120 câu trắc nghiệm hai mặt phẳng vuông góc có đáp án

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Góc giữa hai mặt phẳng

•

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ⇒

Chú ý:

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = . Khi đó: S′ = S.cosϕ

3. Hai mặt phẳng vuông góc

• (P) ⊥ (Q) ⇔

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

4. Tính chất

• •

•

B – BÀI TẬP

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.

B. Cho đường thẳng , mọi mặt phẳng chứa thì .

C. Cho hai đường thẳng chéo nhau và , luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa thì .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

D. Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc cùng vuông góc với đường thẳng thì .

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến . Với mỗi điểm thuộc và mỗi điểm thuộc thì ta có đường thẳng vuông góc với .

D. Nếu hai mặt phẳng và đều vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến của và nếu có sẽ vuông góc với .

Hướng dẫn giải:

Theo Định lí . Chọn D

Câu 7: Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau và gọi .

I. Nếu và thì . II. Nếu thì .

III. Nếu b ⊥ d thì b ⊂ (α) hoặc b ⊂ (β). IV. Nếu (γ) ⊥ d thì (γ) ⊥ (α) và (γ) ⊥ (β).

Các mệnh đề đúng là :

A. I, II và III. B. III và IV. C. II và III. D. I, II và IV.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Câu 8: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau và một điểm không thuộc và . Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với và ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 9: Cho hai mặt phẳng và , là một đường thẳng nằm trên. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu với thì . B. Nếu thì

C. Nếu cắt thì cắt. D. Nếu thì .

Hướng dẫn giải:

Gọi nếu thì . Chọn B.

Câu 10: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và đồng thời . Luôn có mặt phẳng chứa và .

C. Cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa thì .

D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu 11: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và một điểm không thuộc và . Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với và ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Qua dựng đường thẳng vuông cóc với và . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Câu 13: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc cùng vuông góc với đường thẳng thì (α) song song với

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Hướng dẫn giải:

Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng và nằm trong mặt phẳng Mọi mặt phẳng chứa và vuông góc với thì vuông góc với

B. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và mặt phẳng chứa mặt phẳng chứa thì vuông góc với

C. Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mọi mặt phẳng chứa thì vuông góc với

D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hướng dẫn giải:

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau đã cho. Chọn C.

Câu 17: Cho là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Cho. Mọi mặt phẳng chứa đều vuông góc với .

B. Nếu và mặt phẳng chứa ; mặt phẳng chứa b thì .

C. Cho nằm trong mặt phẳng . Mọi mặt phẳng chứa và vuông góc với thì .

D. Cho , mọi mặt phẳng chứa trong đó và thì đều vuông góc với mặt phẳng .

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 18: Cho hai đường thẳng chéo nhau và đồng thời . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. mặt phẳng chứa và đường vuông góc chung của và thì .

B. mặt phẳng chứa và chứa đường thẳng thì .

C. mặt phẳng chứa , chứa thì .

D. mặt phẳng chứa b thì mặt phẳng .

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử là đoạn vuông góc chung của và thì mà

Câu 19: Cho các mệnh đề sau với và là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến và là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu thì hoặc . B. Nếu thì .

C. Nếu và thì . D. Nếu thì hoặc .

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Do , , nên

Câu 20: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Cho hai đường thẳng song song và và đường thẳng sao cho . Mọi mặt phẳng chứa thì đều vuông góc với mặt phẳng .

B. Cho , mọi mặt phẳng chứa thì .

C. Cho , mọi mặt phẳng chứa đều vuông góc với .

D. Cho , nếu và thì .

Hướng dẫn giải:

Câu A sai vì có thể trùng nhau.

Câu C sai vì khi cắt nhau, mặt phẳng không vuông góc với .

Câu D sai vì khi chéo nhau và vuông góc với nhau, ta gọi là mặt phẳng chứa , song song với và là mặt phẳng chứa và song song với thì

Chọn B.

Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề A sai vì có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau nhưng đường thẳng thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.

Mệnh đề B sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng song song.

Mệnh đề C sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc.

Chọn đáp án D

Câu 22: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng không cắt nhau, không song song thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề sai vì còn trường hợp chéo nhau hoặc trùng nhau.

Mênh đề C sai vì còn trường hợp hai đường thẳng chéo nhau.

Mênh đề D sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Chọn B.

Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hướng dẫn giải:

* Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước, chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đó và vuông góc với một đường thẳng cho trước ⇒ “Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước”: SAI

* Có vô số mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, trong trường hợp: đường thẳng cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước ⇒:Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI

* Có vố số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước ⇒”Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI

Chọn D

Câu 24: Cho hình chóp có đường cao . Xét các mệnh đề sau:

(I) .

(II) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

(III) Tam giác là tam giác đều.

(IV) là trực tâm tam giác .

Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận là hình chóp đều?

A. (III) và (IV). B. (II) và (III). C. (I) và (II). D. (IV) và (I).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân đỉnh

B. là hình chóp đều nếu góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng nhau.

C. là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân.

D. là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 26: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.

Chọn D.

Câu 27: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương.

B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

C. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.

D. Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.

Hướng dẫn giải:

Đây là câu hỏi lý thuyết.

Chọn đáp án B

Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B

A sai vì đáy có thể là hình bình hành.

B đúng

C sai vì đáy có thể là hình bình hành

D sai vì đáy có thể là hình bình hành.

Câu 29: Hình hộp là hình hộp gì nếu tứ diện đều.

A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật.

C. Hình hộp thoi. D. Đáp số khác.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Câu 30: Hình hộp trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?

A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

B. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.

C. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.

D. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C

Câu 31: Hình hộp là hình hộp gì nếu tứ diện có các cạnh đối vuông góc.

A. Hình lập phương. B. Hình hộp tam giác.

C. Hình hộp thoi. D. Hình hộp tứ giác.

Hướng dẫn giải:

Ta có suy ra Hình hộp là hình lập phương.

Câu 32: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc nhọn giữa mặt phẳng và mặt phẳng (R) khi mặt phẳng song song với mặt phẳng .

B. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc nhọn giữa mặt phẳng và mặt phẳng khi mặt phẳng song song với mặt phẳng (hoặc ).

C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.

D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

Câu 33: Cho hình chóp tam giác với đường cao . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

A. trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi và chỉ khi các cạnh bên bằng nhau

B. là trung điểm của một cạnh đáy khi hình hộp đó có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.

C. trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác khi các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng nhau.

D. thuộc cạnh đáy thì hình chóp đó có một mặt bên vuông góc với đáy

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Câu 34: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.

B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.

C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Hướng dẫn giải:

Giả sử lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật, khi

đó ta có . Vậy là lăng trụ đứng.

Theo định nghĩa hình chóp đều và hình lăng trụ đều ta có đáp án B, C đúng.

Đáp án D sai.

Câu 35: Chovàlà hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng Gọi là các đường thẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu và thì . B. Nếu thì .

C. Nếu thì hoặc . D. Nếu thì .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm

trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Chọn đáp án A.

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để tính góc giữa hai mặt phẳng và ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và . Khi đó góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai mặt phẳng và .

.

Cách 2. Tìm hai vec tơ có giá lần lượt vuông góc với và khi đó góc giữa hai mặt phẳng và xác định bởi .

Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu , từ đó để tính thì ta cần tính và .

Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau:

a)

 Tìm giao tuyến

 Chọn mặt phẳng

 Tìm các giao tuyến



b)

 Tìm giao tuyến

 Lấy .Dựng hình chiếu của trên

 Dựng .

Phương pháp này có nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến tại một điểm trên giao tuyến.

Câu 1: Cho tứ diện có và . Gọi là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng và là .

B. Góc giữa hai mặt phẳng và là .

C. .

D. .

Hướng dẫn giải:

Tam giác cân tại có trung điểm đáy ⇒ (1)

Tam giác cân tại có trung điểm đáy ⇒ (2)

(1) và (2) ⇒. Vậy A: sai

Chọn A

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thoi tâm cạnh bằng và góc , cạnh và vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác kẻ tại . Tính số đo góc .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có ; .

với là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên .

Vậy chọn đáp án .

Câu 3: Cho tứ diện đều . Góc giữa và bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Đặt . Gọi là trung điểm của .

Tam giác đều cạnh nên và .

Tam giác đều nên và .

Do đó, .

Tam giác có . Chọn A.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng là có đường cao .

Ta có: . Gọi là trung điểm .

Dễ chứng minh được và .

Từ giả thiết suy ra là tam giác đều cạnh có là đường trung tuyến .

