Bài tập trắc nghiệm cực trị trong hình học không gian có đáp án
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 111. Cho hình chóp có , , . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo Gọi là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C. D.
Câu 113. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 114. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 115. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Các cạnh bên bằng nhau và bằng . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 116. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 117. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành với . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 118. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 119. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 120. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và Các cạnh bên Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 121. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với mặt đáy . Trên cạnh lấy điểm và đặt . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp biết
A. B. C. D.
Câu 122. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với và mặt bên là tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 123. Cho hình chóp có , tất cả các cạnh còn lại đều bằng . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng . Tìm để thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất.
A. B. C. D.
Câu 125. Trên ba tia vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm sao cho Giả sử cố định còn thay đổi nhưng luôn luôn thỏa Tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện
A. B. C. D.
Câu 126. Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh . Tính thể tích lớn nhất khối tứ diện đã cho.
A. B. C. D.
Câu 127. Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh cạnh bên và vuông góc với mặt đáy Trên lần lượt lấy hai điểm sao cho Tính thể tích lớn nhất của khối chóp biết
A. B. C. D.
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng Tính thể tích lớn nhất của khối hộp đã cho.
A. B. C. D.
Câu 129. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Câu 130. Cho hình chóp có , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng . Với giá trị nào của thì thể tích khối chóp lớn nhất?
A. B. C. D.
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , vuông góc với đáy, khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , tính khi thể tích khối chóp nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Câu 132. Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Xác định độ dài cạnh để khối chóp có thể tích nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Câu 133. Cho tam giác đều cạnh . Trên đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Gọi là giao điểm của và . Tìm để thể tích tứ diện có giá trị nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Câu 134. Cho tam giác vuông cân tại , . Trên đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng lấy các điểm khác phía so với mặt phẳng sao cho . Tính thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện .
A. B. C. D.
Câu 135. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp .
A. B. C. D.
Câu 136. Cho hình hộp chữ nhật có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tìm để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.
A. B. C. D.
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng và độ dài đường chéo bằng Tính thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. B. C. D.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là . Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C. D.
Câu 139*. Cho hình chóp có . Gọi là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng đi qua trung điểm của cắt các cạnh lần lượt tại . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. B. C. D.
Câu 140*. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, thể tích là Gọi là trung điểm của cạnh là điểm nằm trên cạnh sao cho mặt phẳng di động qua các điểm và cắt các cạnh lần lượt tại hai điểm phân biệt . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp .
A. B. C. D.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 111. Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng
Ta có
C
B
S
A
H
.
Dấu xảy ra khi .
.
Dấu xảy ra khi .
Khi đó
Dấu xảy ra khi đôi một vuông góc với nhau.
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Chọn D.
Câu 112. Gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó
Theo giả thiết ta có
Từ bất đẳng thức , suy ra
Dấu xảy ra Chọn D.
Câu 113. Đặt cạnh Tam giác vuông có Tam giác vuông có Diện tích hình chữ nhật Thể tích khối chóp Áp dụng BĐT Côsi, ta có . | 6 x 4 S A B C D |
Suy ra
Dấu xảy ra . Vậy . Chọn A.
Cách 2. Xét hàm số trên
Câu 114. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Vì là hình chóp đều .
Đặt Diện tích tam giác đều
S
A
B
C
M
O
Gọi là trung điểm
Tam giác vuông có
Khi đó
Xét hàm trên , ta được Chọn A.
Cách 2. Ta có
Câu 115. Gọi Vì suy ra hình chiếu của trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Đặt Tam giác vuông có Tam giác vuông có Khi đó | O 6 D C B A S 4 x |
Dấu xảy ra Suy ra Chọn B.
Câu 116. Đặt . Tam giác vuông có Suy ra . Diện tích hình thoi Tam giác vuông có Thể tích khối chóp | O 1 D C B A S 1 x |
Xét hàm trên , ta được
Suy ra . Chọn D.
Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có
Câu 117. Do nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác là hình chữ nhật. Gọi , suy ra .
Đặt Ta có Tam giác vuông có Khi đó | H D C B A S |
Chọn A.
Câu 118. Đặt Suy ra Diện tích tam giác Khi đó Chọn A. | C B A S |
Câu 119. Giả sử Suy ra Diện tích tam giác Khi đó | 1 x x S A B C |
Xét hàm trên , ta được . Chọn D.
Cách 2. Ta có
Câu 120. Gọi là trung điểm của Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Theo giả thiết, ta có suy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng
Đặt Suy ra Tam giác vuông có Diện tích tam giác vuông Khi đó Chọn A. | I C B A S |
Câu 121. Từ Diện tích mặt đáy Thể tích khối chóp
| a a x y M D C B A S |
Xét hàm trên , ta được .
Suy ra . Chọn B.
