Đề thi hsg toán 12 tỉnh quảng trị năm 2020 có đáp án

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Câu 1. ( 5,0 điểm)

1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

2. Tìm để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Câu 2. ( 5,0 điểm)

1. Chứng minh rằng

2. Tìm tất cả các cặp số thực thỏa mãn và

Câu 3. ( 6,0 điểm)

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo

2. Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn Gọi lần lượt là trung điểm của lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và Chứng minh rằng vuông góc

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số được xác định bởi và Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 5. (2,0 điểm)

Xét các số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

----Hết----

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

;

;

Vậy các điểm cực đại của hàm số là: ; Các điểm cực tiểu của hàm số là:

Câu 1. 2. Tìm để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt.

.

Cách 1: Xét hàm số có BBT của hàm số và

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số và đường thẳng . Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi hay

Cách 2: (HS 10,11). . Đặt

PTTT: (2).

Xét hàm số trên . có đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1). Từ đó kết luận

Cách 3: Nhận thấy nếu là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của pt (1). Do đó nếu các nghiệm thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm , thế vào tìm được Giải phương trình khivà kết luận.

Câu 2.1. Chứng minh rằng

Cách 1: Ta có:

Xét . Mà nên .

Vậy .

Cách 2:

Xét

Suy ra được:

Ta có:

Do đó:

Vậy:

Câu 2.2. Tìm tất cả các cặp số thực thỏa mãn và

Đặt . Từ giả thiết ta có:

. Xét pt theo S. . Điều kiện phương trình có nghiệm . Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có .

(loại); , là 2 nghiệm của pt

Vậy các cặp: .

Câu 3.1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo

*Thể tích:

*Khoảng cách giữa SB và

Cách 1: Dựng đối xứng với C qua I

là hình thoi, nên đôi một vuông góc.

Cách 2: *Kẻ đt song song với

;

Câu 3.2. Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn Gọi lần lượt là trung điểm của lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và Chứng minh rằng vuông góc

Gọi là giao điểm thứ 2 của và đường tròn qua

Gọi là giao điểm thứ 2 của và đường tròn qua

Ta có:

và nên thẳng hàng.

Tam giác và đồng dạng (Vì ). Suy ra, hay M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn tâm

Suy ra (Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm)

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số được xác định bởi và Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

HD:

Ta có:

,như vậy nên từ (*) ta suy ra là dãy giảm. Cùng với tính bị chặn nên tồn tại

Từ . Tương tự tồn tại

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

Do nên

Cách 2:

.

Do

Cách 3:

Đặt , . Ta có

Câu 5. (2,0 điểm)

Xét các số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HD:.(1)

Ta có: (2)

Đặt . Xét hàm trên

Ta có: . (3)

Vậy đạt được khi các đẳng thức (1), (2), (3) xảy ra.

,hay

Cách 2: …..

.

….