10 đề tuyển sinh toán 10 chuyên 2021-2022 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TỈNH AN GIANG Năm học: 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN - CHUYÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (3,0 điểm)

a) Rút gọn .

b) Giải phương trình .

c) Biết nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình . Tìm các số .

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số .

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với .

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho hai số phân biệt thỏa mãn , với là một số thực dương. Chứng minh rằng: .

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác () nội tiếp trong đường tròn đường kính . Gọi là một điểm thuộc đoạn ( khác và ). Qua kẻ đường vuông góc với cắt tại và kéo dài tại . Gọi là điểm đối xứng của qua điểm .

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

b) Chứng minh .

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác đều có diện tích . Gọi là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh sao cho . Chứng tỏ rằng tam giác đều và tính diện tích tam giác .

Bài 6. (1,0 điểm)

Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao.

a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến.

b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Hướng dẫn giải:

Bài 1. (3,0 điểm)

a) Rút gọn .

b) Giải phương trình .

c) Biết nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình . Tìm các số .

Lời giải

a) Rút gọn

.

Vậy .

b) Giải phương trình .

phương trình có hai nghiệm phân biệt.

; .

Vậy phương trình có tập nghiệm là .

c) Biết nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình . Tìm các số .

Xét phương trình , có hai nghiệm là nên ta có:

.

Vậy là các giá trị cần tìm.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số .

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với .

Lời giải

a) Vẽ đồ thị hàm số , ta có bảng sau:

Vậy đồ thị hàm số là Pa-ra-bol đi qua và nhận làm trục đối xứng.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với .

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng .

đi qua nên ta có có dạng .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

(1).

Để và tiếp xúc nhau thì (1) có nghiệm kép .

Vậy ta có hai đường thẳng thỏa mãn là và .

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho hai số phân biệt thỏa mãn , với là một số thực dương. Chứng minh rằng: .

Lời giải

Theo bài ra ta có

.

Với loại do phân biệt.

Với .

Thay vào ta được .

Vậy .

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác () nội tiếp trong đường tròn đường kính . Gọi là một điểm thuộc đoạn ( khác và ). Qua kẻ đường vuông góc với cắt tại và kéo dài tại . Gọi là điểm đối xứng của qua điểm .

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

b) Chứng minh .

Lời giải

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (kề bù với ); () tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

(hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Lại có là điểm đối xứng của qua điểm nên là trung điểm của có vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên cân tại tứ giác có góc ngoài đỉnh bằng góc trong đỉnh nên là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

Xét và có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn );

.

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác đều có diện tích . Gọi là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh sao cho . Chứng tỏ rằng tam giác đều và tính diện tích tam giác .

Lời giải

Trong vuông tại , ta có ; mà ;

Trong vuông tại , ta có ; mà ;

có nên là tam giác đều.

Đặt vì đều nên .

Mặt khác (cạnh huyền – góc nhọn) .

Trong tam giác vuông tạ ta có .

.

Vậy .

Bài 6. (1,0 điểm)

Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao.

a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến.

b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến.

Lời giải

a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến.

Gọi chiều cao ngọn nến thứ nhất là cm, chiều cao ngọn nến thứ hai là cm, ().

Giả sử tốc độ tiêu hao khi cháy của hai ngọn nến là không đổi.

Mỗi giờ cây nến thứ nhất giảm chiều cao, cây nến thứ hai giảm chiều cao.

Sau 3 giờ cây nến thứ nhất còn chiều cao.

Chiều cao của cây nến thứ nhất còn lại là .

Sau 3 giờ cây nến thứ hai còn chiều cao.

Chiều cao của cây nến thứ hai còn lại là .

Vì sau 3 giờ chiều cao của hai cây nến bằng nhau nên

.

Vậy tỉ lệ chiều cao ban đầu của ngọn nến thứ nhất so với ngọn nến thứ hai là .

b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến.

Tổng chiều cao ngọn nến là 63 cm .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

.

Vì .

Vậy ban đầu ngọn nến thứ nhất cao 35 cm, ngọn nến thứ hao cao 28 cm.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYEN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU

ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Chuyên)

Năm học: 2021-2022

Câu 1 điếm).

a) Rút gon biểu thức với .

b) Giadi phương trình

c) Giai hế phương trinh .

Câu 2 (2, 0 điểm).

a) Cho hai da thức và . Biết rằng có ba nghiệm phân biệt. Chưng minh có hai nghiềm phân biệt.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thơa mần phương trình .

