Đề thi hsg môn toán 12 tỉnh quảng trị năm 2018 có đáp án
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ
| KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT Khóa ngày 02 tháng 10 năm 2018 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề |
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trong khoảng
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Câu 3. (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4. (2,0 điểm) Bạn An vẽ lên giấy một đa giác lồi có số cạnh nhiều hơn 4. Sau đó bạn An đếm các tam giác nhận đỉnh của đa giác làm đỉnh và nhận xét: số tam giác không có cạnh chung với nhiều gấp 5 lần số tam giác có đúng một cạnh chung với Hỏi bạn An vẽ đa giác lồi có bao nhiêu cạnh?
Câu 5. (6,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độcho tam giácGọi là chân đường phân giác trong góc là một điểm thuộc đoạn thỏa mãn Tìm tọa độ các đỉnh biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là và có hoành độ dương.
2. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Biết vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc Tính thể tích khối chóp và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo
Câu 6. (3,0 điểm) Cho dãy số biết
1. Với , chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. Chứng minh rằng với mọi , dãy có giới hạn hữu hạn.
--------- HẾT ---------
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN |
Câu | Ý | Nội dung | Điểm |
1 (3,0đ) | Ta có Hàm số nghịch biến trong khoảng
Xét hàm số trên khoảng Ta có Từ bảng biến thiên suy ra | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
2 (4,0đ) | 1 (1,0đ) | Giải: Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với
Đặt ta có , Phương trình trở thành: Với ta có Phương trình vô nghiệm do Với ta có Vậy phương trình có nghiệm | 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2 (2,0đ) | Điều kiện:
Xét hàm số ta có , hàm số đồng biến trên nên từ ta có Thế vào ta có phương trình: ( điều kiện )
Với ta có Do đó phương trình vô nghiệm, phương trình có hai nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm | 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
3 (2,0đ) |
Tương tự ta có
Xét
Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra Ta có dấu đẳng thức xảy ra khi Vậy | 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
4 (2,0đ) | Gọi là số cạnh của đa giác. Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 1 cạnh chung với (H) là Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 2 cạnh chung với (H) là Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với (H) là Theo giả thiết Giải phương trình này, ta được | 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
5 (6,0đ) | 1 (3,0đ) | Gọi Ta có và chung nên Ta có Suy ra Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm Phương trình đường thẳng Tọa độ là nghiệm của hệ: Do có hoành độ dương nên Phương trình đường thẳng Gọi là giao điểm thứ 2 của và đường tròn Phương trình đường thẳng Tọa độ là nghiệm của hệ Suy ra Do nên | 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 |
2 (3,0đ) | Góc giữa và là suy ra Ta có
Ta có Hạ ta có mặt khác suy ra Vậy Ta có và Vậy | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 | |
6 (3đ) | 1 (1,5đ) | Ta có khi khi Do đó nếu thì . Do nên Ta lại có: Dãy tăng và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn. Đặt Ta có Vậy | 0,5 0,5 0,5 |
2 (1,5đ) | Từ ý 1, ta có thì dãy có giới hạn hữu hạn. Hiển nhiên với thì dãy là dãy hằng nên có giới hạn hữu hạn. Với , dễ dàng chứng minh được và dãy giảm nên có giới hạn Với hoặc thì nên có giới hạn hữu hạn Vậy với mọi , dãy có giới hạn hữu hạn. | 0,5 0,5 0,5 |