.

Câu 5: Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với mặt phẳng , tam giác vuông cân ở và có đường cao . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có .

.

Mặt khác, nên . Chọn D.

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và có góc . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

• đều nên . Mặt khác (1).

• Do (2).

• Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và bằng

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là chân đường vuông góc của xuống mặt phẳng đáy ()

⇒ các hình chiếu: ⇒ là tâm đường tròn

Mà tam giác cân tại (vì ) ⇒ tâm phải nằm trên ⇒

Vậy có nên góc .

Chọn B

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều , có đáy là hình vuông tâm . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng . Gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm . Có  ;

. Do đó

Vậy chọn đáp án .

Câu 9: Cho tam giác vuông tại . Cạnh nằm trong mặt phẳng , cạnh , tạo với một góc . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. tạo với góc . B. tạo với góc .

C. tạo với góc . D. tạo với góc .

Hướng dẫn giải:

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Khi đó, và .

Tam giác vuông tại nên .

Tam giác vuông tại nên .

Chọn C.

Câu 10: Cho hình chóp có và đáy vuông ở . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. .

B. .

C. Vẽ góc là góc giữa hai mặt phẳng và .

D. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: nên đáp án A đúng.

. Nên đáp án B đúng

.

Nên đáp án C đúng.

Ta có: nên đáp án D sai.

Câu 11: Cho tứ diện có và . Gọi là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

B. .

C. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: .

Nên đáp án C sai

Câu 12: Cho hình chóp có và , gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc nào sau đây?

A. Góc . B. Góc . C. Góc . D. Góc .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:

.

Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình vuông và , gọi là tâm hình vuông . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

B. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

C. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: .

Nên đáp án C sai.

Câu 14: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm . Biết , và đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng . Gọi là góc hợp bởi mặt bên với đáy. Khi đó

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là trung điểm của .

Khi đó

.

Ta có: .

.

Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều với . Góc giữa và bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải: C

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Gọi suy ra H là trung điểm AB( vì đều)

và

Tìm góc giữa và

(1)

Ta có

Từ (1) suy ra

Từ đó ta có :

Chọn B

Câu 16: Cho tam giác cân có đường cao , chứa trong mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Biết tam giác vuông tại . Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có .

Do đó: .

Mặt khác, tam giác vuông tại nên .

Ta có .

Chọn D.

Câu 17: Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Ta có của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng :

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì là trung điểm của (vì )

(theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: là góc giữa và

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét vuông tại có: .

Vậy chọn đáp án .

Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm và khoảng cách từ đến bằng . Biết và . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là khoảng cách từ đến

Khi đó và ,

Vậy đáp án D sai.

Câu 19: Cho hình lăng trụ có đáy là hình thoi, . Các cạnh bên vuông góc với đáy và . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật.

B. Góc giữa hai mặt phẳng và có số đo bằng .

C. Hai mặt bên và vuông góc với hai đáy.

D. Hai hai mặt bên và bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: các cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình thoi nên

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật.

Hai mặt bên và vuông góc với hai đáy.

Hai hai mặt bên và bằng nhau.

suy ra đáp án A,C,D đúng.

Mặt khác hai đáy và là các hình thoi nên . Suy ra đáp án B sai.

Câu 20: Cho hình lập phương . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

là góc giữa hai mặt phẳng và là

Ta có

Chọn đáp án A.

Câu 21: Cho hình chópcó đáy là hình vuông có tâm O và . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

B. .

C. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

D. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

. Vậy A đúng

Ta có:

Mà . Vậy B đúng

Ta có:

. Vậy C đúng

Ta có:

. Vậy D sai.

Câu 22: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của khi đó

Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng

Ta có

Trong tam giác có :

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều có. Góc giữa và bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều là . Gọi là trung điểm của ta có (vì tam giác đều) và (vì tam giác đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc .

Ta có : (đường chéo hình vuông), (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc trong tam giác ta có :

Vậy

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và góc . Các cạnh đều bằng . Gọi là góc của hai mặt phẳng và . Giá trị bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do và nên tam giác đều.

Gọi là hình chiếu của lên .

Do nên là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác .

Ta có :.

Mặt khác, ,

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. .

B. Giao tuyến của và song song với .

C. tạo với một góc .

D. tạo với đáy một góc .

Hướng dẫn giải:

+Ta có:

Mà (A đúng)

+

B đúng

+

Ta có:

Suy ra góc giữa và là .

(C sai)

Vậy chọn C.

Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật có ,. Gọi là góc giữa đường chéo và đáy. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Từ giả thiết ta suy ra: là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Câu 27: Cho hình lập phương . Xét mặt phẳng . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng mà .

B. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng mà .

C. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.

D. Góc giữa mặt phẳng và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau. Gọi là diện tích các tam giác này

Lại có .

Vậy chọn đáp án .

Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

+ Vì và hay là hình chiếu vuông góc của lên .

+ Gọi , lần lượt là trung điểm của , .

Vì là tam giác đều cạnh nên dễ tính được : .

Từ giả thiết suy ra là trọng tậm .

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Giả sử hình chóp đã cho là có đường cao .

Ta có: .

Gọi là trung điểm của dễ chứng minh được và .

.

Mặt khác:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại , ta có :

.

Câu 30: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn D.

Giả sử tứ diện đều đã cho là có cạnh .

Ta có: .

Gọi là trung điểm . Khi đó dễ dàng chứng minh được và .

.

Ta dễ tính được: .

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác ta có:

.

Câu 31: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vì nên chân đường cao hạ từ và đến của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau

Do đó

Ta có

Lại có và là trung điểm nên hay vuông tại

Ta có

Chọn đáp án C.

Câu 32: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (vì )

Trong mặt phẳng , kẻ thì ta có

Khi đó

Trong tam giác , kẻ đường cao thì

Mà là trung điểm và nên

Tam giác vuông tại có

Vậy hai mặt phẳng và hợp với nhau một góc .

Câu 33: Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng . Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng và là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Khi đó, .

Trong mặt phẳng , dựng . Vì tam giác đều nên .

Ta có .

Do đó, .

Tam giác vuông tại nên . Chọn D.

Câu 34: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . , . Xác định để hai mặt phẳng và tạo với nhau góc .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

* Trong dựng ta chứng minh được (1)

Trong dựng ta chứng minh được (2)

Từ (1) và (2) ⇒góc

* Ta chứng minh được . Do đó, nếu góc thì đều ⇒

vuông tại có là đường cao ⇒ ⇒ (3)

Và có ⇒ (4)

Ta chứng minh được ⇒ ⇒ (5)

Thế (3)&(5) vào ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Chọn C

Câu 35: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Biết và đường tròn nội tiếp có bán kính bằng Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có và lần lượt vuông góc với

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

Từ đó suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có

Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau và bằng

Câu 36: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Gọi lần lượt

là trung điểm của các cạnh và. Góc giữa hai mặt phẳng và là :

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Góc giữa hai mặt phẳng và là :

Chọn C.

Câu 37: Cho tam giác đều có cạnh bằng và nằm trong mặt phẳng . Trên các đường thẳng vuông góc với tại lần lượt lấy nằm trên cùng một phía đối với sao cho . Góc giữa và bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi .

Ta có: .

Mặt khác, ta có: , .

Gọi là trung điểm , ta có .

Do đó .

Suy ra tam giác cân tại .

Gọi là trung điểm , ta có .

Suy ra

Vậy .

Chọn B.

Câu 38: Cho góc tam diện Sxyz với , , . Trên các tia , , lần lượt lấy các điểm sao cho . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác , ta có

Tam giác vuông cân tại nên  ; tam giác đều nên .

Vì nên tam giác vuông tại

Gọi là trung điểm thì ta có

Mà nên

Vậy

Câu 39: Cho tam giác đều cạnh . Gọi lần lượt là đường thẳng đi qua và vuông góc với . là mặt phẳng qua và hợp với góc . cắt lần lượt tại và . biết đặt . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có: với .

Do đó .

Mặt khác, .

Chọn A.

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Phương pháp:

* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

• Chứng minh

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).

• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có . Trong vẽ các đường cao và cắt nhau ở . Trong vẽ tại . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

* Ta có .

Vậy “”: ĐÚNG.

* .

Vậy “”: ĐÚNG.

* Ta có .

Vậy “”: ĐÚNG.

* “”: SAI

Chọn C

Câu 2: Cho tứ diện có hai mặt phẳng và cùng vuông góc với . Gọi và là hai đường cao của tam giác , là đường cao của tam giác . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có: .

