Vì hai vectơ không cùng phương nên và .

Suy ra, do đó

Ta có: =

Chú ý rằng vì hay suy ra

Do đó

Bài 1.124: Ta có:

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên:

Tương tự:

hay (1)

Đặt , , Ta có :

Thay vào (1) ta có:

Từ đó ta có:

Với

hay .

Vì

Bài 1.126: Đặt

Ta có

Mặt khác G là trọng tâm tam giác suy ra

Vì cùng phương nên

Bài 1.127: Ta có

Vì cung phương nên có số thực k sao cho

Đặt , ta có

Suy ra

Bài 1.128: Ta có

Đặt

Ta có

Mặt khác , cùng phương nên

Hay

Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt

Ta có: (1)

Hình 1.56

Do: cùng phương nên

Mặt khác

Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra: