Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục ; ; vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị các trục ; ; . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian hay hệ tọa độ .

Điểm được gọi là gốc tọa độ.

Chú ý: và .

2. Tọa độ của một điểm

a) Định nghĩa:(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: •

•.

b) Tính chất: Cho

•

•

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

3. Tọa độ vectơ

Định nghĩa:

Nhận xét:

II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ

Định lý:Trong không gian cho

•

•

Hệ quả: Trong không gian cho

•

•

• cùng phương

•Cho hai điểm thì:

*

*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

III. TÍCH VÔ HƯỚNG

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lý:Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ và được xác định bởi:

2. Ứng dụng

•

•

•

• (với )

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Định lý: Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính r có phương trình là: .

Nhận xét: Phương trình mặt cầucòn có thểviết dưới dạng: với .

V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

Trong không gian cho hai vectơ và . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

2. Tính chất

•

•

•

•(Chương trình nâng cao)

3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

•Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng

•Diện tích hình bình hành :

•Diện tích tam giác :

•Thể tích khối hộp :

•Thể tích tứ diện:

Chú ý:

– Tích vô hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài toán liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ

{Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đó, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện,…}

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ: , , . Tìm tọa độ vectơ .

Lời giải

Ta có:

Suy ra:

. Vậy .

Ví dụ2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm .

1/ Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành.

2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành .

Lời giải

1/ Tứ giác là hình bình hành

2/ Điểm I là tâm hình bình hành

I là trung điểm của AC .

Ví dụ3. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm . Tìm tọa độ điểm Mthuộc mặt phẳng và cách đều các điểm A, B, C ?

Lời giải

Gọi là điểm cần tìm.

Vì cách đều nên ta có:

.

Vậy .

Ví dụ4. Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm , gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ?

Lời giải

Vì là hình chiếu vuông góc của lên trục nên

Gọi là trung điểm Suy ra

Ví dụ5. Trong không gian với hệ tọa độcho , . Tìm các giá trị của để tam giác đều?

Lời giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Ta có: ,,

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi

Vậy: là các giá trị cần tìm.

VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG CAO

Ví dụ6. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có . Gọi là chân đường phân giác trong góc của tam giác Tìm tọa độ điểm

Lời giải

A

B

C

D

Theo tính chất phân giác trong, ta có:

Mà:

Từ .

Ví dụ7. Cho hình hộp

1/ Chứng minh:

2/ Cho . Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải

1/ Ta có: ; và

Suy ra: (đpcm)

2/ Sử dụng công thức hai vecto bằng nhau ta được:

Ví dụ8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác đều có và điểm nằm trong mặt phẳng có tung độ nhỏ hơn .

1/ Tìm tọa độ điểm .

2/ Tìm tọa độ điểm biết là tứ diện đều.

Lời giải

1/ Vì nên .

Ta có:

Tam giác đều nên

.

Vì có tung độ nhỏ hơn 3 nên .

2/ Gọi .

Khi đó: .

Vì tam giác ABC đều nên tứ diện ABCD đều khi và chỉ khi

.

Vậy: .

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. [2H3-1.1-1] Trong không gian , gọi là các vectơ đơn vị, khi đó với thì bằng:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

.

1. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ: ,,. Tọa độ vectơ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Có

.

Vậy .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác với và . Trọng tâm của tam giác có tọa độ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

Tọa độ trọng tâm .

Vậy .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình bình hành có ( là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

Ta có .

.

Gọi I là tâm hình bình hành Suy ra I là trung điểm .

1. [2H3-1.1-2]Cho điểm , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục là điểm

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Với hình chiếu vuông góc của lên trục là .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm , gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục , khi đó trung điểm có toạ độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Vì là hình chiếu vuông góc của lên trục nên .

Gọi là trung điểm Suy ra .

1. [2H3-1.1-2] Cho điểm , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là điểm

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Với hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian, cho 2 điểm ,. Nếu là điểm thỏa mãn đẳng thức thì tọa độ điểm là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

, từ .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho 3 điểm . Nếu là hình bình hành thì toạ độ của điểm là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

Để tứ giác là hình bình hành thì .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho . Gọi lần lượt là trung điểm của . Toạ độ điểm là trung điểm là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

Vì M là trung điểm của AB nên .

N là trung điểm của CD nên .

Do đó .

1. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ , vectơ đơn vị cùng hướng với vec tơ có tọa độ là:

A. . B. . C. . D..

Lời giải

Chọn A

Ta thấy với ; là vectơ đơn vị cùng hướng với .

1. [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , ,. Điểm là đỉnh thứ tư của hình bình hành , khi đó có giá trị bằng

A.. B.. C. . D..

Lời giải

Chọn C

, là hình bình hành thì

.

1. [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm . Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Có .

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì cùng phương .

Vậy .

1. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm . Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số có tọa độ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Giả sử là điểm cần tìm.

Vì M chia đoạn AB theo tỉ số nên ta có: .

.

Vậy .

1. [2H3-1.1-2]Cho điểm , điểm đối xứng của qua mặt phẳng là điểm

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

Với điểm đối xứng của qua mặt phẳng là

1. [2H3-1.1-3] Cho điểm , điểm đối xứng của M qua trục , khi đó bằng

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Với điểm đối xứng của qua trục là

.

1. [2H3-1.1-3] Trong không gian , cho tứ diện có . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

1. [2H3-1.1-3] Trong không gian , cho hai điểm . Điểm trên trục và cách đều hai điểm có tọa độ là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

.

cách đều hai điểm nên .

.

1. [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm . Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C có tọa độ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Gọi là điểm cần tìm.

Vì cách đều , , nên ta có:

Vậy .

1. [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm thuộc và thể tích của tứ diện bằng 5. Toạ độ của là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Điểm thuộc trục có tọa độ . Ta có , và . Dễ thấy

,

,

nên hoặc .

Dạng 2: Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng

{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác…}

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trong không gian cho tam giác ABC có .Tính

Lời giải

Ta có:

Suy ra: .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác ABC biết , B đối xứng với A qua mặt phẳng (), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?

Lời giải

Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng ()

C đối xứng với B qua gốc tọa độ O

.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có , , . Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng.

Lời giải

Vì điểm thuộc cạnh nên , suy ra tọa độ điểm là

.

Vậy độ dài bằng:

.

Ví dụ 4.Trong không gian với hệ toạ độ cho hai vecto thỏa mãn

1) Tính .

2) Tính góc giữa hai vecto và .