Mặt khác: nên câu A đúng.

nên câu C đúng.

Theo trên ta có nên .

Vậy ta có . Do đó câu D đúng.

Chọn B.

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật . Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Tồn tại điểm cách đều tám đỉnh của hình hộp.

B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

C. Hai mặt và vuông góc nhau.

D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với đáy . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: . Do đó câu và đúng

Sai. vì nếu thì hai mặt phẳng và phải vuông góc với nhau theo giao tuyến

Ta có: theo giao tuyến

Mà là đường cao của . Vậy đúng

Vậy chọn đáp án .

Câu 5: Cho hình lăng trụ . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trực tâm của tam giác . Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. là hình chữ nhật. B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có nên,nếu thì vô lý vì trùng.

Chọn D.

Câu 6: Cho hình chóp có và đáy là tam giác cân ở . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. trùng với trọng tâm tam giác .

C. . D. ( là trung điểm của ).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi là trung điểm của mà .

Khi đó là hình chiếu vuông góc của lên . Suy ra .

Câu 7: Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với đáy . Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. Nếu là hình chiếu vuông góc của lên thì .

C. .

D. là đường cao của tam giác thì .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên ,

khi đó .

Suy ra đáp án B sai

Câu 8: Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với đáy , tam giác vuông cân ở và có đường cao . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. Góc giữa và là góc .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: .

Gọi là trung điểm của

mà .

Khi đó là hình chiếu vuông góc

của lên

Thì suy ra và .

Vậy đáp án B đúng.

Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân ở . là trung điểm . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Các mặt bên của là các hình chữ nhật bằng nhau.

B. là mặt phẳng trung trực của .

C. Nếu là hình chiếu vuông góc của lên thì .

D. Hai mặt phẳng và vuông góc nhau.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì là tam giác vuông cân ở

nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau.

Vậy đáp án A sai.

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật . Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Hình hộp có mặt là hình chữ nhật.

B. Hai mặt và vuông góc nhau.

C. Tồn tại điểm cách đều tám đỉnh của hình hộp.

D. Hình hộp có đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: là hình chữ nhật nên không vuông góc với

Suy ra hai mặt và không vuông góc với nhau.

Vậy đáp án B sai.

Câu 11: Cho hình lập phương . Mặt phẳng không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

* Gọi .

Tam giác đều có là đường trung tuyến nên .

.

nên A đúng.

* Ta có nên B đúng.

* Gọi .

Tam giác đều có là đường trung tuyến nên .

.

nên C đúng. Chọn D.

Câu 12: Cho hình lập phương có cạnh bằng. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tam giác là tam giác đều.

B. Nếu là góc giữa và thì .

C. là hình chữ nhật có diện tích bằng .

D. Hai mặt và ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra là đáp án sai.

Từ giả thiết dễ dàng tính được .

Mặt khác vì là hình lập phương nên suy ra .

Xét tứ giác có là hình chữ nhật có các cạnh và .

Diện tích hình chữ nhật là : (đvdt)

đáp án sai.

+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án , , đều đúng và suy ra đáp án sai.

Câu 13: Cho hình chóp có đường cao. Xét các mệnh đề sau:

I) .

II) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

III) Tam giác là tam giác đều.

IV) là trực tâm tam giác .

Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận là hình chóp đều?

A. và . B. và . C. và . D. và .

Hướng dẫn giải:.

Chọn A.

Câu 14: Cho hình lập phương cạnh bằng . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai mặt và vuông góc nhau.

B. Bốn đường chéo, , , bằng nhau và bằng .

C. Hai mặt và là hai hình vuông bằng nhau.

D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

Vì theo giả thiết ta dễ dàng chỉ ra được:

+ và cắt cùng nằm trong . Mà đáp án đúng.

+ đáp án đúng.

+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

. Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng đáp án đúng.

+ Xét tứ giác có là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra cũng là hình chữ nhật có các cạnh là và .

Hai mặt và là hai hình vuông bằng nhau đáp án sai.

Câu 15: Cho hình lăng trụ . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trực tâm của tam giác . Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. . B. .

C. là hình chữ nhật. D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

nên đáp án B,C,D đúng.

Câu 16: Hình hộp trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?

A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.

D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.

Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa hai mặt phẳng và có số đo bằng. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Ta có: .

Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: mà . Mặt khác: .

