Chuyên đề tỉ số thể tích khối đa diện hình 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH

GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT

A. CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác

Cho khối chóp tam giác . Mặt phẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại . Khi đó ta có .

Ví dụ 1. Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với đáy. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng và . Tính tỉ số thể tích .

Lời giải

Ta có .

Tương tự .

2. Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại và . Ta có

a) .

b) Đặt . Ta có .

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại . Tính tỷ số .

Lời giải

Ta có

Vậy

Ví dụ 3. Cho khối chóp có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng chứa cạnh và đi qua điểm trên chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số .

Lời giải

Gọi ta có nên .

Ta có

Khi đó .

Ví dụ 4. Cho hình chóp có thể tích bằng , đáy là hình vuông; và hợp với đáy một góc bằng . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với , cắt các cạnh lần lượt tại . Tính thể tích khối chóp .

Lời giải

Ta có . Tương tự nên .

Mà ( do vuông tại ) nên

Ví dụ 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành; điểm I nằm trên sao cho . Mặt phẳng chứa cạnh cắt cạnh lần lượt tại . Gọi lần lượt là thể tích khối chóp và . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích .

Lời giải

Đặt . Ta có .

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 6. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua , trung điểm của và cắt các cạnh và lần lượt tại và Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số .

Lời giải

Đặt .Ta có

Nên . Từ đó

Từ vì

Xét

Ta có .

Vậy đạt GTNN, GTLN lần lượt là .

3. Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

Cho lăng trụ có các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Khi đó .

Đặc biệt: .

Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ , có lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Đặt là thể tích của khối đa diện, là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số .

Lời giải

Ta có

Đặt . Suy ra

Ví dụ 8. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng , các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Đặt là thể tích của khối đa diện , tính giá trị của để .

Lời giải

Ta có

Suy ra

Ví dụ 9. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng , các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Thể tích của khối đa diện .

Lời giải

Ta có

Nên

Mà .

Vậy

Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác.

Ví dụ 10. Cho lăng trụ có lần lượt là trọng tâm của các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại .

Chứng minh .

Chứng minh

Đặt ;

Dễ thấy .

Ta có . Tương tự ta có

Cộng vế với vế cả 3 đẳng thức trên ta được

Mà nên . Ta được điều phải chứng minh.

Từ kết quả trên ta có

Nhận xét. Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết cắt tại vị trí điểm xác định là ta đã biết chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi.

4. Tính chất 4: Tỉ số thể tích khối hộp

Cho hình hộp . Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại sao cho . Khi đó ta có:

a)

b).

Chứng minh

a. Dễ thấy tứ giác là hình bình hành. Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành và hình vuông . Ta có là đường trung bình của hình thang nên . Tương tự , do đó

b. Áp dụng Tính chất 3 ta có

tương tự

Do đó,

Chú ý :

Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tính chất 3. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình hộp là chia bốn.

Và cũng chỉ cần biết cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối tạo thành do cắt hình hộp. Tuy nhiên, Tính chất 4 cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở hai cạnh bên đối diện của hình hộp mà cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối.

Ví dụ 11. Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Biết ; và . Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn.

Lời giải

cắt tại . Từ giải thiết ta có .

Do đó

Vậy .

Ví dụ 12. Cho hình lập phương có là trung điểm Mặt phẳng đi qua , cắt các cạnh lần lượt tại ; chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng và . Tính tỉ số .

Lời giải

Từ giải thiết ta có . Nên .

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối chóp đáy là hình vuông cạnh ; . Gọi lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng cắt tại . Đặt , giá trị của bằng

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành; lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và Tỷ số bằng

A. B. C. D.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chứa và song song với lần lượt cắt các cạnh bên và tại và . Tỷ số bằng

A. B. C. D.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng chứa cắt các cạnh và lần lượt tại và . Gọi và lần lượt là thể tích của khối chóp và . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng

A. B. C. D.

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng thay đổi luôn chứa , cắt các cạnh và lần lượt tại và Biết thể tích của khối chóp bằng , khi đó giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp bằng

A. B. C. D.

Câu 6: Cho khối chóp có là trọng tâm tam giác . Đường thẳng đi qua , cắt các cạnh lần lượt tại và Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng

A. B. C. D.

Câu 7: Cho chóp . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm . Gọi là trọng tâm tam giác và cắt tại . Khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 8: Cho khối lăng trụ . Gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh và . Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Đặt là thể tích của khối chóp và là thể tích của khối đa diện . Tỷ số bằng

A. B. C. D.

Câu 9: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Thể tích của khối đa diện bằng

A. B. C. D.

Câu 10: Cho khối lăng trụ đều . Gọi là trung điểm của . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh có thể tích bằng và phần còn lại có thể tích bằng . Tỉ số bằng

A. B. C. D.

Câu 11: Cho hình hộp . Trên các cạnh lần lượt lấy ba điểm sao cho . Biết mặt phẳng cắt cạnh tại. Tỉ số bằng

A. B. C. D.

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật . Trên các cạnh lần lượt lấy ba điểm sao cho . Mặt phẳng cắt cạnh tại điểm. Tỉ số thể tích của khối và khối bằng

A. B. C. D.

Câu 13: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Mặt phẳng cắt các cạnh và lần lượt tại . Biết . Thể tích của khối đa diện bằng

A. . B. . C. . D.

Câu 14: Cho khối lập phương . Mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số bằng

A. B. C. D.

BẢNG ĐÁP ÁN

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Cho khối chóp đáy là hình vuông cạnh .. Gọi lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng cắt tại . Đặt , giá trị của bằng.

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và Ttỷ số bằng.

A. B. C. D.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chứa và song song với lần lượt cắt các cạnh bên và tại và . Tỷ số bằng.

A. B. C. D.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng chứa cạnh cắt các cạnh và lần lượt tại và . Gọi và lần lượt là thể tích của khối chóp và . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng.

A. B. C. D.

Câu 5: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Thể tích của khối đa diện bằng.

A. B. C. D.