Chuyên đề thể tích khối đa diện có yếu tố góc ôn thi tốt nghiệp thpt có đáp án và lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

✪ Định nghĩa:

Nếu

Nếu với là hình chiếu của d lên

Chú ý:

2. Góc giữa hai mặt phẳng

✪ Định nghĩa:

Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng , lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng a và b

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d.

Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b

5. Thể tích khối đa diện

a. Công thức tính thể tích khối chóp

Trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao khối chóp.

Chú ý: Cho khối chóp và , , là các điểm tùy ý lần lượt thuộc , , ta có

.

b. Công thức thể tích khối lăng trụ : (là diện tích đáy, là chiều cao)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

• Thể tích khối đa diện

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Góc giữa hai mặt phẳng

• Công thức tỉ số thể tích

• Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy, góc giữa và mặt phẳng bằng ( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính diện tích đáy

B2: tính thể tích khối lăng trụ

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm thì và nên .

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là .

Do đó tam giác vuông cân tại và .

Suy ra

Bài tập tương tự và phát triển:

⮱ Mức độ 1

1. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là và chiều cao bằng . Thể tích của khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

1. Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

1. Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào?

A. Tăng lần. . B. Tăng lần.. C. Tăng lần. D. Không thay đổi.

Lời giải

Chọn B

Thể tích khối chóp là: .

Độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích mặt đáy tăng lần.

Cạnh bên tăng lên lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên lần.

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên lần thì thể tích của khối chóp tăng lên lần.

1. Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là .

1. Khối chóp có , , , cố định và chạy trên đường thẳng song song với . Khi đó thể tích khối chóp sẽ:

A. Giảm phân nửa.. B. Tăng gấp đôi.. C. Tăng gấp bốn. D. Giữ nguyên..

Lời giải.

Chọn D

Gọi là đường thẳng qua và song song .

Ta có:

+ song songnên không đổi.

+, , , cố định nên diện tích tứ giác cũng không đổi.

Vì vậy thể tích khối chóp sẽ giữ nguyên.

1. Cho khối chóp có thể tích là , đáy là hình vuông cạnh . Độ dài chiều cao khối chóp bằng.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

.

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và thể tích bằng .Tính chiều cao của hình chóp đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:.

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và thể tích bằng . Tính chiều cao của hình chóp đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên .

Mà .

1. Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên

A. lần. B. lần. C. lần. D. lần.

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối chóp sẽ tăng lên lần.

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và chiều cao . Tính thể tích của hình chóp đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên .

Mà .

1. Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác vuông tại , ,, cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Diện tích đáy

Chiều cao:

1. Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Tính thể tích của khối chóp.

A. B. C. D. .

Lời giải

Chọn B

Diện tích đáy

Chiều cao:

1. Cho khối chóp có vuông góc với , đáy là tam giác vuông cân tại , , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có là hình chiếu của lên suy ra góc giữa và là góc .

Tam giác vuông cân tại , .

Xét vuông tại có .

Ta có . Vậy .

1. Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật,, , vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Dễ thấy .

Xét tam giác vuông có:

Vậy .

1. Cho hình chóp có và vuông góc với đáy . Biết rằng tam giác đều và mặt phẳng hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn A

Gọi là trung điểm ta có

Xét tam giác vuông tại ta có

Ta có

Diện tích

Thể tích

1. Cho khối chóp có vuông góc với , đáy là tam giác vuông cân tại , , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn A

là hình chiếu của lên suy ra góc giữa và là góc .

Tam giác vuông cân tại , .

.

.

.

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , tam giác là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn B

Gọi là trung điểm của .

, .

.

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết và góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. D.

Lời giải

Chọn D.

…

Ta có , , .

.

Từ đó:

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với trung điểm cạnh . Biết rằng. Tính theo thể tích của khối chóp .

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi là trung điểm . Ta có: suy ra .

Nên .

1. Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Do đáy là tam giác đều nên gọi là trung điểm cạnh , khi đó là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có , và .

Trong tam giác vuông tại ta có

Vậy thể tích khối chóp là .

⮱ Mức độ 2

1. Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy và tạo với mặt phẳng một góc Tính thể tích của khối chóp đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có

Suy ra

Thể tích khối chóp : .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , , , vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp tính theo .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Thể tích khối chóp là .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Vì tam giác vuông tại nên

(đvtt). .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và . Thể tích của khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có .

1. Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết , tam giác là tam giác vuông cân tại , . Tính theo thể tích của khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có: (dvtt).

1. Cho khối chóp tam giác có , tam giác có độ dài cạnh là ; ; , góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có nửa chu vi là .

Diện tích là .

nên vuông, cân tại nên .

Thể tích khối chóp là .

1. Cho hình chóp có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , là tam giác đều cạnh , đường thẳng tạo với mặt phẳng góc . Thể tích của khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta thấy tam giác cân tại , gọi là trung điểm của suy ra

Do nên .

Ta lại có nên thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Do là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Ta có , .

.

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh vuông góc với đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: mà .

Ta có: . Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có

là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

Tam giác vuông tại có .

Khi đó .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên vuông góc với đáy và đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối chóp theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: là hình chiếu của lên mặt phẳng .

.

Xét tam giác vuông tại có .

Xét tam giác vuông tại có .

Mà .

Vậy .

1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn.D.

Ta có: .

Chiều cao : .

Vậy .

1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: .

Gọi là trung điểm , góc giữa mặt bên và là

Ta có

Chiều cao : .

Vậy .

1. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân tại , , , góc giữa và là . Tính thể tích lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi là trung điểm của . Ta có và ( docân tại )

Ta xác định được góc giữa và là

Ta có và

;

Vậy (đơn vị thể tích).

1. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên tạo đáy góc . Thể tích của khối chóp đó bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: . Gọi là trọng tâm của tam giác , suy ra .

Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Suy ra . Xét tam giác vuông tại , ta có:

.

Vậy .

1. Cho hình lăng trụ đều . Mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc và tam giác có diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Kẻ đường cao của tam giác . Khi đó là trung điểm của

Tam giác vuông tại nên góc là góc nhọn.

Góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa và và bằng góc , bằng

Tam giác là hình chiếu vuông góc của tam giác trên

Suy ra .

Đặt . Diện tích tam giác đều theo là .

Vậy có

Tam giác vuông tại , .

Thể tích của lăng trụ là .

1. Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng và đường chéo .Tính thể tích hình hộp chữ nhật này.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

ABCD là hình vuông⇒

Vậy

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Hình chiếu vuông góc của lên là trung điểm của . Góc giữa và đáy bằng . Thể tích là bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Diện tích ABC :

Thể tích S.ABC : .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của cạnh , đường thẳng tạo với đáy một góc. Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Do tạo với đáy một góc nên .

Mà . Vậy .

1. Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa và mặt đáy bằng . Tính thể tích bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi là trung điểm .

Ta có: .

là hình vuông cạnh nên.

Tam giác cân tại , mà góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng , chính là góc . Theo bài ra có .

.

Vậy thể tích : .

1. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Diện tích đáy ;

Chiều cao:

⮱ Mức độ 3

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi lần lượt là trung điểm của và .

Ta có .

Ta có .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trọng tâm tam giác , mặt phẳng tạo với đáy một góc . Thể tích khối tứ diện bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có: .

Gọi là trung điểm của .

Gọi là trung điểm của , là trung điểm của và là trung điểm của .

Ta có .

Do nên góc giữa và đáy là .

Ta có: , .

Vậy .

1. Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên , tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có: và .

Trong mặt phẳng , kẻ thì .

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh và thì và .

Mà nên tứ giác là hình vuông là trung điểm cạnh .

Khi đó tứ giác là hình vuông cạnh và .