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Câu 18: Cho hai mặt phẳng vuông góc và có giao tuyến . Lấy , cùng thuộc và lấy trên (P), trên (Q) sao cho , và . Thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua và vuông góc với là hình gì?

A. Tam giác cân. B. Hình vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . Vì tam giác vuông cân tại nên .

Ta có .

.

Trong , dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt tại .

Thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng là tam giác .

Vì nên tam giác là tam giác vuông tại .

Chọn D.

Câu 19: Cho hai tam giác và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và . với giá trị nào của thì hai mặt phẳng và vuông góc.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

vuông cân tại

( Với là trung điểm ; là trung điểm )

Vậy chọn đáp án .

DẠNG 3: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU, CHU VI VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật có , , . Độ dài đường chéo là

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật

Chọn A

Câu 2: Cho hình hộp có , , . Nếu thì hình hộp là

A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật C. Hình hộp thoi. D. Hình hộp đứng.

Hướng dẫn giải:

⇒hình bình hành là hình chữ nhật

⇒hình bình hành là hình chữ nhật

⇒hình bình hành là hình chữ nhật

Chọn B

Câu 3: Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó hai điểm và sao cho . Gọi là một điểm trên , là một điểm trên sao cho , cùng vuông góc với giao tuyến và , . Độ dài là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Tam giác vuông tại nên .

Ta có .

Tam giác vuông tại nên .

Chọn D.

Câu 4: Cho ba tia, , vuông góc nhau từng đôi một. Trên , , lần lượt lấy các điểm, , sao cho. Khẳng định nào sau đây sai?

A. là hình chóp đều.

B. Tam giác có diện tích .

C. Tam giác có chu vi .

D. Ba mặt phẳng , , vuông góc với nhau từng đôi một.

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Hoàn toàn tương tự ta tính được .

là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân tại là hình chóp đều đáp án đúng.

+ Chu vi là: đáp án sai.

+ Nửa chu vi Diện tích là: . Diện tích là:

(đvdt).

đáp án đúng.

+ Dễ chứng minh được , .

đáp án đúng.

Câu 5: Cho hình thoi có cạnh bằng và. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại ( là tâm của ), lấy điểm sao cho tam giác là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là hình chóp đều.

B. Hình chóp có các mặt bên là các tam giác cân.

C. .

D. và hợp với mặt phẳng những góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải:.

Chọn C.

Xét có , là tam giác đều cạnh . Vì là tâm của nên suy ra là đường trung tuyến trong đều cạnh nên dễ tính được .

Mặt khác theo giả thiết là tam giác đều .

Câu 6: Cho hình chóp cụt đều với đáy lớn có cạnh bằng . Đáy nhỏ có cạnh bằng , chiều cao . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba đường cao, , đồng qui tại.

B. .

C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc ( là trung điểm).

D. Đáy lớn có diện tích gấp lần diện tích đáy nhỏ .

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

+ Đáp án đúng.
+ Gọi là trung điểm của .

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được . Mặt khác là tam giác đều cạnh , có là đường trung tuyến .

Áp dụng định lý Pytago trong vuông tại ta có:

. Vì là hình chóp cụt đều nên đáp án sai.

+ Ta có: . Vì cân tại và là trung điểm của nên suy ra . Mặt khác là tam giác đều có là trung điểm của .

đáp án đúng.

+ Ta có: đáp án đúng.

Câu 7: Cho hình chóp cụt tứ giác đều cạnh của đáy nhỏ bằng và cạnh của đáy lớn bằng . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng. Tính chiều cao của hình chóp cụt đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn A.

Ta có là hình chiếu vuông góc của lên .

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được .

Vì là tam giác vuông cân tại có là đường cao nên ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:

.

Câu 8: Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh bên bằng và là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Tổng số đo các góc của hình lục giác là . Vì là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều là . Vì là hình lục giác đều nên ta suy ra:

+ là tia phân giác của góc và .

+ Tam giác vuông tại .

Xét tam giác vuông tại có và ta suy ra:

Câu 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có là hình vuông, cạnh bằng. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn A.

Từ giả thiết ta sauy ra vuông cân tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông cân tại có và cạnh , ta có:

.

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng. Gọi và lần lượt là trọng tâm của hai đáy và . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về?

