Đề thi học sinh giỏi toán 10 tỉnh vĩnh phúc năm 2010 có đáp án

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Dành cho học sinh THPT không chuyên

————————————

Đáp án gồm 03 trang

Nội dung trình bày

Điểm

+ Nếu x=0 thì y=0, ngược lại nếu y=0 thì x=0, do đó hệ có nghiệm (x,y)=(0,0)

0,5

+ Nếu : Nhân phương trình thứ hai với x rồi cộng với PT thứ nhất ta được:

0,75

• Với thì , thay vào PT thứ nhất, ta được:

, từ đó

0,5

• Với , thay vào PT thứ nhất, ta được: , từ đó .

0,5

Vậy hệ có ba nghiệm

0,25

Xét 2 trường hợp sau:

TH1:

0,5

TH2:

0,5

Giải (1) ta được

0,5

Giải (2) ta được

0,5

Kết hợp nghiệm ta được nghiệm của BPT là:

; hoặc .

0,5

Nội dung trình bày

Điểm

với mỗi thoả mãn thì

Điều này tương đương với

0,25

Hay

0,25

Nếu a=0 thì (1) đúng với mọi

0,25

Nếu : (1) đúng với mọi khi và chỉ khi:

0,5

Vậy các giá trị cần tìm của a là: a =0 hoặc .

0,25

Nội dung trình bày

Điểm

a) (1 điểm).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

0,25

Suy ra

0.25

Mà , tương tự với hai hệ thức còn lại

0.25

Từ đó suy ra

0,25

b) (1,5 điểm).

Ta có , từ suy ra

Sử dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được (1).

0.5

Gọi M là trung điểm của BC thì .

0,25

Theo phần a) thì .

0,25

Do đó (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra . Từ đó (đpcm).

0,25

Nội dung trình bày

Điểm

Từ giả thiết, ta có:

hay

0,25

(1)

0,25

Áp dụng BĐT Svacxơ, ta có

(2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có

(đpcm).

Dấu bằng khi và chỉ khi .

0,25