Vậy .

1. Hình chóp có đáy là hình vuông cạnh là tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng và bằng . Thể tích của khối chóp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm , là trung điểm

Ta có .

Vậy .

1. Cho hình chóp với đáy là hình thang vuông tại và , đáy nhỏ của hình thang là , cạnh bên . Tam giác là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi là trung điểm cạnh , khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có , .

.

Ta có nên .

Đặt nên ;

.

.

.

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ; biết Góc giữa hai mặt phẳng và bằng Gọi là trung điểm của , biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

.

Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng và cùng vuông góc với nên nên là đường cao của .

Kẻ tại . Khi đó ta chứng minh được . Ta vẽ hình phẳng của mặt đáy. Ta có ta chứng minh được là đường tủng bình của tam giác Khi đó . Ta có .

Khi đó . .

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , mặt bên là tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

.

Gọi là độ dài ,kẻ tại , ta có .

Do là trung điểm của nên khoảng cách từ đến mặt phẳng gấp lần khoảng cách từ đến mặt phẳng mà .

Tính : kẽ , ta chứng minh được , , vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa và mặt phẳng bằng sao cho . Tính thể tích khối chóp theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm , từ giả thiết ta có: , .

Đặt , ta có: , .

Mặt khác . Vậy ta có: .

; ; .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật; . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng và mp bằng . Gọi là trung điểm của . Tính theo khoảng cách từ điểm đến .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm đoạn.

Xét vuông tại , có: .

Xét vuông cân tại , có: .

Xét vuông tại , có: .

Xét vuông tại , có: .

.

Ta có: ; .

. Mà .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết , . Mặt phẳng tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của lên cạnh , là hình chiếu của lên cạnh , ta có

và . Suy ra .

Trong tam giác vuông đặt nên từ ta có .

Do đó . Suy ra .

Thể tích khối chóp là .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, mặt bên là tam giác vuông tại . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng đáy là điểm thuộc cạnh sao cho . Biết rằng và tạo với đáy một góc bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Có: .

.

Tam giác có .

Tam giác có

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , . Gọi là trung điểm của . Biết khoảng cách từ đến bằng . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Trong mp xác định điểm sao cho tứ giác vuông tại và

Khi đó ta có: ;

Vậy

Có tam giác là tam giác đều cạnh

Ta đi tìm

Gọi là trung điểm

vì tam giác đều, nội tiếp đường tròn đường kính ⇒

Gọi là trọng tâm tam giác và là trung điểm

Vì tam giác đều , tương tự

Dễ thấy là hình thoi

Xét hình chóp có đáy là hình thang vuông tại C, N.

Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng vì .

Trong mp gọi

Trong mp kẻ tia gọi

Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng

Khi đó ta có

Trong mp kẻ ta có

Mà tam giác là tam giác đều cạnh

Từ

Dễ thấy

Xét tam giác có nên (theo )

Xét tam giác có nên

Từ và ta có

Vậy .

1. Cho hình chóp biết rằng , , và . Thể tích khối chóp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có , suy ra tam giác đều .

Lại có , suy ra tam giác vuông cân tại .

Mặt khác, , , áp dụng định lí cosin cho tam giác , ta được:

.

Xét tam giác có suy ra tam giác vuông tại .

Vậy diện tích tam giác là: .

Gọi là trung điểm của cạnh suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Mà .

Xét tam giác vuông vuông tại có .

Vậy thể tích khối chóp là: .

1. Cho hình chóp có . Các mặt bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp . Biết hình chiếu vuông góc của trên thuộc miền trong của tam giác .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Diện tích tam giác là

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , .

Theo bài ra ta có .

Ta có vì

,

chung,

.

Suy ra .

Vậy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Khi đó .

.

Thể tích khối chóp là .

1. Cho hình chóp có , ,, . Tính thể tích khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm của cạnh . Vì cân tại (do ) nên . ; .

nên . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng suy ra .