A. là hình chữ nhật có hai kích thước là và.

B. là hình vuông có cạnh bằng .

C. là hình chữ nhật có diện tích bằng .

D. là hình vuông có diện tích bằng.

Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Gọi là trung điểm . Khi đó ta dễ dàng tính được : .

Vì là trọng tâm tam giác nên: .

là hình vuông có cạnh bằng .

Câu 11: Cho hai tam giác và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và , . Tính theo và ?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . Vì tam giác cân tại và tam giác cân tại nên , .

Ta có .

.

Tam giác vuông tại nên . Chọn C.

Câu 12: Cho hai tam giác và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và , . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính theo và ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Ta có: . Vậy tam giác vuông tại

Ta có: .

Do đó tam giác vuông cân tại . Suy ra

Chọn C.

Câu 13: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng. Tính độ dài đường cao.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn A.

Ta có: . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và .

Dễ chứng minh được và .

.

Ta dễ tính được: . Vì là chân đường cao của hình chóp đều nên trùng với trọng tâm của tam giác .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có :

.

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng có, , . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Đáy là tam giác vuông.

B. Hai mặt và vuông góc nhau.

C. Góc giữa hai mặt phẳng và có số đo bằng .

D. .

Hướng dẫn giải:.

Chọn D.

+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra là đáp án sai.

Từ giả thiết dễ dàng suy ra .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

đáp án sai.

+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án , , đều đúng

suy ra đáp án sai.

Câu 15: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thoi tâm cạnh bằng và góc , cạnh và vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác kẻ tại . Tính độ dài được

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Tam giác đồng dạng tam giác ⇒ ⇒

và đều cạnh ⇒ ⇒

vuông tại ⇒ = =

Vậy

Chọn A

Câu 16: Cho tam giác và mặt phẳng Biết góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . Hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng là tam giác Tìm hệ thức liên hệ giữa diện tích tam giác và diện tích tam giác

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Qua B kẻ mặt phẳng cắt lần lượt tại khi đó

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc giữa mặt phẳng và và bằng

Kẻ

Vậy

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Cho mặt phẳng và đường thẳng không vuông góc với .Xác định mặt phẳng chứa và vuông góc với

.

Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:

• Chọn một điểm
• Dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với . Khi đó chính là mặt phẳng .

Câu 1: Cho hình chóp , đáy là hình vuông, . Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với , cắt chóp theo thiết diện là hình gì?

A. hình bình hành. B. hình thang vuông.

C. hình thang không vuông. D. hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Dựng

Ta có .

Suy ra

mà suy ra

Do đó

Vì nên .

Từ đó thiết diện là hình thang .

Mặt khác nên

Vậy thiết diện là hình thang vuông tại và .

Chọn đáp án B.

Ta có , mà . Chon A

Câu 2: Cho hình chóp với là hình chữ nhật tâm có vuông góc với đáy và . Gọilà mặt phẳng qua và vuông góc với Diện tích thiết diện của và hình chóp bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là đoạn thẳng qua vuông góc ( thuộc ) ta có nên là thiết diện cần tìm.

vuông tại nên .

Chọn B.

Câu 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc và có giao tuyến . Lấy , cùng thuộc và lấy trên , trên sao cho , và . Diện tích thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua và vuông góc với là?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

Gọi là trung điểm , ta có

Trong mặt phẳng , kẻ thì ta có

Khi đó mặt phẳng cắt tứ diện theo thiết diện là tam giác

Mặt khác tam giác vuông cân tại nên .

Trong tam giác vuông , kẻ đường cao thì và

Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác vuông tại và có diện tích

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại, với,, cạnh bên . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với .Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng có hình:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Từ ta dựng , Vì nên .

Mặt khác trong mặt phẳng dựng và cắt tại 1 điểm (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm ).

Từ và ta có :

Chọn đáp án

Câu 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của . Thiết diện là hình gì?

A. Hình vuông. B. Lục giác đều.

C. Ngũ giác đều. D. Tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Ta có là hình chiếu của lên .

mà nên

Ta có

Lại có suy ra

Từ và suy ra

Mặt phẳng trung trực là mặt phẳng đi qua trung điểm của và

Từ và suy ra

Do đó

Qua dựng

Dựng

Mà

Suy ra thiết diện là lục giác đều.

Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của Diện tích thiết diện là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có mặt phẳng trung trực của cắt hình lập phương theo thiết diện là lục giác đều cạnh

Khi đó