Đề thi học sinh giỏi môn toán 10 tỉnh vĩnh phúc năm 2011 có đáp án

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH VĨNH PHÚC

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)

Đáp án gồm 4 trang

Câu

Nội dung

Điểm

I

4 điểm

1.a (2 điểm)

Đặt . Khi đó hệ phương trình trở thành

1,0

Để hệ có nghiệm thì

1,0

1.b (1 điểm)

Ta có

0,5

Lập bảng biến thiên ta được khi ; khi

0,5

2. (1 điểm)

Đặt , thay vào phương trình ta được

phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi

0,25

. Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là

0,5

Để các nghiệm đều lớn hơn thì . Vậy các giá trị của là

0,25

II

(1,5 điểm)

ĐK , ta thấy từ pt thứ nhất , do đó . Từ đó ta đặt

thay vào hệ ta được

0,5

Đặt (vì ). Thế từ phương trình thứ nhất của hệ trên vào phương trình thứ hai ta được

.

0,5

+) Nếu ta có

+) Nếu vô lí vì

Kết luận nghiệm của hệ là

0,5

III

1 điểm

Do nên bất đẳng thức đã cho tương đương với

0,25

0,25

, bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi

0,5

IV

3,5 điểm

1. (1,5 điểm)

Giả sử tọa độ của . Khi đó .

Theo giả thiết ta có

0,5

0,5

0,25

Vậy ta có hai điểm cần tìm là hoặc

0,25

2. (1 điểm)

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam giác DEF. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.

0,5

Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là

. Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của đỉnh D là . Kiểm tra vị trí tương đối của E, F với hai đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là

. Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là . Mặt khác H là giao của d và d’ nên

0,25

Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm và có vtpt là

0,25

3. (1 điểm)

Gọi M là tiếp điểm của AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có . Gọi là diện tích tam giác ABC, theo công thức Heron ta có . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM ta có

0,5

Tương tự ta có

0,25

Do vậy

0,25