Áp dụng định lí cosin cho , ta có: .

vuông tại nên .

Áp dụng định lí cosin cho , ta có .

.

.

Vậy .

Cách 2:

Áp dụng định lí cosin cho , ta có

.

Sử dụng công thức

.

1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , gọi I là giao điểm và . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng là sao cho là trung điểm của . Góc giữa và bằng . Tính thể tích của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Tam giác đều cạnh

Áp dụng định lí cosin cho tam giác

Xét tam giác vuông tại :

Do tam giác vuông tại , có nên tam giác vuông cân tại . Suy ra:

Vậy thể tích khối chóp :

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , khoảng cách giữa và là . Biết hình chiếu của lên mặt phẳng nằm trong tam giác , tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Dựng hình bình hành . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Dựng đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt lần lượt tại .

Khi đó .

Trong , dựng và .

Ta có và nên .

Vì vậy .

Do nên . Suy ra .

Do có hai đường cao nên cân tại . Suy ra là trung điểm của .

Ta có (do đều, cạnh bằng ). Suy ra .

Xét hai tam giác đồng dạng và , ta có

.

Vậy thể tích khối chóp là .

1. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối đa diện .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi là trung điểm , ta có và (trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền).

Kẻ mà suy ra

Vậy góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là .

Ta có ;

Mặt khác .

1. Cho hình chóp có là hình thoi cạnh và . Biết rằng , và . là trọng tâm tam giác . Tính thể tích của tứ diện .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có .

* Tính ?

Gọi , do .

Kẻ , do nên .

Suy ra .

Do và là trung tuyến nên tam giác vuông cân tại .

Khi đó và .

Mà tam giác vuông tại có đường cao nên .

Vậy .

* Tính ?

Gọi là trung điểm của thì .

Gọi là trung điểm của thì .

Suy ra .

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm , là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính thể tích của khối tứ diện .

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1. Ta có

Suy ra .

Mặt khác

Vậy .

Cách 2. Gọi là giao điểm của và .

Ta có . Vì nên .

Do đó

.

1. Cho lăng trụ là lăng trụ đứng, góc bằng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Kẻ . Vì lăng trụ là lăng trụ đứng nên . Do đó .

Góc giữa và bằng góc và bằng (tam giác vuông tại nên góc nhọn)

Xét tam giác , áp dụng định lý cosin cho cạnh có:

.

.

Mặt khác

Do đó

Xét tam giác vuông tại nên

Xét tam giác vuông tại nên

Thể tích của lăng trụ là .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại. Biết vuông góc với mặt phẳng, . Một mặt phẳng qua vuông góc tại và cắt tại. Tính thể tích khối chóp theo.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có , suy ra

Vì vuông cân tại nên là trung điểm của. Ta có:

. Ta có

, khi đó

, lại có

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân đỉnh . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của . Mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng . Tính thể tích khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy là góc .

có .

Do đó

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , có ; Mặt bên vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh nên .

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh và . Khi đó, góc tạo bởi hai mặt phẳng , tạo với đáy lần lượt là , cùng bằng .

Hai tam giác , có , , nên hai tam giác bằng nhau hay . Mà là tam giác vuông cân nên là trung điểm của .

Ta có: . Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, mặt bên là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . Thể tích của khối chóp là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

+) Gọi lần lượt là trung điểm của (vì đều).

Gọi là trung điểm của (vì và vuông góc với nhau).

Suy ra

+) Tam giác cân tại , mà góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng chính là góc . Theo bài ra có .

+) Vì là tam giác đều cạnh nên ta có .

. Vậy thể tích của của khối chóp là

.

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn thẳng . Biết rằng góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích của khối chóp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

, kẻ và ,

suy ra .

Đặt , ta tính được và .

Vậy ,

Tam giác vuông tại có

Vậy .