Câu 3 (1, 0 điểm). Xét các số thực không âm, thòa măn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 4 (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ( ). Một đường trơn đi qua và khỏng đi qua cat các cạnh lần lượt tại khác khác ); cảt tại . Gọi là trung điểm của và là điềm đối xứng với qua .

a) Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và .

b) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Chửng minh vuông góc với và .

c) Gọi lần lựt là trung điềm và , Chứng minh ba điếm thẳng hàng.

d) Đường thẳng cát đường tròn ngoại tiếp tam giác tại ( khade ). Chưng minh là tićp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC và điểm O thay đổi trong tam giác.Tia Ox song song với AB

cắt tại , tia song song vói cắt tai , tia song song vói cắt tạ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN

Câu 1 (3.0 điêm).

a) Rút gọn biểu thức sau với

b) Giải phương trình .

c) Giải hệ phương trình .

Điều kiện: . Đặi . Ta có phương trình

(nhận).

Vơi (thỏa).

* Với (thỏa).

(2)

Điềù kiện:

(1):

nên

TH1: thay vào (2) ta có phương trình

(nhận)

* TH2: thay vào (2) ta có phương trình

Ta có , với mọi giá trị của Dấu bằng xảy ra khi (nhận) Vậy hệ phương trình có các nghiệm là .

Câu 2 (2, 0 điểm).

a) Cho hai đa thức và . Biết rằng có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ihỏa mãn phương trình

a) Gọi là ba nghiệm phân biệt của , ta có

Đồng nhất hệ số của ta có:

Vậy Q(x có hai nghiệm phân biệt

Lưu y: hs sử dụng Viet vẫn cho điểm tối đa

b/

Ta có: (xy-1)²=x²+y²

Giải hệ (1) ta được cặp nghiệm (0;1),(1;0)

Giải hệ (2) ta được cặp nghiệm (0;-1),(-1;0)

Câu 3:

Ta có :

Khi a=b=thì S = . Vậy giá trị lớn nhất của S là.

Theo BĐT AM-GM:

Từ đó : Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 1.

Câu 4:(3 điểm)

Chưa vẽ hình

Tứ giác BCFE nội tiếp nên ta có: ;

Mặt khác: BDCK là hình bình hành nên ;

Do đó : ;

Từ (1) và

Gọi là giao điểm của và . Ta có: (đồng vi) và

(Do

Xét và có:

hay

b) Có nội tiếp .

Mà

Do đó:

có thuộc đường trung trực của

c) Ta có là đường trung bình của tam giác (4)

Từ (3) và (4) suy ra là đường trung trực của thẳng hàng. Từ (3) và Ta có cân tại nên là đường kính của đường tròn ngoại

tiếp

Mà

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .

Câu điểm). Cho tam giác và điểm thay đổi trong tam giác. Tia song song với cắt tại , tia song song với cắt tại , tia song song với cắt tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Kẻ

Ta có: (2); (3)

Từ

Theo bất đẳng thức AM-GM:

Đẳng thức xảy ra khi là trọng tâm . Vậy giá trị nhỏ nhất của là 27 .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

BẾN TRE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG LẬP

NĂM HỌC 2021 – 2022

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chuyên)

Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên .
2. Cho Parabol và đường thẳng . Biết cắt tại hai điểm phân biệt , với . Tính .
3. Rút gọn biểu thức (với ).

Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình: (1), với là tham số. Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; thỏa .

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
2. Giải hệ phương trình:
3. Giải phương trình: .

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương , thỏa . Chứng minh rằng:

.

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại với (), có đường cao . Biết và .

1. Tính độ dài hai cạnh và
2. Kẻ ; (với , ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh .

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác có đường phân giác ngoài của góc cắt đường thẳng tại điểm . Gọi là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp cắt các đường thẳng , lần lượt tại và (với , khác ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng //.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên .
2. Cho Parabol và đường thẳng . Biết cắt tại hai điểm phân biệt , với . Tính .
3. Rút gọn biểu thức (với ).

Lời giải

1. Hàm số nghịch biến trên .

Vậy thì hàm số đã cho nghịch biến trên .

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , ta có:

Có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

và

Với , ta có , suy ra .

Với , ta có , suy ra .

Khi đó, ta có:

.

Vậy .

Vậy .

Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình: (1), với là tham số. Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; thỏa .

Lời giải

Ta có:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo đề bài ta có: (2), với điều kiện

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn và , nghĩa là

(*)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:

Ta có:

Từ đó, ta suy ra

Từ phương trình (2), ta được

(3)

Giải phương trình (3) với điều kiện: (**)

Ta có:

Vậy phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt:

và

So với điều kiện (*) và (**) thì .