Câu 122. Gọi là trung điểm của
Mà Giả sử . Suy ra Tam giác vuông có Khi đó | S A B C D H |
Chọn D.
Câu 123. Ta có tam giác và là những tam giác đều cạnh bằng .
Gọi là trung điểm . Trong tam giác , kẻ .
Ta có
● là đường cao của tam giác đều
● .
Từ và , suy ra . Diện tích tam giác đều là Khi đó Dấu xảy ra Chọn B. | N H C B A S x | |
Câu 124. Hình vẽ. Cách làm tương tự như bài trên. Tam giác đều cạnh bằng lớn nhất . Khi đó vuông. Trong tam giác vuông cân , có Chọn A. | N H C D B A x | |
Câu 125. Từ giả thiết ta có
Do vuông góc từng đôi nên
Dấu xảy ra Chọn C.
Câu 126. Đặt Ta có
c
b
a
z
y
x
S
A
B
C
Khi đó
Dấu xảy ra khi Chọn D.
Câu 127. Thể tích khối chóp là Ta có Mặt khác | N S A B C D M |
Dấu xảy ra Suy ra . Chọn B.
Câu 128. Đặt là độ dài cạnh của hình vuông đáy, là chiều cao của khối hộp với
Theo giả thiết ta có
Do
Khi đó thể tích của khối hộp .
Xét hàm trên , ta được
Chọn D.
Câu 129. Gọi là chiều cao lăng trụ; là độ dài cạnh đáy.
Theo giả thiết ta có .
Diện tích toàn phần của lăng trụ: .
Áp dụng BĐT Côsi, ta có
Dấu xảy ra khi Chọn A.
Câu 130. Gọi là tâm của hình thoi .
Theo bài ra, ta có
Từ và , ta có vuông tại .
Suy ra và
O
S
A
B
C
D
H
Diện tích hình thoi
Ta có , suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trong tam giác vuông , ta có
Khi đó
Suy ra Dấu xảy ra Chọn C.
Câu 131. Gọi là trung điểm của , kẻ
Tam giác cân suy ra Mà .
Suy ra
Từ và , suy ra nên
H
C
B
A
S
M
Tam giác vuông có
Tam giác vuông có
Tam giác vuông cân
Diện tích tam giác
Khi đó
Xét hàm , ta được Suy ra
Dấu xảy ra khi và chỉ khi Chọn B.
Cách 2. Đặt . Khi đó
Vì đôi một vuông góc nên
Suy ra
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Câu 132. Gọi là điểm sao cho là hình vuông.
Ta có .
Tương tự, ta cũng có . Từ đó suy ra .
Kẻ Khi đó Đặt Trong tam giác vuông có Suy ra | H D S A B C |
Thể tích khối chóp
Xét hàm trên , ta được
Chọn B.
Câu 133. Do tam giác đều cạnh là trung điểm
Ta có Mặt khác, . Suy ra Suy ra nên . Ta có . | F E N M B A O |
Đẳng thức xảy ra khi . Chọn B.
Câu 134. Đặt suy ra
Tam giác vuông có Diện tích tam giác vuông Ta có Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Chọn D. | C A B M N | |
Câu 135. Đặt Tam giác vuông có . Tam giác cân tại , có đường cao suy ra là trung điểm của nên . Tam giác vuông có Ta có | K H S B A C | |
Xét hàm trên , ta được Chọn A.
Câu 136. Vì là hình hộp chữ nhật suy ra
Khi đó là hình chiếu của trên mặt phẳng
Suy ra
Đặt
h
x
3
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
Tam giác vuông có
Tam giác vuông có
Thể tích khối hộp chữ nhật là
Áp dụng BĐT Côsi, ta có
Dấu xảy ra Chọn B.
Câu 137. Giả sử là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là
Tổng diện tích các mặt là
Theo giả thiết ta có
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của
⏺ Ta có
⏺ Ta có
Khi đó
Xét hàm số với ta được
Chọn C.
Nhận xét. Nếu sử dụng thì sai vì dấu không xảy ra.
Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng và độ dài đường chéo bằng Tính thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật đã cho. ĐS:
Câu 138*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng .
● Hình hộp chữ nhật có: và .
● Hình lập phương có: và .
Suy ra .
Ta có .
Đặt
Khi đó
Ta có
.
Xét hàm trên đoạn , ta được
Chọn D.
Câu 139*. Do là trọng tâm
Do đồng phẳng nên
Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có
Suy ra . Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: , , và . Suy ra .
Khi đó mặt phẳng cắt lần lượt tại
và
Vì .
Ta có
Câu 140*. Gọi
Vì mặt phẳng di động đi qua các điểm và cắt các cạnh lần lượt tại hai điểm phân biệt nên ta có đẳng thức
Q
P
N
M
S
D
A
B
C
Ta có
Xét hàm trên đoạn , ta được Chọn B.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới