Phương pháp giải min max số phức có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.

Một số tính chất cần nhớ.

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức thỏa mãn , tìm . Khi đó ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm . Ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1:

• Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi

• Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm . Ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Chia hai vế cho )

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Hay viết gọn (Chia cả hai vế cho )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip:

TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Thỏa mãn .

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).

Ta có

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.

Xem hướng dẫn trên lớp.

Dạng 3: Tả phí lù.

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1: Phương pháp tự luận

Giả sử

Suy ra khi

Vậy

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm

Giả sử

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện là đường thẳng .

Phương án A: có điểm biểu diễn nên loại A.

Phương án B: có điểm biểu diễn nên loại B.

Phương án D: có điểm biểu diễn nên loại B.

Phương án C: có điểm biểu diễn

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Cách 3: Tính nhanh.

Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là đường thẳng có phương trình .

Vậy

Cách 4: Công thức tính nhanh.

BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm ?

BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm ?

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1 : Đại số

Gọi với .

Ta có .

Do đó .

Mà .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

.

Do đó .

Vậy .

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là elip

Do vậy

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức thỏa mãn ta luôn có .

• • Tập hợp điểm biểu diễn là Elip

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Gọi ta có .

Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính .

Ta có .

Gọi và thì .

Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn.

Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên .

Tính độ dài ta lấy kết quả .

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của

Ta có (Đường tròn tâm )

Vậy

Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là đường tròn ) và

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Cách 1: Đặt Có (do )

Ta chứng minh .

Thật vậy ta có

Dấu “=” xảy ra khi .

Vậy .

Cách 2 : Trắc nghiệm

Chọn

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có: Khi

Chọn đáp án C.

Cách 2:

Theo bài

Hướng dẫn giải

Ta có: , khi

Mặt khác: khi

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là, xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra khi

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi . Ta có: .

Đặt

Chọn đáp án A.

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức

Ta có (đáp án A)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi . Ta có:

Ta có: .

Xét hàm số Hàm số liên tục trên và với ta có:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Cách 2: (Casio)

Từ , đặt Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

Hướng dẫn giải

Gọi . Ta có:

Đặt , ta có

Ta có

Suy ra .

Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức ta được

Vậy, nhỏ nhất là khi và lớn nhất là khi

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi . Ta có:

Đặt .

Lúc đó:

đạt được khi

Chọn đáp án A.

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức

Ta có

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi .

Ta có: Đặt .

Lúc đó:

đạt được khi

Chọn đáp án B.

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức

Ta có

Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được

Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi .

Ta có:

Ta có:

khi

Chọn đáp án C.

Cách 2:

Trong đó (quay về dạng bài toán 1)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi . Ta có: .

Đặt

, khi

Chọn đáp án C.

Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)

Ta có

Hướng dẫn giải

Gọi . Ta có: : tâm và

Mặt khác:

Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên và có điểm chung

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Cách 1: Gọi , .

Ta có:

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính .

, với là tâm đường tròn, là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với đường tròn (C).

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất

Ta có

Hướng dẫn giải

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Ta có : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trục .

Để ngắn nhất khi tại => Đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi

Ta có:

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm bán kính

Dễ thấy ,

Theo đề ta có:

là điểm biểu diễn cho số

phức thỏa mãn:

Suy ra đạt giá trị lớn nhất lớn nhất

Mà nên lớn nhất khi là đường kính đường tròn

là trung điểm

Hướng dẫn giải

Chọn B

.

Đặt . Ta có và .

Đặt . Khi đó .

Vậy .

Lời giải

Cách 1: Đặt , ta có

Đặt (vì ). Khi đó

xét biểu thức

Ta có

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được

Vậy Chọn A.

Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của

Ta có

Lời giải

Cách 1: Đặt , khi đó và .

Nên ta có

Khi đó .

Dễ thấy Chọn A.

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

Hướng dẫn giải.

Gọi , . Theo giả thiết, ta có

Gọi , và .

Khi đó nên tập hợp các

điểm là đường elip .

Ta có ; và .

Do đó, phương trình chính tắc của là .

Vậy và . Chọn D.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Gọi , . Ta có

.

Do đó .

Dấu xảy ra . Vậy . Chọn B.

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Hướng dẫn giải.

Ta có .

Vì nên . Chọn B.

Hướng dẫn giải.

Ta có .

Vì nên . Chọn D.

Lời giải

Từ giả thiết, ta có

. Mà

Đặt , khi đó

Vậy môđun của Chọn A.

Lời giải

✪ Bổ đề. Cho hai số phức và , ta luôn có .

Chứng minh. Sử dụng công thức và . Khi đó

✪ Áp dụng , ta được

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được Chọn B.

Lời giải

✪ Bổ đề. Cho hai số phức và , ta luôn có .

Chứng minh. Sử dụng công thức và . Khi đó

✪ Áp dụng , ta được

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được Chọn B.

Lời giải

Ta có .

Khi đó, giả thiết

TH1. Với , ta có

TH2. Với , đặt , ta có

Do đó . Chọn A.

Lời giải

Ta có

Khi đó .

Vậy Chọn C.

Lời giải

Cách 1. Từ giả thiết, ta có

Lấy môđun hai vế của , ta được

Đặt , ta có

Vậy môđun của số phức bằng

Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm

Cách 3. Đặt và , thay vào đẳng thức đã cho thì

Suy ra nên

Giải ra ta có mà nên hay . Do đó Chọn B.

Lời giải

Gọi và

Dễ thấy vì cùng vuông góc với nên để là hình chữ nhật.

Khi và chỉ khi

Ta có Chọn C.

Lời giải

Đặt , ta có

Lại có

Kết hợp với , ta được

Đặt , khi đó với

Ta có . Chọn B.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt , ta có:

Lại có:

Kết hợp với , ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

Vậy .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

.

Từ giả thiết: vì .

.

Vậy

Lời giải

Chọn D.

Gọi là điểm biểu diễn của .

Gọi , . Gọi là trung điểm .

Suy ra tập hợp các điểm là đường tròn tâm bán kính .

Ta lại có : .

Do đó :

.

Bài tương tự

Lời giải

Chọn D.

Đặt

.

Nên

Ta lại có

. Suy ra .

Dấu xảy ra khi .

Vậy .

Lời giải

Chọn A.

Giả sử

Ta có .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm là gốc tọa độ , bán kính .

Ta có

Vì nên điểm thuộc đường tròn .

Gọi là điểm thuộc , khi đó .

Suy ra lớn nhất lớn nhất là đường kính của

Vậy .

Lời giải

Chọn D.

HD: Cách 1. Ta có:

y

O

x

và

Chú ý:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm O

bán kính .

Gọi

Ta có: đều

Mà với M là điểm thỏa

mãn là hình thoi cạnh 1.

Cách 2. Đặt , ta có và .

Khi đó:

Sử dụng công thức . Chọn D.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Phương pháp hình học)

Đặt số phức , có điểm biểu diễn hình học là .

Ta có .

Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính .

Ta có , với .

Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy: .

Vậy ta suy ra .

Cách 2: (Phương pháp đại số)

Công cụ cơ bản: , với mọi số phức , . Áp dụng, ta có:





Vậy ta có .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là điểm biểu diễn số phức , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác vuông cân tại và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của .

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác , đặt , , , khi đó ta có

Chứng minh: dùng bài toán kinh điển

Đặt khi đó

và từ đó sử dụng suy ra hệ thức .

Áp dụng bài toán trên ta có , chọn B.

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng ngôn ngữ số phức.

Gọi tọa độ các điểm trên mặt phẳng phức là khi đó , , , , , . Khi đó bất đẳng thức tương đương

Mặt khác :

Mà nên suy ra .

Lời giải

Chọn B.

Gọi điểm biểu diễn của là . Khi đó nằm trên đường tròn tâm Gọi tọa độ các điểm do đó:

Gọi khi đó ta có: Vậy và là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: .

Vậy .

Theo bất đẳng thức tam giác:

Vậy

Lời giải

Chọn B.

Vì hai số phức và thoả mãn và nên .

Gọi , lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức và khi đó từ suy ra nằm trên đường tròn có tâm , bán kính và là đường kính của đường tròn .

Như vậy .

Ta có .

Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi .

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Điểm biểu diễn thuộc đường tròn tâm , .

Gọi , là điểm biểu diễn , nên là đường kính. Dựng hình bình hành ta có .

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi .

Lời giải

Chọn B.

Đặt có biểu diễn hình học là điểm

Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng .

Ta có:

với .

Mà ta có

Nên

.

Lời giải

Chọn C.

Gọi là điểm biểu diễn số phức .

Do suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính .

Đặt là trung điểm của . Khi đó .

Do nằm ngoài đường tròn, nên .

Cách 2 :

=.

Suy ra tọa độ điểm thỏa mãn

Hệ có nghiệm khi .

Lời giải:

Chọn D.

Cách 1:

Gọi số phức với .

Ta có . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và bán kính .

Ta có , .

Đường thẳng có phương trình .

cắt tại 2 điểm phân biệt có tọa độ là nghiệm của hệ .

Ta có nên ,.

Khi đó .

Cách 2:

Gọi số phức với .

Ta có . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và bán kính .

Ta có: , .

Cách 3:

Gọi số phức với .

Ta có . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và bán kính .

Ta có , ,

CÂU PHÁT TRIỂN

Lời giải:

Chọn C.

Gọi số phức với , khi đó .

Ta có: .

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: .

Khi đó ta có bất phương trình .

Do đó

Lời giải:

Chọn B.

Gọi (với ) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có

(1).

Số phức có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Đặt , từ (1) ta có .

Mặt khác nên thuộc đoạn . Khi đó , .

Vậy .

Nhận xét:

• GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu .
• Một sai lầm thường gặp là đánh giá nhưng do góc là góc tù nên không tồn tại điểm trên đoạn sao cho .

Lờigiải

Chọn B.

Cách 1: Giả sử ta có

Ta có

Ta có

Suy ra suy ra do đó ta được vậy .

Cách 2: Gọi với .

Ta có: . Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên hệ tọa độ là đường tròn tâm và bán kính .

Lại có: , đây là phương trình của đường thẳng .

Ta thấy .

Điều kiện để cắt là: .

Suy ra: và .

Cách 3:

Gọi với .

Ta có suy ra .

Từ .

Ta có .

. Suy ra .

Thay vừa tìm được vào ta được .

Ta giải được hoặc . Đây tương ứng là GTLN và GTNN của .

Vậy . Khi đó, .

Lời giải

Chọn A .

Theo giả thiết

.

Ta có

Xét điểm ; và . Khi đó, .

Bài toán trở thành tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì nên hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng .

Gọi là điểm đối xứng với qua

Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT nên có phương trình

Gọi là giao điểm của và . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình suy ra

đối xứng với qua nên .

Ta có .

Dấu bằng xảy ra là giao điểm của và đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT có phương trình

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Vậy .

Lời giải.

Chọn D .

Giả sử ta có suy ra tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.

Giả sử lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có .

Giả sử và là điểm biểu diễn cho số phức, ta cósuy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn tâm bán kính .

Ta có , gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục tung, ta thấy nhỏ nhất khi là trung điểm suy ra , vậy

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi

Ta có:

(*)

Theo bài ra:

Thay (*) vào ta được:

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được

Vậy .

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Điểm biểu diễn thuộc đường tròn tâm , .

Gọi , là điểm biểu diễn , nên là đường kính. Dựng hình bình hành ta có .

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi .

Lời giải

Chọn B

Gọi với .

Ta có: . Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên hệ tọa độ là đường tròn tâm và bán kính .

Gọi , và là trung điểm của .

Đặt suy ra . (BĐT Bunhiacopxki).

Phương trình đường trung trực của là: .

Ta có: với là trung điểm của .

Vì chạy trên đường tròn , cố định nên

Do vậy nên

Dấu « = » xảy ra khi và ba điểm thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ .

Do đó: , tọa độ của là nghiệm hệ:

Mặt khác :

và .

Vậy để thì Suy ra .

Lời giải

Chọn D.

Gọi và là điểm biểu diễn số phức .

Theo giả thiết .

Suy ra

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là đường tròn có tâm bán kính .

Đường có phương trình cắt đường tròn tại hai điểm , . Do nên điểm biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

Từ giả thiết có với và .

Ta có

Xét , với .

;

Bảng biến thiên:

Suy ra , đạt được khi , .

Vậy .

Cách 2:

Ta có . Vì nên , .

Khi đó

với .

Đặt , .

Bảng biến thiên:

.

Khi đó: .

Vậy .

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Lời giải

Chọn D.

Cách 1.

+ Đặt , , ta có

+ Sử dụng công thức: ta có

Suy ra .

Cách 2.

+ Biến đổi:

Ta có .

+ Sử dụng công thức bình phương mô đun

Trong đó là góc với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức

.

Vậy .

Lời giải

Chọn B.

Đặt , ta có

(*)

Lại có

Kết hợp với (*), ta được

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có

.

Lời giải

Chọn C.

Lời giải

Chọn B.

Đặt có biểu diễn hình học là điểm

Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng .

Ta có:

với .

Mà ta có

Nên

.

Lời giải

Chọn A.

Gọi , .

Ta có

.

Lại có

.

Mặt khác

Suy ra .

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

Mô đun của số phức là:

Số phức

Lời giải

Chọn C.

Gọi số phức có dạng . thỏa mãn

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Dấu xảy ra

Lời giải

Chọn C

Đặt . Khi đó

.

Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .

.

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .

Từ giả thiết :

vớilà trung điểm của đoạn thẳng.

.

Ta có

. Vậy

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .

Từ giả thiết : với là trung điểm của đoạn thẳng.

.

Ta có

Vậy

.

Vậy .

Suy ra

Lời giải

Chọn C.

Ta gọi là điểm biểu diễn số phức.

. Suy ra

Khi đó:

,

với

Ta có: suy ra .

Theo định lý Stewart ta có:

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

Suy ra:

)

Vậy

Lời giải

Giả sử . Ta có

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

Ta tìm Max – Min của

Ta có thuộc đường tròn và đều .

Gọi thuộc cung . Ta có

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm

Suy ra .

Mặt khác

.

Mà .

Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi .

Lời giải

Chọn A

Áp dụng tính chất:

Ta có:

.

Lời giải

Chọn B.

+) Gọi .

Nên .

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là Parabol .

+) Gọi .

Khi đó

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bamns kính .

nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.

Ta có: .

Nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Ta có: .

.

Do đó .

Vậy .

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Đặt với () theo đề bài ta có (*). Ta cần tìm GTLN của

Đặt . Ta có: .

Mà (**) nên

Kết hợp với suy ra

Suy ra

Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi . Kết hợp (*) ta được

Vậy giá trị lớn nhất của bằng .

Lời giải.

Chọn A

Ta có .

Suy ra điểm biểu diễn số phức nằm trên đường tròn có tâm và có bán kính là .

Mặt khác, nên điểm biểu diễn số phức là điểm nằm trên đường tròn có tâm và có bán kính là .

Ta thấy .

lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất, khi đó bốn điểm , , , theo thứ tự thẳng hàng.

Vậy giá trị lớn nhất của .

Lời giải

Chọn C.

Cách 1 :

Giả sử , .

(1)

.

Suy ra .

.

Từ (1) ta có , bán kính . Gọi là hình chiếu của trên .

Đường thẳng có PTTS .

,

,

Vậy .

Cách 2 :

điều này cho thấy đang nằm trên hình tròn tâm bán kính bằng 1.

điều này cho thấy đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng là trung trực của đoạn với

(Minh hoạ như hình vẽ)

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Khi đó:

.

Đặt .

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có .

Dấu bằng xảy ra khi .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

.

Mặt khác: .

Suy ra: . Đặt ta được:

.

Vậy .

Lời giải

Chọn B.

Ta có .

.

Đặt ta có .

Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với ta được ; Vậy .

Lời giải

Chọn A.

Giả sử lần lượt biểu diễn số phức .

Từ giả thiết ta có: .

Nênthuộc đường tròn tâm.

Ta có .

Để thì trùng nên .

Để thì và nên và nằm chính giữa cung nhỏ và . Do vậy

.

Vậy .

Lời giải

Chọn B.

Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của với .

Ta có

.

Do đó, thuộc nửa mặt phẳng bờ không chứa , kể cả bờ.

Ta có suy ra

.

Do đó, thuộc phần chung của hai hình tròn và .

Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm . Do đó, .

Ta thấy nên nhỏ nhất khi ngắn nhất, khi đó là hình chiếu của trên .

Ta có .

Vậy .

Lời giải

Chọn A.

Đặt , gọi .

Có nên có tâm bán kính .

Có nên có tâm , bán kính .

Có .

Do , , nên .

Lời giải:

Chọn A

Giả thiết

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

Bài toán trở thành: Tìm sao cho biểu thức nhỏ nhất

Ta có

với

Ta có dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi theo thứ tự đó thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng

là giao của của BC và .

Lời giải

Chọn C.

Chọn lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ,

Dựa vào điều kiện , .

Suy ra ta có tam giác vuông cân tại .

Phép quay tâm góc quay ta có:

Do tam giác đều ,

Suy ra .

Dấu xảy ra khi thẳng hàng.

Khi đó tam giác có , và .

Từ đó suy ra .

Vậy .

Lời giải

Chọn B.

Đặt có biểu diễn hình học là điểm

Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng .

Ta có:

với .

Mà ta có

Nên

.

Lời giải

Chọn A.

Gọi , .

Ta có

.

Lại có

.

Mặt khác

Suy ra .