Vậy không tồn tại giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
2. Giải hệ phương trình:
3. Giải phương trình: .

Lời giải

1. Ta có:

Vì đây là phương trình nghiệm nguyên nên ta có:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: .

1. Ta có:

Mặt khác, , nghĩa là .

Do đó, từ hệ phương trình ban đầu đề cho, ta giải hệ phương trình sau:

Vậy hệ có tập nghiệm là

1. Giải phương trình (*): .

Điều kiện xác định: .

Ta đặt

Ta thấy

Phương trình (*) trở thành:

Vì nên ta chỉ giải phương trình (2)

TH1: Với , ta có

So với điều kiện thì (Nhận).

TH2: Với , ta có

So với điều kiện thì (Nhận) và (Nhận).

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương , thỏa . Chứng minh rằng:

.

Lời giải

Ta đặt , ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy khi thì (đpcm).

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại với (), có đường cao . Biết và .

1. Tính độ dài hai cạnh và
2. Kẻ ; (với , ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh .

Lời giải

1. Tính độ dài hai cạnh và

Áp dụng hệ thức lượng và định lý Pytago cho vuông tại , ta có:

Khi đó, và là các nghiệm dương của phương trình.

Áp dụng hệ quả của định lý Vi-et, ta được

Ta có: nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt:

và

Theo giả thiết, , nên ta được:

Vậy và .

1. Chứng minh .

Gọi là giao điểm của và .

Xét tứ giác , ta có:

Tứ giác là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà (cùng phụ với )

(1)

Xét vuông tại có là trung điểm của

(định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

cân tại (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: ( vuông tại )

Áp dụng định lý tổng 3 góc trong , ta có:

Do đó, (đpcm)

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác có đường phân giác ngoài của góc cắt đường thẳng tại điểm . Gọi là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp cắt các đường thẳng , lần lượt tại và (với , khác ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng //.

Lời giải

Dựng hình bình hành .

Hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà là trung điểm của (gt) cũng là trung điểm của .

Xét , ta có là trung điểm của (gt), là trung điểm của (cmt)

là đường trung bình của (1)

Ta có: (cặp góc so le trong của , là hình bình hành)

Mà (các góc nội tiếp cùng chắn cung )

, nghĩa là

Xét tứ giác , ta có (cmt)

Tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà (đối đỉnh)

Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

, nghĩa là (2)

Ta có: là phân giác ngoài của (gt)

Mà (kề bù)

là phân giác của (3)

Từ (2) và (3), ta suy ra

Mà 2 góc nằm ở vị trí so le trong nên (4)

Từ (1) và (4), ta suy ra (đpcm)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022

BÌNH ĐỊNH

Đề chính thức Môn thi: Toán

Ngày thi: 11/6/2021 Thời gian làm bài: 120’

Bài 1: (2 điểm).

1.Cho biểu thức Với x>0;x 1

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của P khi

2. Giải hệ phương trình:

Bài 2: (2 điểm)

1. Cho phương trình x²-(m+3)x-2m²+3m=0 (m là tham số). Hãy tìm giá trị của m để x=3 là nghiệm của PT và xác định nghiệm còn lại của PT ( nếu có)

2. Cho Parabol (P): y=x² và đường thẳng (d) : y= (2m+1)x-2m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho: y₁+y₂ - x₁ x₂=1

Bài 3: (2,0 điểm)

Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km, sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B đên A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km. Biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của BC, đường thảng OM cắt cung nhỏ BC tại D, cắt cung lớn BC tại E. Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB; H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE

a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Đường thẳng MF cắt AC tại Q. Đường thẳng EC cắt AD, AB lần lượt tại I và K. Chứng minh

Bài 5 (1,0 điểm).

Cho a,b, c là các số dương thỏa: .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1.

1. Rút gọn biểu thức P : ĐK:

Vậy với

1. Tìm giá trị của P khi :

với , ta có:

Vậy ……….

2. Vậy HPT có nghiệm duy nhất

Bài 2: (2điểm)

1. Cho phương trình x²-(m+3)x-2m²+3m=0 (m là tham số). Hãy tìm giá trị của m để x=3 là nghiệm của PT và xác định nghiệm còn lại của PT ( nếu có).

Vì x=3 là nghiệm của PT, nên:

Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có:

Vậy……….

2. Cho Parabol (P): y=x² và đường thẳng (d) : y= (2m+1)x-2m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho: y₁+y₂ - x₁ x₂=1:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt:

x²=(2m+1)x-2m x²- (2m+1)x+2m=0 (1)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B ⬄ PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁ x₂

Theo hệ thức Vi- ét, ta có: mà y= x², nên:

Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu .

Bài 3: (2,0 điểm)

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h)

ĐK: x > 0

Vận tốc của ô tô là : x+20 (km/h)

Quãng đường AC: 160-72=88 (km)

Thời gian xe máy đi từ A đến C là: (giờ)

Thời gian ô tô đi từ B đến C là: (giờ)

Vì ô tô khởi hành sau xe máy 1 giờ nên ta có pt:

Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h)

Vận tốc của ô tô là : 40+20 = 60(km/h)

Bài 4: (4,0 điểm)

a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp:

Ta có: => Tứ giác BKMI nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề H,F cùng nhìn BE dưới góc bằng nhau)

b)Chứng minh :

Ta có: MB=MC (gt) =>

• 3 điểm M;F;H cùng nằm trên đường tròn đường kính BE

=>5 điểm B;M;F;H;E cùng nằm trên đường tròn đường kính BE

=> ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) (1)

Và ( góc nội tiếp cùng chắn cung FH) (2)

Lại có: Cung BE= cung CAE

( Góc nội tiếp chắn hai cung băng nhau)

Mà ( tam giác vuông)

Suy ra: (3)

Từ (1); (2) và (3) Suy ra: , mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên: MF//BH ,mà

c) Chứng minh

Ta có: Cung DB= cung DC=>

=> AI là đường phân giác trong của tam giác AKC

Mà ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn)

=> AE là đường phân giác ngoài của tam giác AKC

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

hay (đ.p.c.m)

Xét tam giác AQF có AE là đường cao ( vì ),

AE cũng là đường phân giác (c.m.t) do đó tam giác AQF cân tại A:

Xét AQE và AQF, có: AQ=AF (Vì cân); (AE là phân giác); AE chung

Suy ra: AQE = AQF (c.g.c) (đ.p.c.m)

Bài 5 (1,0 điểm). Cho a,b, c là các số dương thỏa:

Vì a,b, c là các số dương, nên:

Tương tự:

Nhân vế theo vế ba BĐT trên:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

-------------------- oOo --------------------

Bài 1. (2.0 điểm)

1. Cho biểu thức: .

Tính giá trị biểu thức với , .

2. Cho các số thực và thỏa mãn .

Chứng minh rằng: .

Bài 2. (2.5 điểm)

1. Cho tập hợp gồm số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của số bất kỳ lớn hơn tổng của số còn lại. Biết các số và thuộc tập hợp . Tìm các số còn lại của tập hợp .

2. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương.

Bài 3. (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình: .

Bài 4. (3.0 điểm)

Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , là điểm bất kì thuộc cạnh ( khác và ). Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Đường thẳng cắt đường tròn tại , (theo thứ tự , , , ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại (khác ). Các đường thẳng và cắt nhau tại .

a) Chứng minh điểm , , , nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại (khác ). Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh khi di chuyển trên đoạn thì tỉ số không đổi.

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho , là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

---------- 🙡 HẾT 🙣 ----------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – CHUYÊN TOÁN TIN – BÌNH ĐỊNH 2021 – 2022

Bài 1. (2.0 điểm)

1. Cho biểu thức: .

Tính giá trị biểu thức với , .

2. Cho các số thực và thỏa mãn .

Chứng minh rằng: .

1. Điều kiện: ; và .

Ta có: .

Thay , vào biểu thức đã thu gọn, ta được:

.

Vậy (với ; và ) và khi .

2. Ta có: .

(do và )

.

⦁ Với , suy ra: ; do đó đúng.

⦁ Tương tự trong hai trường hợp còn lại là: và thì cũng đúng.

Do đó bài toán được chứng minh.

Bài 2. (2.5 điểm)

1. Cho tập hợp gồm số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của số bất kỳ lớn hơn tổng của số còn lại. Biết các số và thuộc tập hợp . Tìm các số còn lại của tập hợp .

2. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương.

1. Giả sử với và .

Từ đề, suy ra: .

Vì nên ; ; ; .

Từ và , suy ra: mà là số nhỏ nhất trong các số của tập hợp nên .

Từ và , suy ra: .

Từ và suy ra: .

Ta có: .

.

Vì mà .

Từ , và suy ra .

2. Theo đề, đặt (với ).

.

Vì ; và .

Do đó ta có bảng sau:

Vậy số cần tìm là: .

Bài 3. (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình: .

Điều kiện: ; .

Ta có:

(do ).

.

Thay vào ta được:

.

⦁ Từ suy ra (thỏa), thay vào suy ra (thỏa).

⦁ Nhận thấy với mọi ; phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: .

Bài 4. (3.0 điểm)

Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , là điểm bất kì thuộc cạnh ( khác và ). Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Đường thẳng cắt đường tròn tại , (theo thứ tự , , , ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại (khác ). Các đường thẳng và cắt nhau tại .

a) Chứng minh điểm , , , nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại (khác ). Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh khi di chuyển trên đoạn thì tỉ số không đổi.

a) Vì tứ giác nội tiếp .

Vì tứ giác nội tiếp .

c) ⦁ Trên xác định điểm sao cho .

Vì tứ giác nội tiếp, nên .

Lại có , và không đổi nên là điểm cố định.

⦁ Dễ dàng chứng minh được (g – g) .

Dễ dàng chứng minh được (g – g) .

Từ và suy ra: .

⦁ Ta có: nên hay .

⮚ Từ và suy ra mà không đổi nên không đổi.

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho , là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Ta có:

Theo đề .

Do đó:

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi .

---------- 🙣 CHÚC CÁC EM HỌC TỐT 🙡 ----------

ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH DƯƠNG – 2021-2022

Câu 1 ( 2 điểm )

a/ rút gọn P= với x2

b/ cho x là số thực dương thỏa mãn: .

Tính giá trị của A=

Câu 2 ( 2điểm )

a/ với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Chứng minh pt sau vô nghiệm: với x thuộc R

b/ giải pt:

Câu 3: (3 điểm )

a/ cho 3 số nguyên a,b,c thỏa . cm rằng ( a+b+c) có giá trị là lập phương của 1 số nguyên

b/ cho x,y,z >0 thỏa xy + yz +zx =1 . chứng minh : . Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Câu 4: (3 điểm )

Cho hình thoi ABCD ( AC>BD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. (O) nội tiếp hình thoi ABCD, tiếp xúc các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại E,F,G,H. Lấy K trên đoạn HA và L trên đoạn AE sao cho KL tiếp xúc (O)

a/ cm :

b/ đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt cạnh AB tại M ( khác L ), đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt cạnh AD tại N ( khác K ). Chứng minh K,L,M,N cùng thuộc đường tròn

c/ lấy P,Q tương ứng trên đoạn FC và GC sao cho LP//KQ. Chứng minh PQ tiếp xúc (O)

………………………………………………………………………..

Hướng dẫn giải : TOÁN CHUYÊN TỈNH BÌNH DƯƠNG

NĂM HỌC 2021-2022

Câu 1

a)

P==

Ta có x2 x-1 1 1

Do đó P= =

b)

Ta có ( = 7() (1)

Ta lại có: ()= ) (2)

( (3)

Từ (1), (2) và (3) Ta có:

= 7 [) () ] = 281

Ta lại có: =

Mà x là số nguyên dương nên Nên

Vậy = 843

Câu 2:

a)

Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình trên có biệt số

b)

Đkxđ: .

Phương trình đã cho tương đương với

Đặt , . .

Phương trình trở thành

• TH1: (vô lý vì lúc này (vô nghiệm))
• TH2:

(vô nghiệm)

• TH3:

(nhận)

(nhận)

Vậy

Câu 3:

a)

Điều kiện để cho tương đương với

.

Vì và nên ta phải có , hay .

Điều này dẫn tới .

Ta có , là một số lập phương. Vậy ta có đpcm.

b)

Bất đẳng thức đề cho tương đương với

(1)

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng cộng mẫu, ta có

Vậy (1) đúng, ta có đpcm.

Dấu “” xảy ra

.

Câu 4

a)

KL

OK là phân giác

OL là phân giác = ½

Dễ dàng chứng minh OHAE là tứ giác nội tiếp

=

Do đó =

= (do ABCD là hình bình hành)

Xét và :

(1)

Do đó

Dễ thấy cân tại A

Xét và :

Do đó ( do ABCD là hình bình hành ) (2)

b)

Ta có: MLFC nội tiếp ( Hệ thức lượng ) (3)

= Mà chung nên

(4)

Từ (2) và (3) DK=BM

Lại có: OB=OD và

Do đó OM = OK và

Lại có AB = AC nên AM = AK MK // BC

(5)

Từ (1), (4) và (5) ta có: KMLO nội tiếp (w).

Chứng minh tương tự ta có: KMON nội tiếp (w)

Do đó K, M, L, N thuộc đường tròn (w).

c)

Dễ dàng chứng minh:

(6)

Từ (2) và (6)

Lại có:

Do đó

Vẽ tiếp tuyến PS của (O), ta cần chứng minh S Q

Tương tự như trên ta chứng minh được

Do đó DS = DQ S Q.

Vậy ta có đpcm.

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm nguyên để nhận giá trị nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: , với là tham số.

1. Tìm để phương trình có nghiệm trái dấu.
2. Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , là điểm chính giữa trên cung nhỏ của đường tròn là chân đường cao kẻ từ A của tam giác Hai điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và

1. Chứng minh
2. Lấy điểm trên đoạn thẳng sao cho . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
3. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm ( nằm giữa ). Chứng minh

Câu 5. (1,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2. Cho hai số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng là số chính phương.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

............HẾT...........

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Lưu ý: - Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,125.

• Học sinh giải cách khác với đáp án thì giám khảo xem xét, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

HẾT.

Bài 1: (1,0 điểm) Cho biểu thức: (với

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên

Bài 2: (1,0 điểm)

Giải phương trình: (với hoặc

Bài 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho parabol (P):

1. Vẽ đồ thị (P).
2. Tìm tọa độ của những điểm nằm trên parabol (P) và cách đều hai trục tọa độ.

Bài 4: (1,5 điểm) Ngày 31/5/2021, Ủy ban Bầu cử của tỉnh A đã ban hành Nghị quyết công bố 51 đại biểu là nam và nữ trúng cử Hội đồng nhân dân tỉnh khóa X, nhiệm kỳ 2021-2026.

Người ta thống kê được rằng: tuổi trung bình của các đại biểu nam trúng cử là tuổi; tuổi trung bình của các đại biểu nữ trúng cử là tuổi và tuổi trung bình của 51 đại biểu trúng cử là tuổi. Tính số đại biểu trúng cử là nam; số đại biểu trúng cử là nữ của tỉnh A.

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b là hai số thực dương sao cho

Chứng minh rằng

Bài 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi I là điểm đối xứng của H qua BC.

1. Chứng minh tứ giác ABIC nội tiếp được đường tròn (O).
2. Gọi K là trung điểm của AB, chứng minh NK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác NHC.
3. Biết BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E và CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Tính giá trị biểu thức

Bài 7: (1,0 điểm) Tất cả học sinh lớp 9 của Trường trung học cơ sở Tân Tiến tham gia xếp hàng để đồng diễn thể dục; mỗi hàng đươc xếp không quá 25 học sinh. Nếu xếp mỗi hàng 16 học sinh thì còn thừa một học sinh; nếu bớt đi một hàng thì có thể chia đều tất cả các học sinh vào các hàng còn lại sao cho số học sinh ở mỗi hàng là bằng nhau. Hỏi Trường trung học cơ sở Tân Tiến có bao nhiêu ho5c sinh lớp 9?

-----Hết-----

ĐÁP ÁN

Bài 1: (1,0 điểm)

a)

b) Với ta có:

Để A nguyên thì suy ra

Với , để A nguyên thì x = 4 hoặc x = 9

Bài 2: (1,0 điểm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

THÀNH PHỐ CẦN THƠ NĂM HỌC 2021 – 2022

Khóa ngày 05 tháng 6 năm 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN (CHUYÊN)

(Đề thi có 2 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức

với x > 1 và x 2.

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tính giá trị của P khi .

Câu 2. (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = –2mx – 2m. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ và x₂ thỏa mãn .

Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực:

1. .
2. .

Câu 4. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x² + 5y² + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0.
2. Lúc 7 giờ, anh Toàn điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến thành phố B. Khi đi được quãng đường, xe bị hỏng nên anh Toàn dừng lại để sửa chữa. Sau 30 phút sửa xe, anh Toàn tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10 km/h. Lúc 10 giờ 54 phút, anh Toàn đến thành phố B. Biết rằng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là 160 km và vận tốc của xe trên mỗi đoạn đường không đổi. Hỏi anh Toàn dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ?

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB > BC > AC) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB cắt đường thẳng AB tại điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.

1. Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC.
2. Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Các đường thẳng CO, AB cắt nhau tại điểm H và các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại điểm K. Chứng minh .
3. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và CE. Chứng minh IA. IB = ID. IH.

Câu 6. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

--------HẾT--------

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức

với x > 1 và x 2.

1. Rút gọn biểu thức P.

Với x > 1 và x 2 ta có:

P = (x – 1)(x – 2) = x² – 3x + 2

Vậy P = x² – 3x + 2 với x > 1 và x 2.

1. Tính giá trị của P khi .

(do )

(do )

(thỏa điều kiện)

Thay vào P ta được

Vậy .

Câu 2. (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = –2mx – 2m. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ và x₂ thỏa mãn .

Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x² = –2mx – 2m x² + 2mx + 2m = 0 (1)

Ta có: ∆’ = m² – 2m.

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ và x₂

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁ và x₂

∆’ > 0 m² – 2m > 0 m. (m – 2) > 0

Theo định lý Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

(*)

• Với m > 2 thì (*) trở thành: 4m² – 4m + 4m = 12 m² = 3 (loại vì m² > 4)
• Với m < 0 thì (*) trở thành: 4m² – 8m – 12 = 0 m² – 2m – 3 = 0

Vậy với m = –1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁ và x₂ thỏa mãn đề bài.

Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực:

1. .

ĐKXĐ: x ≥ 0

(do )

x² – 4x = 0 (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 4}

1. .

Lấy (1) – (2) ta được: x² – y² – 4x + 4 = 0 (x – 2)² = y²

TH1: y = x – 2 thay vào (1) ta được: x² – 8x – 4(x – 2) + 3 = 0 x² – 12x + 11 = 0

• Với x = 1 thì y = 1 – 2 = –1
• Với x = 11 thì y = 11 – 2 = 9

TH2: –y = x – 2 thay vào (1) ta được: x² – 8x + 4(x – 2) + 3 = 0 x² – 4x – 5 = 0

• Với x = –1 thì y = 2 – (–1) = 3
• Với x = 5 thì y = 2 – 5 = –3

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: S = {(1 ; –1) ; (11 ; 9) ; (–1 ; 3) ; (5 ; –3)}

Câu 4. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x² + 5y² + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0.

Ta có: x² + 5y² + 4xy + 4y + 2x – 3 = 0

(x² + 4xy + 4y²) + y² + 2(x + 2y) + 1 – 4 = 0

[(x + 2y)² + 2(x + 2y) + 1] = 4

(x + 2y + 1)² + y² = 4

Vì x, y nên phương trình trên tương đương với

• Giải (I):

• Giải (II):

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là: S = {(1; 0); (–3; 0); (–5; 2); (3; –2)}.

1. Lúc 7 giờ, anh Toàn điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến thành phố B. Khi đi được quãng đường, xe bị hỏng nên anh Toàn dừng lại để sửa chữa. Sau 30 phút sửa xe, anh Toàn tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10 km/h. Lúc 10 giờ 54 phút, anh Toàn đến thành phố B. Biết rằng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là 160 km và vận tốc của xe trên mỗi đoạn đường không đổi. Hỏi anh Toàn dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ?

Giải:

Gọi vận tốc xe ban đầu là x (km/h) (x > 10).

Vận tốc sau khi sửa chữa xe là: x – 10 (km/h)

Quãng đường từ A đến đoạn đường bị hỏng xe là: (km)

Quãng đường còn lại là: 160 – 120 = 40 (km).

Thời gian đi từ A đến đoạn đường bị hỏng xe là: (h), thời gian đi từ lúc đã sửa xe đến B là (h)

Anh Toàn phải dừng lại sửa xe 30 phút = 0,5 h nên tổng thời gian đi từ A đến B là:

(h)

Vì lúc đi từ A là 7 giờ và đi đến B là 10 giờ 54 phút nên tổng thời gian đi từ A đến B (kể cả thời gian sửa xe là 3 giờ 54 phút = 3,9 (h)

Vậy ta có phương trình:

120(x – 10) + 40x = 3,4x. (x – 10)

3,4x² – 194x + 1200 = 0 (1)

∆’ = 97² – 3,4. 1200 = 5329 = 73² > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = 50 (thỏa đk)

(không thỏa đk)

Suy ra vận tốc của xe đi từ A đến lúc bị hỏng xe là 50 km/h

Thời gian anh Toàn đi từ A đến lúc bị hỏng xe là = 2,4 (h)

Vậy anh Toàn dừng xe để sửa chữa lúc: 7 + 2,4 = 9,4 (h) = 9 giờ 24 phút

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB > BC > AC) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB cắt đường thẳng AB tại điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.

1. Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC.

Xét (O): (2 góc nôi tiếp chắn cung AC)

∆CBD có CB = CD (bán kính (C)) ⇒∆CBD cân tại C ⇒

Suy ra

Mà ta có:

∆CED có CE = CD (bán kính (C)) ⇒∆CED cân tại C ⇒

Suy ra: nên ∆ADE cân tại A ⇒ AE = AD

Ta lại có: CE = CD (bán kính (C)) nên AC là trung trực của ED

Suy ra AC ⊥ ED

1. Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Các đường thẳng CO, AB cắt nhau tại điểm H và các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng: .