1. Cho hình chóp có , , và , , . Khi đó thể tích khối chóp là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Lấy là trung điểm của và lấy sao cho . Ta có nên hình chiếu vuông góc của lên trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Ta có: vì tam giác đều (cân tại và có một góc bằng )

vì là cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1.

Dễ đánh giá được tam giác vuông tại nên có

Suy ra

Suy ra

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có suy ra

1. Cho tứ diện có và . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Biết và là đoạn vuông góc chung của và . Tính thể tích tứ diện .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện như hình vẽ.

Ta có:

Vậy .

1. Cho hình chóp tam giác có là trung điểm , là điểm trên sao cho , là điểm trên sao cho . Kí hiệu , lần lượt là thể tích khối chóp và . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A

Ta có ;

Suy ra ; .

1. Cho hình chóp đều Gọi là trung điểm là điểm đối xứng với qua Mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là với Tính tỉ số

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A

F

E

M

N

S

A

C

B

D

Gọi lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp . Khi đó Nối cắt tại , cắt tại Tam giác có lần lượt là trung điểm của và suy ra là trọng tâm tam giác Tứ giác là hình bình hành nên là trung điểm

Ta có

⏺

⏺

Do đó

Suy ra

⮱ Mức độ 4

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , biết khoảng cách từ đến là , từ đến là , từ đến là và hình chiếu vuông góc của xuống đáy nằm trong tam giác . Tính thể tích khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh .

Đặt .

Ta có

Tương tự, tính được

Ta có

Vậy .

1. [2H1-0.0-4] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , với . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành .

Khi đó mà (vì , ) nên là hình chiếu vuông góc của lên .

Góc giữa và là , do đó .

Đặt , .

Gọi là hình chiếu của lên , theo đề ta có .

Do đó đạt giá trị lớn nhất khi lớn nhất. Vì tam giác vuông tại nên

Từ đó khi .

Suy ra .

1. Xét tứ diện có các cạnh và , thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi , lần lượt là trung điểm và .

Theo giả thiết ta có: và là các tam giác cân có là trung điểm của nên và . Và có cân tại.

Trong tam giác có vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên

.

Khi đó diện tích tam giác là:

Thể tích tứ diện là: .

Đặt , ta có: .

Ta có: .

Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi .

Ta lại có: .

Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện là: tập xác định .

1. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của Tính thể tích khối chóp . Biết mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

là trung điểm nên

.

SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại

là giao điểm của với .

Giả thiết

và nên cân tại

.

.

Vậy .

1. Cho hình chóp có , và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Hạ tại có

.

Chứng minh tương tự có .

Hai tam giác vuông và bằng nhau suy ra .

Gọi là trung điểm của suy ra tứ giác là hình thoi và .

Gọi là tâm hình thoi có .

.

Hạ tại ta có tại suy ra .

Tam giác vuông tại đường cao có .

Vậy .

1. Cho khối chóp có đáy là tam giác cân tại , , ,. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Khi thì thể tích khối chóp đã cho bằng

A.. B. . C. . D..

Lời giải

Chọn D

Kẻ suy ra và .

Khi đó ta có .

Chứng minh tương tự ta có suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Do đó góc bằng .

Dễ thấy nên đều.

cân tại có suy ra .

Do đó .

Dễ thấy nên .

Trong mặt phẳng kẻ .

Trong mặt phẳng kẻ .

Xét hai tam giác vuông và có , (vì )

suy ra mà và nằm giữa và nên .

Từ đó ta có và .

Do đó .

Đặt

Xét có .

Xét vuông tại có .

Thay vào ta có .

Vậy thể tích khối chóp là .

1. Cho tứ diện đều có cạnh bằng , và lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh ( và không trùng với ) sao cho mặt phẳng luôn vuông góc với mặt phẳng . Gọi lần lượt là thể tích lớn nhất và nhỏ nhất của tứ diện . Tính tích .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Kẻ (vì ). Suy ra là trọng tâm của tam giác đều .

Như vậy và là hai điểm di động nhưng luôn đi qua trọng tâm của tam giác .

Đặt , (,)

+ .

+ (*)

+ (**)

Do đó (***)

Mặt khác từ (*) và (**) suy ra , (,).

Đặt . Điều kiện: .

Khi đó là nghiệm của phương trình , .

Ta tìm để có nghiệm phân biệt thuộc hoặc có nghiệm kép thuộc

Ta có không phải là nghiệm của nên .

Đặt , . Ta có: .

Bảng biến thiên của

Dựa vào BBT, có nghiệm phân biệt thuộc hoặc có nghiệm kép thuộc

(thỏa điều kiện) hay .

Kết hợp (***) ta có , .

1. Cho khối tứ diện đều cạnh bằng Gọi lần lượt là trọng tâm của ba tam giác Tính thể tích của khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Tam giác đều

.

Mà

Lại có: .

1. Cho hình chóp có , , . Hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng nằm bên trong tam giác . Các mặt phẳng , , đều tạo với đáy một góc . Gọi , , là các đường phân giác của tam giác với , , . Thể tích gần với số nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì các mặt phẳng , , đều tạo với đáy một góc và hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng nằm bên trong tam giác nên ta có hình chiếu của chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác .

Gọi là nửa chu vi tam giác thì .

Ta có : và .

Suy ra chiều cao của hình chóp là :

Vì là phân giác của góc nên ta có : .

Tương tự : , .

Khi đó : .

Tương tự : , .

Do đó,

, với , ,

.

Suy ra

1. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng , thể tích của khối chóp có thể tích nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Giả sử ta có: ;

Xét ta có:

Thể tích khối chóp là:

Xét hàm số

; (do )

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là: .

1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành thỏa mãn ,. Biết tam giác cân tại , tam giác vuông tại và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Nhận thấy tam giác vuông tại ( do ).

Gọi là điểm đối xứng của qua ta có tứ giác là hình chữ nhật, và tam giác là tam giác đều cạnh .

Hay

Gọi là trung điểm của đoạn , ta có: .

Trong kẻ vuông góc với tại . Khi đó: .

Ta có ( Do ) Suy ra .

Xét tam giác có vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác cân tại .

Xét hình chóp có đáy là tam giác đều, các cạnh bên .

Nên gọi ta có .

Tam giác vuông tại nên .

Tam giác vuông tại nên .

.

1. Cho hình chóp , đáy là tam giác đều có cạnh bằng . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng đáy ; lần lượt là hình chiếu của trên .

Vì diện tích các mặt bên của hình chóp bằng nhau nên ta có và vì tam giác đều nên ta có .

TH1: nếu nằm trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều .

Khi đó ta có và

.

TH2: Nếu nằm ngoài tam giác . Không mất tính tổng quát giả sử nằm khác phía với so với đường thẳng

Tương tự như trên ta vẫn có . Vì tam giác đều nên là tâm đường tròn bàng tiếp góc và , . Vì thế cạnh không thể bằng .

Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , , . Gọi là góc giữa và thỏa mãn , khoảng cách từ đến mặt đáy nhỏ hơn . Thể tích của khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn C

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đáy , đặt .

Ta có . Tương tự ta cũng có .

Tam giác cân tại và và đều cạnh .

Tam giác vuông tại

Kẻ tại .

Gọi , xét vuông tại và

là trung điểm của .

Theo giả thiết . So sánh với điều kiện suy ra .

Vậy .

1. Cho tứ diện có ; . Biết góc giữa hai mặt phẳng bằng . Thể tích của tứ diện bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn D

Dựng .

Ta có . Tương tự .

Tam giác có , vuông cân tại .

Áp dụng định lý cosin, ta có .

Vậy .

Dựng và .

Suy ra và tam giác vuông tại .

Đặt , khi đó , .

Suy ra .Vậy .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , và khoảng cách từ điểm đến bằng . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn D

Gọi là hình chiếu của lên .