Lời giải

1) Ta có:

.

2) Ta có: và .

.

Ví dụ 5.Trong không gian với hệ tọa độcho , . Tìm các giá trị của để tam giác đều?

Lời giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng .

Ta có: ,, .

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi .

Vậy: là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 6.Trong không gian , cho hình hộp chữ nhậtcó đỉnh A trùng với gốc , , . Gọi M là trung điểm của cạnh .Tính thể tích của khối tứ diện .

Lời giải

Ta có : .

Vậy thể tích của khối tứ diện là: .

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. [2H3-1.2-1] Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian bằng:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

1. [2H3-1.2-1]Trong không gian cho hai điểm , độ dài đoạn bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

.

1. [2H3-1.2-1]Cho điểm , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B

Với .

1. [2H3-1.2-1]Cho điểm , khoảng cách từ điểm đến trục bằng

A.25. B.5. C. 4. D. 0.

Lời giải

Chọn B

Với

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

.

.

.

.

1. [2H3-1.2-2] Cho 3 điểm Tam giác là

A.Tam giác có ba góc nhọn. B. Tam giác cân đỉnh .

C. Tam giác vuông đỉnh . D. Tam giác đều.

Lời giải

Chọn A

. Ta thấy không vuông.

không cân.

1. [2H3-1.2-1] Gọi là góc giữa hai vectơ và , với và khác , khi đó bằng:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A.. B. cùng phương . C.. D..

Lời giải

Chọn C

Nên đáp án A và B sai.

.

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian cho ba điểm . Để 4 điểm đồng phẳng thì tọa độ điểm là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Xét .

Ta có: ; .

Do đó: ;

Suyra :.

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tứ diện biết . Độ dài đường cao AH của tứ diện là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

Có

;

Mà

Vậy .

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có , , . Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Độ dài đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Vì điểm thuộc cạnh nên , suy ra tọa độ điểm là

.

Vậy .

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm và . Diện tích tam giác là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Có

.

Vậy .

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có . Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Độ dài đường cao kẻ từ của tam giác là :.

1. [2H3-1.2-2] Cho . Thể tích của tứ diện bằng

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Tính .

.

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian cho tứ diện . Độ dài đường cao vẽ từ của tứ diện cho bởi công thức nào sau đây:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn A

Vì nên .

1. [2H3-1.2-2] Trong không gian tọa độ , cho bốn điểm . Độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Tính

, với ,

.

áp dụng công thức ở câu trên ta được: .

1. [2H3-1.2-3] Cho hai vectơ và tạo với nhau góc và . Khi đó bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Ta có .

1. [2H3-1.2-3] Cho và . Để góc giữa hai vectơ có số đo bằng thì bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

.

1. [2H3-1.2-3] Cho góc giữa hai vectơ và bằng , Để vuông góc với thì bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

.

.

1. [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ toạ độ,cho tam giác có . Độ dài đường phân giác trong của góc B là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi D là chân đường phân trong của góc B thuộc tam giác ABC, khi đó ta có tỷ lệ:

.

Vậy .

1. [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác ABC có , . Độ dài trung tuyến AM là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có:.

.

1. [2H3-1.2-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình chóp S.OAMN với , trong đó và . Thể tích hình chóp S.OAMN là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Có

.

Dạng 3: Xác định phương trình mặt cầu, tìm các thuộc tính của mặt cầu

{các bài toán tìm tâm I, bán kính R, xác định xem một phương trình có phải là phương trình mặt cầu hay không, tìm điều kiện (có chứa tham số m) để một phương trình là phương trình mặt cầu, các bài toán về họ mặt cầu, bài toán quỹ tích….}

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ1. Xác định tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu ?

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Ví dụ2. Cho mặt cầu . Chứng minh rằng:Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng . Tìm tọa độ tiếp điểm .

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Ta có nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.

Tiếp điểm là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Gọi thì nên

.

Ví dụ3. Trong khoâng gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Lời giải

Ta có: là VTPT của . Suy ra phương trình .

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Suy ra . Vậy .

Ví dụ4. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng có phương trình : và mặt cầu : . Chứng minh rằng mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Khoảng cách từ đến

Suy ra mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

Gọi lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đó, suy ra là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên tọa độ của là nghiệm của hệ:

. Bán kính .

Ví dụ5. Cho mặt phẳng và mặt cầu . Tìm để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu . Với vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm.

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính .

Gọi là đường thẳng đi qua , vuông góc với .

Suy ra phương trình .

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

.

Khi đó . Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

, giải hệ này ta được .

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu có tọa độ tâm và tính bán kính là:

A.và . B.và .

C.và . D.và .

Lời giải

Chọn A

Tâm và bán kính .

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu có phương trình có tâm I và bán kính R lần lượt là:

A.và . B.và .

C.và . D.và .

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu có tâm , bán kính .

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Biểu thức nào sau đây không là phương trình mặt cầu.

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn C

Vì .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Cho mặt phẳng và mặt cầu . Khi đó mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai:

A. có điểm chung với (S). B. cắt (S) theo một đường tròn.

C. tiếp xúc với (S). D. đi qua tâm của (S).

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm , bán kính.

Ta có: nên cắt (S) theo một đường tròn.

Tâm thuộc mặt phẳng .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu là:

A. và . B. và .

C.và . D.và .

Lời giải

Chọn A

Do bốn đáp án là khác nhau về bán kính nên ta chỉ tính bán kính cho đơn giản.

Mặt cầu có tâm , bán kính là .

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là :

.

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là : .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu và mặt phẳng . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm có tọa độ là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm tọa độ thỏa và

Lần lượt thế tọa độ ở phương án vào và thì chỉ có phương án A thỏa vì và

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-1] Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn A

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-3] Cho các điểm và đường thẳng . Gọi là mặt cầu đi qua và có tâm thuộc đường thẳng . Bán kính mặt cầu bằng:

A. B. C.3. D.

Lời giải

Chọn A

•Tâm .

•

•Vì đi qua nên ta có

•Vậy bán kính mặt cầu :

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình lần lượt là . Giá trị của để tiếp xúc là:

A. hoặc . B. hoặc .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

•có tâm và bán kính .

• tiếp xúc

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Cho đường thẳng và mặt cầu (S) :. Tọa độ giao điểm của và là:

A.. B. .

C.. D. và (S) không cắt nhau.

Lời giải

Chọn C

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình:

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Cho các điểmvà . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

Gọi trên Oy vì

đường kính bằng .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , mặt cầu tâm tiếp xúc với trục có bán kính là:

A.5. B.4. C.2. D..

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của tâm lên trục

Vậy mặt cầu có bán kính : .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , bán kính của mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục bằng:

A.4. B.5. C.. D..

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của lên . .

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , bán kính của mặt cầu tâm và tiếp xúc với đường thẳng là :

A.. B.14. C. . D.7.

Lời giải

Chọn C

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho là mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . Bán kính là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ toạ độ , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện với có bán kính là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có dạng:

Vì thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình:

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ toạ độ , với giá trị nào của m thì phương trình là phương trình mặt cầu ?

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Biết điểm thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất . Khi đó tọa độ điểm là:

A. . B. . C.. D. .

Lời giải

Chọn C

♦Tự luận: Mặt cầu có tâm , bán kính

nên mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với ,

giao điểm của và là hai điểm có tọa độ . Vì khoảng cách từ đến lớn nhất nên .

♦Trắc nghiệm:Thử 4 phương án thấy điểm có tọa độ không thuộc mặt cầu nên loại.

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Khoảng cách từ điểm đến là: .

Khoảng cách từ điểm đến là: .

1. [2H3-1.3-4] [2H3-1.3-4] Cho điểm và mặt cầu mặt phẳng đi qua và cắt theo thiết diện là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Bán kính nhỏ nhất đó là:

A. 3. B.2. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm , bán kính . Dễ thấy điểm nằm trong mặt cầu nên mặt phẳng cần tìm đi qua và vuông góc với .

Do đó : .

Bán kính đường tròn là : .

1. [2H3-1.3-4] [2H3-1.3-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tứ diện với . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , ta có:

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Vậy .

Cách 2: Phương trình mặt cầu có dạng ,

Thay tọa độ vào ta được 4 phương trình.

Sử dụng MTCT giải hệ phương trình 4 ẩn . Lúc đó .

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu

{Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, biết tâm và đi qua điểm, biết đường kính, mặt cầu đi qua 2 điểm và có tâm thuộc trục tọa độ, mặt cầu đi qua 3 điểm có tâm thuộc mặt phẳng tọa độ, mặt cầu đi qua 3 điểm và có bán kính, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện,. mặt cầu có tâm và tiếp xúc với trục tọa độ, có tâm và tx với mặt phẳng tọa độ, có tâm và tiếp xúc với mặt cầu khác,…}

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

Ví dụ1. Lập phương trình mặt cầu biết mặt cầu có tâm bán kính .

Lời giải

Phương trình mặt cầu .

Ví dụ2. Mặt cầu có tâm nằm trên và đi qua

Lời giải

Gọi là tâm mặt cầu. Vì .

Ta có .

Suy ra tâm và bán kính .

Vậy phương trình mặt cầu .

Ví dụ3. Có tâm và tiếp xúc với .

Lời giải

Vì mặt cầu tiếp xúc với nên suy ra .

Vậy phương trình .

Ví dụ4. Có tâm và tiếp xúc với mp.

Lời giải

Ta có, bán kính mặt cầu .

Vậy phương trình mặt cầu .

Ví dụ5. Có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng và .

Lời giải

Vì mặt cầu có tâm .

Mặt cầu tiếp xúc với hai mp và nên

và .

Vậy phương trình mặt cầu .

Ví dụ6. Mặt cầu có tâm và cắt tại hai điểm sao cho

Lời giải

Đường thẳng qua điểm và có véc tơ chỉ phương là .

Ta có nên do đó

.

Vì mặt cầu cắt tại hai điểm nên bán kính mặt cầu được xác định theo công thức : .

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: .

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt cầu tâm và có bán kính là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn B

Phương trình mặt cầu tâm và có bán kính là: .

Vậy: Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình là:

.

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu tâm , bán kính có phương trình là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình là:

.

1. [2H3-1.3-1] [2H3-1.3-1] Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm là:

A.. B..

C. . D..

Lời giải

Chọn C

Tâm , bán kính mặt cầu là .

nên phương trình mặt cầu : .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , mặt cầu tâm đường kính bằng 10 có phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu tâm đường kính bằng 10 nên có bán kính có phương trình:

.

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu có đường kính AB với và có phương trình là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn C

Tâm là trung điểm của đường kính , bán kính mặt cầu là

nên phương trình mặt cầu : .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục .

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn D

Gọi là hình chiếu của lên , ta có: .

là bán kính mặt cầu cần tìm.

PT mặt cầu cần tìm là:.

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng nên có bán kính có phương trình:

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

. Vây .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ , phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục và đi qua hai điểm là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn C

Lần lượt thế tọa độ điểm vào phương án. Chỉ có phương án A thỏa vì

và

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ toạ độ ,viết phương trìnhmặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng và đi qua ba điểm .

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn B

Ta có là mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng có tâm .

Suy ra có dạng: .

Ta có .

.

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ toạ độ ,viết phương trìnhmặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng : .

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn B

Gọi có bán kính .

Ta có qua , có VTCP .

tiếp xúc với đường thẳng.

.

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính ?

A.. B. .

C. . D..

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm . Bán kính .

1. [2H3-1.3-2] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng ?

A. . B. .

C.. D. .

Lời giải

Chọn C

.

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: .

Cách 2: theo công thức phương trình mặt cầu có tâm bán kính có dạng . Ta loại câu A và D.

Bán kính . Nên ta chọn câu C.

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm và mặt phẳng (P): . Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Phương trình của mặt cầu (S) là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Bán kính mặt cầu là .

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng .

A. . B. .

C. . D..

Lời giải

Chọn D

•Phương mặt cầu có dạng: , ta có 

• Lấy vế trừ vế của cho ; cho; kết hợp (4) ta được hệ

.

•Vậy phương trình mặt cầu là .

♦Trắc nghiệm:

•Thay tọa độ vào từng phương trình mặt cầu ở từng đáp án loại được đáp án A và đáp án B.

•Thay tọa độ vào phương trình mặt cầu loại được đáp án C.

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và . Gọi là mặt cầu tâm và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có chu vi bằng . Viết phương trình mặt cầu (S).

A. . B. .

C. . D..

Lời giải

Chọn D

Bán kính của đường tròn giao tuyến của và là .

.

Bán kính mặt cầu là .

Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là.

1. [2H3-1.3-3] [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt cầu qua ba điểm , , và có tâm nằm trên mp là:

A.. B. .

C.. D..

Lời giải

Chọn B

* Gọi là tâm mặt cầu .

* Vì I thuộc mp nên

* Mặt khác qua ba điểm , , .

Nên

. .

* Vậy có tâm bán kính .

* P.trình mặt cầu : .

1. [2H3-1.3-4] [2H3-1.3-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai đường thẳng : và : . Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của và làm đường kính có phương trình là:

A.. B..

C.. D..

Lời giải

Chọn A

có vtcp .

có vtcp .

.

.

.

là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và

.

Khi đó: .

Mặt cầu đường kính có tâm và bán kính có phương trình:

.

1. [2H3-1.3-4] [2H3-1.3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm , .Viết phương trình mặt cầu đi qua , và có tâm thuộc đường thẳng .

A. . B..

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình tham số đường thẳng .

Ta có: .

Vì mặt cầu đi qua hai điểm , nên: .

.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: .

1. [2H3-1.3-4]Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng : và tiếp xúc với hai mặt phẳng , .

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Lời giải

Chọn D

* Gọi là tâm mặt cầu .

* Vì thuộc đường thẳng nên .

* Mặt khác tiếp xúc với và nên:

.

* Với tâm bán kính .

ta được .

* Với tâm bán kính .

ta được .

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

NỘI DUNG

1. LÝ THUYẾT

MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP.

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vtpt

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương cho trước.

Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài toán 5: Mặt phẳng và mặt cầu.

Bài toán 6: Mặt phẳng liên quan đến góc.

Bài toán 7: Mặt phẳng liên quan đến khoảng cách.

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:

Đề - Đáp án – Hướng dẫn giải chi tiết – Phân tích phương án nhiễu

Số lượng 50 câu, trong đó

NB: 10 TH: 15 VDT: 15 VDC: 10

A – LÝ THUYẾT CẦN NẮM

1) Véctơ pháp tuyến, cặp véctơ chỉ phương

• Véctơ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá vuông góc với
• Hai véctơ không cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng

P

• Nếu là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng thì là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Nếu là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

• Nếu mặt phẳng có phương trình thì là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Để viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến.

3) Các trường hợp đặc biệt:

★ Lưu ý:

• Nếu trong phương trình của mặt phẳng không chứa ẩn nào thì song song hoặc chứa trục tương ứng.
• Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm là (gọi là phương trình mặt theo đoạn chắn).
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được xác định bởi công thức:

B – MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP.

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vtpt

Áp dụng:

Ví dụ 1: Viết phương trình đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B,

với:

a) b)

c) d)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với tọa độ A, B cho trước:

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB là mp đi qua và vuông góc tại trung điểm I của AB.

Vận dụng

a) b) c)

Ví dụ 3: Viết phương trình đi qua và song song với

Vận dụng:

1. Viết ptmp (P) đi qua M và song song với mp(Q) trong các trường hợp sau:

a) và b) và

c) và d) và

2.(ĐH D – 2013 NC) Trong không gian với hệ trục cho điểm và mặt phẳng Tính khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với ?

Đáp số. và

3.Viết phương trình mặt phẳng song song với và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng ?

Đáp số.

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương cho trước

Vận dụng:

Ví dụ 1:

a) b)

c) d)

Ví dụ 2: Viết phương trình đi qua vuông góc và

a)

b)

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với :

a) b)

c) d)

Ví dụ 4: (ĐH A, A₁ – 2014) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho và đường thẳng Tìm tọa độ giao điểm của d và Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với

Đáp số. và

Ví dụ 5: (CĐ – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng .

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và .

b) Tìm tọa độ điểm sao cho M cách đều O và mặt phẳng

Đáp số. và

Ví dụ 6: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và chứa đường thẳng :

a) b)

c) d)

Ví dụ 7: (TNTHPT – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng có phương trình

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và chứa đường thẳng

Đáp số. và

Ví dụ 8: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau

a)

b)

c)

Ví dụ 9: Cho 2 đường thẳng chéo nhau Hãy viết phương trình chứa và song song

a)

b)

c)

Ví dụ 10: Viết phương trình qua M và vuông góc với hai mp:

a)

b)

Ví dụ 11: (CĐ – 2009 – Chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường các mặt phẳng và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm vuông góc hai mặt phẳng và .

Đáp số. .

Ví dụ 12: (ĐH D – 2010 – Chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai mặt phẳng và . Viết phương trình mặt phẳng sao cho vuông góc với và đồng thời .

Đáp số. .

Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng biết rằng vuông góc với hai và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng ?

Đáp số.

Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Vận dụng:

Ví dụ 1:

a) b)

c) d)

Ví dụ 2: (THPT – 2011 NC) Trong không gian với hệ trục cho Viết phương trình mặt phẳng Tính độ dài đường cao của kẻ từ

Đáp số. và

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng

Chọn thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và . Cụ thể:

Cho:

Cho:

Khi đó

a)

b)

Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước:

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời song song với mặt phẳng cho trước

a)

b)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời vuông góc với mặt phẳng cho trước

a)

b)

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng và đồng thời cách điểm một khoảng

Đáp số. hoặc

Bài toán 5: Mặt phẳng và mặt cầu

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cho trước tại điểm

a) tại

b) tại

Ví dụ 2: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA-LẦN 2-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của với mặt cầu có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình dưới dạng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm bán kính là .

Ta có , nằm trong mặt cầu. Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của lên thiết diện.

Ta có diện tích thiết diện bằng . Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi lớn nhất. Mà suy ra qua và vuông góc với .

Ta có suy ra là trung điểm của . Vậy và .

Vậy .

Vậy .

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

• (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP .

(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT ⇒ PT của (P) có dạng: .

(P) tiếp xúc với (S) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇒ (P): hoặc (P): .

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P):. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

• (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT .

PT (Q) đi qua M có dạng:

(Q) tiếp xúc với (S) (*)

(**)

Từ (*), (**)

Với . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q):

Với . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q):

Câu hỏi tương tự:

a) Với , .

ĐS: hoặc .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính .

• (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = 0.

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0) ⇒ (P): y – 2z = 0.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính .

• (S) có tâm , bán kính R = 2.

PT mặt phẳng (P) có dạng: .

Chọn .

Ta có:

+ Với (1) (P): + Với (2) (P):

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai đường thẳng , và mặt cầu . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu , biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng và .

• (P): hoặc (P):

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (α) có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng .

• Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D17)

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.

Khoảng cách từ I tới (β) là h =

Do đó

Vậy (β) có phương trình .

Câu hỏi tương tự:

a) , , .

ĐS:

Bài toán 6: Mặt phẳng liên quan đến góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình chứa trục Oz và tạo với một góc ?

Đáp số. hoặc

Ví dụ 2: Viết đi qua và tạo với góc thỏa mãn ?

Đáp số. hoặc

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (): và tạo với mặt phẳng (P): một góc 60⁰. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz.

• () qua điểm và có VTCP . (P) có VTPT .

Giao điểm cho . (α) có VTPT

(α) và (P): tạo thành góc 60⁰ nên:

⇔ hay

Kết luận: hay

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng , và tạo với mặt phẳng một góc ϕ mà

• Lấy . (P) qua A PT (P) có dạng: .

(P) qua B nên:

⇔ .

Chọn .

+ Với

+ Với .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc thoả mãn .

• PT mặt phẳng (Q) có dạng: .

Ta có:

Phương trình mp(Q): hoặc (Q): .

Câu hỏi tương tự:

a) , .

ĐS: (Q): hoặc (Q): .

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng một góc .

• ĐS: hoặc

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc .

• Giả sử PT mặt phẳng (R): .

Ta có: (1);

(2)

Từ (1) và (2)

Với : chọn PT mặt phẳng

Với : chọn PT mặt phẳng

Câu hỏi tương tự:

a) Với .

ĐS: hoặc

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và tạo với một góc .

• Đáp số: (P): hoặc (P): .

Câu hỏi tương tự:

a) Với , , .

ĐS: (P): hoặc (P):

b) , , .

ĐS: (P):

hoặc (P):

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là .

• Gọi là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là .

Ta có:

PT mặt phẳng (P): hoặc

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

• PT mặt phẳng (P) có dạng: . Gọi .

Chọn hai điểm . Ta có:

(P):

TH1: Nếu a = 0 thì .

TH2: Nếu a 0 thì . Đặt và

Xét hàm số .

Dựa vào BBT, ta thấy

Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn .

Vậy: (P): .

Câu hỏi tương tự:

a) Với (Q): , . ĐS: .

b) Với . ĐS: .

c) Với , . ĐS: .

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.

• ĐS: .

Câu hỏi tương tự:

a) . ĐS: .

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục một góc lớn nhất.

• PT mặt phẳng (P) có dạng: . Gọi .

Chọn hai điểm . Ta có:

(P): .

TH1: Nếu b = 0 thì .

TH2: Nếu b 0 thì . Đặt và .

Xét hàm số . Dựa vào BBT, ta được .

Vậy lớn nhất khi . Chọn (P): .

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng là lớn nhất.

• đi qua và có VTCP .Vì nên .

PT mặt phẳng (P) có dạng:

Ta có: .

Gọi

TH1: Với B = 0 thì

TH2: Với B 0. Đặt , ta được:

Xét hàm số . Dựa vào BBT ta có: khi

Khi đó .

So sánh TH1 và TH2 lớn nhất với khi .

Phương trình mặt phẳng (P): .

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.

• ĐS: .

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

• ĐS: hoặc .

Bài toán 7: Mặt phẳng liên quan đến khoảng cách.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .

• PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: (với ).

• Vì (P) ⊥ (Q) nên: ⇔ (1)

• ⇔ ⇔ (2)

Từ (1) và (2) ta được: ⇔

• Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P):

• Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): .

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng Δ, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) bằng 4.

• Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ()

Δ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP

Ta có: .

Với . Chọn Phương trình (P): .

Với . Chọn Phương trình (P): .

Câu hỏi tương tự:

a) Với .

ĐS: hoặc .

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

• (d) đi qua điểm và có VTCT . Gọi với là VTPT của (P).

PT mặt phẳng (P): (1).

Do (P) chứa (d) nên: (2)

(3)

Từ (2) và (3), chọn PT mặt phẳng (P): .

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng .

• PT mặt phẳng (P) có dạng: .

Ta có: .

+ Với (1) PT mặt phẳng (P):

+ Với (2) PT mặt phẳng (P): .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , , , . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

• PT mặt phẳng (P) có dạng: .

Ta có:

+ Với (P): .

+ Với (P): .

Câu hỏi tương tự:

a) Với .

ĐS: hoặc .

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .

• Vì O (P) nên , với .

Do A (P) (1) và (2)

Từ (1) và (2) hoặc .

Với thì Với thì

Câu hỏi tương tự:

a) Với . ĐS: hoặc .

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho .

• PT có dạng: , với

Do nên: (1); nên (2)

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau:

TH1: .

Chọn :

TH2: .

Chọn :

Vậy: : hoặc :

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình , . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng .

• Ta có đi qua A(2;2;3), có , đi qua và có .

Do (P) cách đều nên (P) song song với

PT mặt phẳng (P) có dạng:

Do (P) cách đều suy ra

Phương trình mặt phẳng (P):

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình , . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với và , sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P).

• Ta có: đi qua và có VTCP

đi qua và có VTCP là

Gọi là VTPT của (P), vì (P) song song với và nên

Phương trìnht (P): .

;

+ Với + Với

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm , và tiếp xúc với mặt cầu (S): .

• (S) có tâm , bán kính .

PT mặt phẳng (P) có dạng:

Ta có:

+ Với (1) Phương trình của (P):

+ Với (2) Phương trình của (P):

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

• Ta có . Do đó xảy ra nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có

Vậy phương trình mặt phẳng (P): .

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

• Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI lớn nhất khi . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm VTPT ⇒ (P): .

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số . Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa Δ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

• Gọi (P) là mặt phẳng chứa Δ, thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và .

Mặt khác

Trong (P), ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P₀) ⊥ IA tại A.

Vectơ pháp tuyến của (P₀) là , cùng phương với .

Phương trình của mặt phẳng (P₀) là: .

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất.

• PT mặt phẳng (P) có dạng: .

(P) có VTPT , d đi qua điểm và có VTCP .

Vì (P) d nên . Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu b = 0 thì (P): . Khi đó: .

TH2: Nếu b 0. Chọn ta được (P): .

Khi đó:

Vậy . Khi đó: (P): .

Câu hỏi tương tự:

a) . ĐS:

b) . ĐS:

Ví dụ 15: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là lớn nhất.

• PT (P) có dạng: ,

;

Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

Nếu thì

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Phần I: 10 CÂU NHẬN BIẾT

1. Trong không gian tọa độ , mặt phẳng đi qua điểm nhận với làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A. B.

C. D. .

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng :

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại với có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Khẳng định nào đúng?

A. và cắt nhau. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục :

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với trục :

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng ?

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng:

A. B. C. D.

Phần II: 15 CÂU THÔNG HIỂU

1. Giả sử là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Khẳng định nào sai?

A. Giá của vuông góc với . B. là vectơ pháp tuyến của

C. là một vectơ khác . D. không phải là vectơ pháp tuyến của .

1. Cho là hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . Khẳng định nào đúng?

A. là một vectơ pháp tuyến của .

B. là một vectơ pháp tuyến của nếu không cùng phương.

C. là một vectơ pháp tuyến của khi và chỉ khi

D. là một vectơ pháp tuyến của khi cùng phương.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai giá trị của tham số để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Tính tổng các bình phương của hai số đó.

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và chứa trục có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và hai mặt phẳng và . Mặt phẳng đi qua đồng thời vuông góc với cả và có phương trình là:

A. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là:

A. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Mặt phẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm với . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ . Phương trình của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng 3 có phương trình là:

A. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất có phương trình là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng và nhận vectơ nào sau đây làm vectơ pháp tuyến?

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại sao cho là trọng tâm tam giác . Phương trình của là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm . Phương trình mặt phẳng (P) qua M, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà M là trực tâm của tam giác IJK là

A. B.

C. D.

Phần III: 15 CÂU VẬN DỤNG THẤP

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và điểm . Mặt phẳng đối xứng với qua điểm có phương trình . Giá trị của là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Phương trình mặt phẳng là . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường tròn :

A. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng (P): . Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và có phương trình: , . Mặt phẳng (P) chứa (d) và có phương trình là

A. Không tồn tại B. C. D.

1. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): . Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm đến bằng:

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng có phương trình . Giá trị của bằng:

A. B.

C. D. hoặc

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , , , . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình , . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng .

A. B.

C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng d có phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

A. B. C. D.

Phần IV: 10 CÂU VẬN DỤNG CAO

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P):. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có dạng . Giá trị của bằng:

A. B. C. hoặc D. hoặc

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Gọi là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, không chứa trục , vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc . Khoảng cách từ đến bằng:

A. B. C. D. hoặc

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng là lớn nhất là: . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

1. Trong không gian toạ độ cho hai điểm , và mặt cầu . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính .

A. B. C. D.

1. Trong không gian toạ độ cho điểm và mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng song song với (P) và cắt hai tia tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. Giả sử phương trình của là: . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất có phương trình . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm , . Gọi là mặt phẳng sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng bằng 15 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng bằng 2. Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây?

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng , với . Khi thay đổi thì luôn nằm trong một mặt phẳng cố định . Tính ?

A. B. C. D.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm , , với thỏa mãn . Biết rằng khi thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc một mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

------------------------HẾT---------------------------

ĐÁP ÁN

Phần I: 10 CÂU NHẬN BIẾT

1. Trong không gian tọa độ , mặt phẳng đi qua điểm nhận với làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A. B.

C. D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D:

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại với có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Khẳng định nào đúng?

A. và cắt nhau. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Vì nên . Chọn đáp án C

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Mặt phẳng chứa trục có phương trình dạng: . Chọn đáp án A

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với trục :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Mặt phẳng song song với trục có phương trình dạng: . Chọn đáp án B

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Mặt phẳng song song với mặt phẳng có phương trình dạng . Chọn đáp án D

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Ta có . Chọn đáp án C

Phần II: 15 CÂU THÔNG HIỂU

1. Giả sử là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Khẳng định nào sai?

A. Giá của vuông góc với . B. là vectơ pháp tuyến của

C. là một vectơ khác . D. không phải là vectơ pháp tuyến của .

Hướng dẫn giải:

Vì là vectơ pháp tuyến của nên cũng là vectơ pháp tuyến của . Chọn đáp án D

1. Cho là hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . Khẳng định nào đúng?

A. là một vectơ pháp tuyến của .

B. là một vectơ pháp tuyến của nếu không cùng phương.

C. là một vectơ pháp tuyến của khi và chỉ khi

D. là một vectơ pháp tuyến của khi cùng phương.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai giá trị của tham số để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Tính tổng các bình phương của hai số đó.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Suy ra . Chọn đáp án B.

Phương án nhiễu:

A, C, D là các phương án gây nhiễu hoặc do tính toán sai.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là nên phương trình mặt phẳng là: . Chọn đáp án C.

Phương án nhiễu:

A. Nhầm tọa độ điểm thành tọa độ vectơ pháp tuyến.

B. Nhầm phương trình mặt phẳng vuông góc với thành phương trình mặt phẳng song song với

D. Một phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và chứa trục có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng chứa trục là . Thay tọa độ vào pt được . Suy ra phương trình . Chọn đáp án C.

Phương án nhiễu:

A. Nhầm mặt phẳng chứa với mặt phẳng vuông góc với .

B. Nhầm vectơ pháp tuyến với điểm đi qua.

D. Một phương án gây nhiễu khi kiểm tra điểm đi qua.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và hai mặt phẳng và . Mặt phẳng đi qua đồng thời vuông góc với cả và có phương trình là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ pháp tuyến của và lần lượt là .

Suy ra vectơ pháp tuyến của là . Suy ra pt . Chọn C.

Phương án nhiễu:

A. Tính nhầm vectơ pháp tuyến thành .

B. Tính nhầm nên được vtpt .

D. Một phương án gây nhiễu thêm do nhầm như B.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Trung điểm của là , vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là nên phương trình mặt phẳng trung trực là . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B. Tính được là vectơ pháp tuyến, nhưng lại thay điểm đi qua là hoặc .

C. Học sinh nghĩ mặt phẳng trung trực của phải chứa cả và nên thay cả tọa độ vào đều thỏa mãn.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Mặt phẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Dùng phương trình đoạn chắn ta được . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B, C là các phương án gây nhiễu khi học sinh chỉ biết thử tọa độ điểm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm với . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ . Phương trình của mặt phẳng là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Thay tọa độ vào các pt ta được đáp án C.

Cách 2: Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm nên phương trình là .

Phương án nhiễu:

A. Nhầm tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng tọa độ với tọa độ hình chiếu trên các trục tọa độ.

B và D là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vì (P) đi qua O nên loại A. Vì (P) song song với (Q) nên chọn được D.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng 3 có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vì nên phương trình của là .

Khoảng cách giữa và bằng .

Suy ra phương trình của là hoặc .

Phương án nhiễu:

A, B. Nhầm công thức tính khoảng cách không có dấu trị tuyệt đối trên tử thức.

D. Không biết công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Cộng thêm 3 vào pt của .

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất có phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách do đó cần tìm nhận làm vectơ pháp tuyến. Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

Các phương án A, B, C đều gây nhiễu nếu dùng phép thử. Cả 4 đáp án đều thỏa mãn điều kiện đi qua . Việc thử bằng công thức khoảng cách sẽ mất nhiều thời gian.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng và nhận vectơ nào sau đây làm vectơ pháp tuyến?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

lần lượt có các vectơ chỉ phương là . Suy ra

Vì nên . Chọn ta được . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B, C do tính sai công thức nên nhầm dấu.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua và cắt các trục tọa độ lần lượt tại sao cho là trọng tâm tam giác . Phương trình của là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi suy ra trọng tâm là .

Phương trình đoạn chắn của là: . Chọn đáp án C.

Phương án nhiễu:

A. Nhầm trọng tâm thành trực tâm của tam giác .

B. Nhầm A, B, C là hình chiếu của M trên các trục tọa độ.

D. Một phương án nhiễu dựa trên suy đoán trọng tâm thường gắn với tỉ lệ 1:1:1.

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm . Phương trình mặt phẳng (P) qua M, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà M là trực tâm của tam giác IJK là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

M là trực tâm tam giác IJK suy ra hay có vectơ pháp tuyến là

Vậy phương trình mặt phẳng (P): . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A. Nhầm trực tâm và trọng tâm. Suy ra .

B. Hiểu là hình chiếu của trên các trục tọa độ.

C. Một phương án gây nhiễu thêm.

Phần III: 15 CÂU VẬN DỤNG THẤP

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng . Ta có .

Để nhỏ nhất thì lớn nhất. Mặt khác nên lớn nhất bằng khi . Hay , nghĩa là có vectơ pháp tuyến là . Suy ra phương trình của là: . Chọn đáp án (C).

Phương án nhiễu:

A. Nhầm lẫn khi sử dụng bất đẳng thức Cô si: và dựa vào điều kiện xảy ra đẳng thức suy ra nhỏ nhất bằng khi .

Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến là .

B và D là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và điểm . Mặt phẳng đối xứng với qua điểm có phương trình . Giá trị của là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm là: thay vào pt của được

hay pt . Chọn đáp án C.

Cách 2: Ta có nên phương trình . Điểm . Điểm đối xứng của qua là . Vì nên .

Phương án nhiễu:

A, B, D là các phương án gây nhiễu.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Phương trình mặt phẳng là . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: ,

suy ra .

Do đó pt . Chọn đáp án D.

Cách 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình của suy ra

Do đó . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A. Do tính nhầm tích có hướng được vectơ pháp tuyến là nên pt .

B. Do giải hệ phương trình bằng MTBT nhưng quên chuyển các hệ số tự do sang bên phải dấu bằng nên kết quả đổi dấu

C. Một đáp án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường tròn :

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vì khoảng cách giữa hai tâm nên và cắt nhau theo một đường tròn. Mặt phẳng chứa đường tròn này là mặt phẳng đẳng phương của và .

Lấy phương trình trừ phương trình ta được . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B, C đều có vectơ pháp tuyến cùng phương với nên không loại ngay được phương án nào cả.

Vấn đề tìm điểm giao của mặt phẳng với làm mất thời gian.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng (P): . Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT

⇒ . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A. Thử tọa độ A và B thấy thỏa mãn.

B. Thử thấy vuông góc với .

C. Vội vàng chọn đáp án khi tính được .

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và có phương trình: , . Mặt phẳng (P) chứa (d) và có phương trình là

A. Không tồn tại B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có đi qua có vectơ chỉ phương .

đi qua có vectơ chỉ phương .

Vì và cùng phương, và không cùng phương nên .

Vectơ pháp tuyến của là . Suy ra phương trình là: . Chọn (D).

Phương án nhiễu:

A. Do tính nên kết luận không tồn tại .

B. Thay nhầm tọa độ vectơ chỉ phương bằng tọa độ điểm đi qua:

C. Vì nên chọn luôn .

1. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): . Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = 0.

Mặt khác đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0) ⇒ (P): y – 2z = 0. Chọn đáp án A.

Phương án nhiễu:

B. Nhầm mặt phẳng chứa trục là:

C. Tính nhầm hệ số của và thành .

D. Một phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khoảng cách từ điểm đến bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

qua và có , qua và có .

, đồng phẳng.

(P) có VTPT và đi qua M₁ nên có phương trình .

Khoảng cách . Chọn đáp án A.

Phương án nhiễu:

B. Tính sai vectơ pháp tuyến thành nên được pt

C, D là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính . d có VTCP .

(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT ⇒ PT của (P) có dạng: .

(P) tiếp xúc với (S) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇒ (P): hoặc (P): .

Vì điểm và nên mặt phẳng cần tìm là

Phương án nhiễu:

A: Thử bằng máy tính thấy

C. Quên kiểm tra tính song song của (P) và d.

D. Tính nhầm được .

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng có phương trình . Giá trị của bằng:

A. B. C. D. hoặc

Hướng dẫn giải:

Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D17)

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.

Khoảng cách từ I tới (β) là h =

Do đó

Vậy (β) có phương trình . Suy ra . Chọn C.

Phương án nhiễu:

A. Không để ý trong phương trình .

B. Không để ý đến phương trình nên từ pt suy ra .

D. Không để ý điều kiện song song của và dẫn đến không có điều kiện .

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: (với ).

Vì (P) ⊥ (Q) nên: ⇔ (1)

⇔ ⇔ (2)

Từ (1) và (2) ta được: ⇔

Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P):

Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): . Chọn đáp án C.

Phương án nhiễu:

A, B, D là các phương án gây nhiễu về mặt hình thức, hoặc làm tốn thời gian khi sử dụng cách thử các điều kiện trong đề bài.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , , , . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: PT mặt phẳng (P) có dạng: .

Ta có:

+ Với (P): .

+ Với (P): .

Cách 2: Ta có , . Trung điểm của là .

Mặt phẳng đi qua và cách đều nên:

TH1: chứa và song song với

TH2: đi qua 3 điểm

Phương án nhiễu:

A: Chỉ xét được TH1.

B. D là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình , . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Ta có đi qua A(2;2;3), có , đi qua và có .

Do (P) cách đều nên (P) song song với

PT mặt phẳng (P) có dạng:

Do (P) cách đều suy ra

Phương trình mặt phẳng (P):

Cách 2: Ta có đi qua A(2;2;3), có , đi qua và có .

Do (P) cách đều nên (P) song song với

Mặt khác (P) đi qua trung điểm của đoạn là nên pt (P) là:

Phương án nhiễu:

A, B, C là các phương án nhiễu về hình thức hoặc do tính sai tích có hướng.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có .

Suy ra lớn nhất bằng khi hay .

Suy ra .

Ta có đi qua và có vtcp là .

. Suy ra

. Suy ra pt .

Phương án nhiễu:

B. Mặt phẳng này đi qua và vuông góc với nên nếu thử tính khoảng cách thì được kết quả bằng .

C. Là mặt phẳng chứa A và d.

D. Một phương án gây nhiễu thêm. Đây là mặt phẳng qua và vuông góc với .

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI lớn nhất khi . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm VTPT ⇒ (P): .

Phương án nhiễu:

B, C, D là các phương án nhiễu làm mất nhiều thời gian để thử các điều kiện nếu chọn cách thử.

C. Nhầm mặt phẳng song song với d thành mặt phẳng vuông góc với d

D. Nếu tính khoảng cách thì đáp án D cho kết quả lớn nhất, tuy nhiên mặt phẳng ở đáp án D không đi qua A.

Phần IV: 10 CÂU VẬN DỤNG CAO

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P):. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có dạng . Giá trị của bằng:

A. B. C. hoặc D. hoặc

Hướng dẫn giải:

(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT .

PT (Q) đi qua M có dạng:

(Q) tiếp xúc với (S) (*)

(**)

Từ (*), (**)

Với . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q):

Với . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q):

Chọn đáp án C.

Phương án nhiễu:

A. Vì nên dự đoán vectơ pháp tuyến của là .

B và D là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và . Gọi là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, không chứa trục , vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc . Khoảng cách từ đến bằng:

A. B. C. D. hoặc

Hướng dẫn giải:

Giả sử PT mặt phẳng (R): .

Ta có: (1);

(2)

Từ (1) và (2)

Với : chọn PT mặt phẳng (loại)

Với : chọn PT mặt phẳng (thỏa mãn)

Suy ra . Chọn đáp án A.

Phương án nhiễu:

B. Thay sai điểm .

C. Chỉ giải được cho pt .

D. Không loại được pt .

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ghi nhớ: Góc giữa và lớn nhất bằng và nhỏ nhất bằng góc giữa và .

Gọi , , , lần lượt là hình chiếu của trên và .

Khi đó góc giữa và bằng , góc giữa và bằng .

Vì nên , suy ra

Do đó . Suy ra nhỏ nhất bằng khi hay .

Suy ra hay vectơ pháp tuyến của là vectơ chỉ phương của .

Do đó ta có và .

Cụ thể: Ta có đi qua và có vectơ chỉ phương . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Suy ra . .

Vậy . Chọn đáp án A.

Phương án nhiễu:

B. Tính tích có hướng một lần đã cho là vectơ pháp tuyến của (P) (Trường hợp này góc là lớn nhất ).

C. Nếu thử bằng cách tính góc giữa hai mặt phẳng thì đáp án này cho góc nhỏ nhất bằng .

D. Phương án nhiễu cho việc thử xem mặt phẳng có chứa đường thẳng hay không.

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng là lớn nhất là: . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Từ điểm bất kỳ trên kẻ đường thẳng song song với . Lấy thuộc không thuộc . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và . Gọi lần lượt là góc giữa và , và .

Ta có suy ra .

Do đó lớn nhất bằng khi hay .

Ta có đi qua và có VTCP . có vectơ chỉ phương .

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

Vectơ pháp tuyến của là .

Phương trình mặt phẳng (P): .

Phương án nhiễu:

B. Do nghĩ góc giữa và lớn nhất bằng khi . Do đó suy ra phương trình của . Suy ra .

C. Sau khi tính tích có hướng của và được thì nghĩ đó là vectơ pháp tuyến của nên được pt

D. Sau khi viết được pt thì vội vàng tính

1. Trong không gian toạ độ cho hai điểm , và mặt cầu . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì khoảng cách lớn nhất. Mà nên lớn nhất khi hay mặt phẳng chứa và vuông góc với .

Suy ra .

Ta có .

Suy ra .

Do đó phương trình của . Suy ra . Chọn đáp án B.

Phương án nhiễu:

A, D là các phương án gây nhiễu thêm.

C. Nhầm là vectơ pháp tuyến của . Do chỉ tính theo quán tính một lần tích có hướng thì công nhận luôn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Do đó được .

1. Trong không gian toạ độ cho điểm và mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng song song với (P) và cắt hai tia tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. Giả sử phương trình của là: . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Vì (Q) // (P) nên (Q): . Giả sử

.

. Chọn đáp án B.

Phương án nhiễu:

A: Sau khi tìm được pt thì vội vàng tính .

C, D là các phương án nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất có phương trình . Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Giá sử .

Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: .

Ta có: (1); (2)

(1) ≥

Dấu "=" xảy ra (P):

Suy ra

Phương án nhiễu:

B, C, D do cộng sai .

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm , . Gọi là mặt phẳng sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng bằng 15 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng bằng 2. Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Giả sử ta xác định được mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P). Ta có :

Mà . Như vậy dấu đẳng thức ở (1) phải xảy ra

Điều đó tương đương với tại điểm H thỏa mãn

Gọi

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua H nhận làm vtpt, nên có phương trình . Suy ra điểm thuộc .

Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B, C là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng , với . Khi thay đổi thì luôn nằm trong một mặt phẳng cố định . Tính ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

.

. Suy ra . Chọn đáp án D.

Phương án nhiễu:

A, B, C là các phương án gây nhiễu thêm.

1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm , , với thỏa mãn . Biết rằng khi thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc một mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Dễ dàng suy ra được tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

.

Từ giả thiết . Do đó thuộc mặt phẳng cố định . Suy ra . Chọn A.

Phương án nhiễu:

B, C. Vì nên nếu HS không biết làm có thể chọn thiên về số và .

D. Do HS có thể nhầm pt là lấy ngay từ giả thiết, do không tìm được đúng tọa độ điểm .

----------------------------------------------------Hết----------------------------------------------------