Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Cho điểm và một đường thẳng . Trong gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó khoảng cách được gọi là khoảng cách từ điểm đến .

Nhận xét:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và :

- Nếu và cắt nhau hoặc trùng nhau thì .

- Nếu và song song với nhau thì

3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho mặt phẳng và một điểm , gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách được gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.

Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .

.

- Nếu cắt hoặc nằm trong thì .

5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

.

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng chéo nhau . Độ dài đoạn vuông góc chung của và được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

B – BÀI TẬP

Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (α) chứa đường này và (α) vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (α) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (α)

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

• Đáp án A: Đúng

• Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

• Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

• Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

Chọn đáp án D.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG .

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định được hình chiếu của điểm trên đường thẳng , rồi xem là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm thường được dựng theo hai cách sau:

 Trong vẽ

 Dựng mặt phẳng qua và vuông góc với tại

.

Hai công thức sau thường được dùng để tính

 vuông tại và có đường cao thì .

 là đường cao của thì .

Câu 1: Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và Diện tích tam giác bằng . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Kẻ vuông góc với

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH

Dựa vào tam giác vuông ta có

Câu 2: Cho hình chóp trong đó đôi một vuông góc và Khoảng cách giữa hai điểm nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

A. B. C. 2. D.

Hướng dẫn giải:

Do nên

Như vậy

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình chóp có cạnh là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do đều cạnh nên đường cao

Chọn đáp án C.

Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác đều cạnh . Trên tia vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . Khoảng cách từ đến bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

• Gọi là trung điểm của ; là hình chiếu vuông góc của trên

• Ta có và nên

Mà , do đó .

Vậy

•

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho tứ diện trong đó, , vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

+ Dựng .

+ , cắt cùng nằm trong .

.

Xét trong vuông tại có là đường cao ta có:

.

+ Ta dễ chứng minh được vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:

.

Câu 6: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Dựng .

Vì là tam giác đều cạnh và là trung điểm của nên dễ tính được .

Xét vuông tại có là đường cao, ta có:

.

Câu 7: Cho hình chóp đáy là hình chữ nhật. Biết Khoảng cách từ đến bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

nên .

Suy ra Trong kẻ vuông góc tại . Khi đó

.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Hình chóp đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Khoảng cách từ S đến bằng :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là chân đường cao của hình chóp.

Ta có

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

🗹 Khoảng cách từ đến :

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: (Định lý 3 đường vuông góc) .

(vì tam giác BCD đều).

Ta có: .

Câu 11: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh bằng và . Biết . Tính khoảng cách từ đến .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Kẻ , khi đó .

là hình thoi cạnh bằng và đều nên .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 12: Cho hình chóp có , , là hình vuông cạnh bằng . Gọi là tâm của , tính khoảng cách từ đến .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Kẻ , khi đó . Ta có: (g-g) nên .

Mà: , .

Vậy .

Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

, là tâm của hình vuông .

Kẻ , khi đó , .

Ta có: .

Câu 14: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên .

Kẻ , khi đó .

Ta có: .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:

A. cosα B. atan C. sinα D. acotα

Hướng dẫn giải:

•

• Khoảng cách cần tìm là đoạn .

Chọn đáp án C.

Câu 16: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Nối . Kẻ

Suy ra

Xét có

Vậy .

Câu 17: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có

Lại có với là trung điểm mà đều nên

Từ đó ta có

Suy ra

Xét tam giác vuông , ta có

Vậy .

Câu 18: Cho hình chóp trong đó vuông góc với nhau từng đôi một. Biết Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có

Suy ra vuông tại

Kẻ . Ta có

Lại có

.

Câu 19: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Câu 20: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo bằng nhau ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG.

Để tính được khoảng từ điểm đến mặt phẳng thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm trên .

Phương pháp này, chúng tôi chia ra làm 3 trường hợp sau (minh hoạ bằng hình vẽ):

TH 1: A là chân đường cao, tức là .

Bước 1: Dựng

và .

Bước 2: Dựng

TH 2: Dựng đường thẳng AH, .

Lúc đó: .

TH 2: Dựng đường thẳng AH, .

Lúc đó:

 Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:

 Nếu tứ diện có đôi một vuông góc và có đường cao thì

.

Câu 1: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Kẻ .

Ta có: .

Suy ra .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 2: Cho hình chóp có , đáy là hình chữ nhật. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Tải tài liệu này file docx word pdf