*Ta có:

Mà = (2 góc nội tiếp chắn cung FA của (O))

Và (chứng minh câu a)

Nên = hay =

Do đó ∆FBD cân tại F ⇒ FB = FD

Mà CB = CD (bán kính (C))

Nên FC là trung trực của BD ⇒ FC ⊥ DB hay BH ⊥CK

*Ta có: CE = CB (bán kính (C)) và OE = OB (bán kính (O))

Suy ra OC là trung trực của BE ⇒ OC ⊥BE hay CH ⊥BK

Xét ∆BCK:

CH ⊥BK (cmt)

BH ⊥CK (cmt)

Suy ra H là trực tâm ∆BCK nên KH ⊥BC

⇒ ⁰

Mà BH ⊥CK (cmt) ⇒ ⁰

Nên (đpcm)

1. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và CE. Chứng minh IA. IB = ID. IH.

*Xét ∆IAE và ∆IBC có:

= (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O))

(2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆IAE ∽ ∆ICB (g – g)

⇒IE. IC = IB. IA

* Ta có: B đối xứng E qua CO (OC là trung trực của BE)

⇒ (tính chất đối xứng)

Và: (∆CBD cân tại C)

Nên:

⇒ CDEH nội tiếp (2 đỉnh kề nhau E, D cùng nhìn cạnh CH dưới các góc bằng nhau)

=

Xét ∆IED và ∆IHC có:

= (cmt)

(2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆IED ∽ ∆IHC (g – g)

⇒IE. IC = ID. IH

Mà IE. IC = IB. IA (cmt)

Vậy IB. IA = ID. IH (đpcm)

Câu 6. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

Áp dụng Bất dẳng thức phụ . Dấu “=” xảy ra khi , a, b, c > 0

Chứng minh BĐT phụ:

Áp dụng BĐT B.C.S cho hai bộ số và ta có:

Khi đó ta có:

(BĐT Cauchy)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2

ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN NGUYỄN DU – 2021 – 2022

Câu 1. Cho phương trình với là tham số. Tìm tất cả giá trị của để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2.

1) Giải phương trình

2) Giải hệ phương trình

Câu 3.

1) Tìm tất cả các số tự nhiên và để là số nguyên tố.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn

Câu 4. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Câu 5. Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó ( khác và ). Gọi lần lượt là điểm chính giữa của cung và cung . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Hai dây cung và cắt nhau tại .

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

2) Gọi là trung điểm . Chứng minh là tiếp tuyến của nửa đường tròn .

3) Chứng minh rằng khi di động trên nửa đường tròn thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

4) Trên nửa đường tròn không chứa lấy một điểm tùy ý ( khác và ). Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Tìm vị trí của để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

1. Cho phương trình với là tham số. Tìm tất cả giá trị của để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Đặt , . Phương trình trở thành:

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt .

Ta được

Giả sử

Khi đó, đặt ; ; .

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của là , đạt khi .

1) Giải phương trình

2) Giải hệ phương trình

Lời giải

1) Điều kiện:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2)

Thay vào phương trình , ta được

Vậy hệ có nghiệm .

1) Tìm tất cả các số tự nhiên và để là số nguyên tố.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn

Lời giải

là số nguyên tố

Thử lại , thỏa mãn yêu cầu.

2)

Nhận xét: .

Vậy phương trình có nghiệm:

1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Lời giải

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

1. Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó ( khác và ). Gọi lần lượt là điểm chính giữa của cung và cung . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Hai dây cung và cắt nhau tại .

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

2) Gọi là trung điểm . Chứng minh là tiếp tuyến của nửa đường tròn .

3) Chứng minh rằng khi di động trên nửa đường tròn thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

4) Trên nửa đường tròn không chứa lấy một điểm tùy ý ( khác và ). Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Tìm vị trí của để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

1) Có ;

tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2) Tam giác vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Ta được .

Tứ giác nội tiếp nên

Tứ giác nội tiếp nên

Tam giác cân tại nên

Suy ra . Vậy là tiếp tuyến của nửa đường tròn .

3) Ta có là tia phân giác góc , là tia phân giác góc . Hai góc này kề bù, suy ra .

Tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm , ta có ;

Suy ra luôn tiếp xúc với đường tròn tâm , bán kính .

4)

Có

Ta được

Dấu bằng xảy ra khi là điểm chính giữa cung không chứa .