Ta có: .

Tương tự .

Và vuông cân tại nên là hình vuông. Gọi , là tâm hình vuông.

Dựng một đường thẳng qua vuông góc với , dựng mặt phẳng trung trực của qua trung điểm cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta hoàn toàn có là trung điểm , hay .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Do .

( là hình chiếu của lên và ).

. Tam giác vuông tại .

Tam giác vuông tại .

.

1. Cho hình lăng trụ đều có cạnh đáy ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Thể tích của khối lăng trụ tính theo bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có

Đặt .

Tam giác cân tại ,.

Diện tích tam giác là

Thể tích lăng trụ

Lại có .

Do đó .

.

1. Cho hình lăng trụ đứng , đáy là tam giác cân tại , cạnh và góc . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .Thể tích của khối lăng trụ tính theo bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Đặt .

Tính được .

Diện tích tam giác là .

Tam giác cân tại ,.

Diện tích tam giác cân là

Thể tích lăng trụ là

Lại có

Do đó .

1. Cho hình lăng trụ đều , có cạnh đáy bằng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng trụ tính theo bằng:

A. . B. . C.. D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm của , là hình chiếu vuông góc của trên .

Chứng minh được khoảng cách từ đến là .

Đặt .

Xét tam giác vuông tại :

Ta có là đường cao: .

Thể tích lăng trụ là .

1. Cho lăng trụ có đáy là hình thoi cạnh , tâm và . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Đỉnh cách đều các điểm , , . Tính theo thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Hình thoi cạnh , nên góc , suy ra tam giác đều cạnh .

Diện tích đáy là .

Gọi là trọng tâm tam giác . Ta có .

Tính được .

Góc giữa và mặt đáy bằng góc và bằng .

Ta có .

Thể tích lăng trụ .

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt đáy một góc và hình chiếu của trên mặt phẳng đáy năm fngoài tam giác . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Gọi hình chiếu của lên các cạnh lần lượt là .

Dễ dàng có được góc giữa các mặt bên với đáy chính là các góc .

Vậy ta có ba tam giác vuông cân bằng nhau , suy ra .

là tâm đường tròn bàng tiếp . Do đều, không mất tính tổng quát, ta coi là tâm đường tròn báng tiếp góc .

Gọi là bán kính đường tròn bàng tiếp góc thì

Vậy .

1. Cho khối chóp có đường cao , tam giác vuông ở có , góc . Gọi là hình chiếu của trên . Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có , . Ta có:

; ;

1. Cho hình chóp tứ giá đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với đáy một góc . Gọi là điểm đối xứng của qua , là trung điểm .Mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là thể tích khối chóp

V₁ là thể tích khối chóp và là thể tích của khối chóp còn lại, khi đó

cắt tại → là trung điểm của .

cắt tại → là trọng tâm của

Ta có

Mặt khác

Mà

Suy ra .

1. Cho tứ diện , và là các điểm thuộc và sao cho , , là mặt phẳng qua và song song với . Kí hiệu và là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện bởi mặt phẳng , trong đó chứa điểm , chứa điểm ; và lần lượt là thể tích của và . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A

Kí hiệu là thể tích khối tứ diện .

Gọi , lần lượt là giao điểm của với các đường thẳng , .

Ta có . Khi chia khối bởi , ta được hai khối chóp và .

Ta có .

.

.Suy ra .

.

.

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại Góc giữa và mặt phẳng là thỏa mãn Gọi là trọng tâm tam giác là trung điểm . Thể tích là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

⬩ Lấy điểm sao cho là hình vuông

⬩ Ta có , tương tự

⬩ Ta có

⬩ Ta có

⬩ Vậy

1. Cho hình lăng trụ có thể tích . Gọi là trung điểm ; là điểm nằm trên cạnh sao cho ; là trung điểm . Hãy tính theo thể tích khối tứ diện :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

Lại có

.