Phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc trong hình không gian 11

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

ỨNG DỤNG KHOẢNG CÁCH

ĐỂ TÍNH GÓC TRONG HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11

Bài toán tính góc trong không gian là dạng bài quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Đây cũng là dạng toán thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây.

Giữa hai bài toán tính góc và tính khoảng cách có mối liên hệ rất chặt chẽ. Bài viết này đề cập đến một trong những ứng dụng của khoảng cách, đó là tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

I. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Lý thuyết

Trong không gian, cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc và không song song với nhau. Gọi . Ta biết rằng:

với là hình chiếu của trên , và , , là hình chiếu của trên .

Từ đó ta có: .

Như vậy việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể quy về việc tính khoảng cách từ tới và tính độ dài .

2. Ví dụ minh họa

1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, , , , cạnh bên , . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Trong mặt phẳng kẻ tại .

Trong mặt phẳng dựng tại .

Chứng minh được. Từ đó ta có: .

Trong có .

.

Ta có: .

Gọi . Ta có .

Gọi . Ta có .

1. Cho hình chóp đều có . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính tan của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi , ta có là trung điểm của .

Vì là hình chóp đều nên .

là hình vuông cạnh .

có , vuông cân tại

Gọi , . Ta có

Ta có

Kẻ tại và tại . Ta chứng minh được: . Khi đó:

Xét vuông tại là đường cao nên: .

.

Ta có: vì .

Từ đó ta có:.

1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , , . Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có nên suy ra được tam giác đều cạnh .

Gọi là trung điểm của thì nên .

Do đó .

Xét tam giác tam giác vuông có , suy ra .

Vì nên

Mà .

Suy ra .

1. Cho hình hộp có đáy là hình chữ nhật cạnh , . Gọi là trọng tâm tam giác , là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , là trọng tâm tam giác . Ta có: .

Gọi là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên , ta chứng minh được .

Ta có: .

Mà .

.

1. Cho lăng trụ tam giác đều , . Gọi là trung điểm , là góc tạo bởi và . Tính .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Gọi là trung điểm , là góc giữa và . Ta có:

Ta có:

.

Mặt khác là trung điểm nên

Gọi là giao điểm của và , ta có

Mặt khác

Suy ra

.

II. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1. Lý thuyết

a) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Trong trường hợp 2 mặt phẳng cắt nhau: “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm”.

c) Ứng dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng

Gọi và . Ta có:

Như vậy, bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng có thể quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

2. Ví dụ minh họa

1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi .

Ta có: và .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .

Khi đó: .

.

Từ đó ta có: .

Ta có: và

Suy ra: .

1. Cho hóp chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm tam giác Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Dựng đường cao của hình chóp.

Gọi .

Ta có: song song với .

Khi đó: thẳng hàng và .

Ta có: .

Dễ thấy tam giác vuâng cân tại nên .

Chứng minh được:

Trong tam giác dựng hai đường cao

Ta có:

Do đó:

.

1. Cho khối chóp có đáy là hình bình hành, , cạnh bên và vuông góc với mặt đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có: .

Gọi là trung điểm của . Ta có: .

Dễ dàng chứng minh được đồng quy tại . Như vậy là trung điểm của , là trung điểm của .

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Ta có: .

Hạ .

.

.

Ta có .

.

, , .

Mặt khác .

Vậy .

1. Cho hình hộp chữ nhật có Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là hình chiếu vuông góc của lên mp. Khi đó:

Ta tính được

Ta có: với

Trong tam giác :

Đặt ta có

Do

Trong tứ diện :

Vậy,

1. Cho hình lăng trụ đứng có , . Gọi là trung điểm của . Tính sin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi . Dễ thấy là trung điểm của .

Ta có .

* Tính

Do đó từ suy ra

* Tính

Ta có

Do đó

Vậy từ suy ra .

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , với là tâm của đáy. Gọi là trung điểm cạnh , là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là trung điểm của . Do là hình chóp tứ giác đều nên và tứ giác là hình vuông.

Trong , gọi , , .

Ta có: (1)

Do nên (2)

là đường trung bình của và .

Suy ra .

.

Ta có là tứ diện vuông nên

(3).

Thay (2), (3) vào (1) được .

1. Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi cạnh ,  và . Hình chiếu vuông góc của điểm  lên mặt phẳng  trùng với trọng tâm của tam giác . Gọi  là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi  là trọng tâm của tam giác . Theo giả thiết ta có .

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  và mặt phẳng .

Ta có .

Kẻ  tại P.

+) đều .

+) .

+) .

Do  là hình thoi cạnh  và  nên tam giác  là tam giác đều .

Từ đó ta có: .

1. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng . Tính côsin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có .

Gọi là góc giữa mặt phẳng và , khi đó .

Gọi là trung điểm của . Ta có mặt khác .

Suy ra . Do đó: .

Trong mặt phẳng kẻ . Tam giác cân tại có suy ra .

Suy ra . Vậy .

1. Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là trung điểm của . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là tâm hình chữ nhật và là giao điểm của và .

Ta có .

Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng và . Khi đó: .

Gọi , suy ra là trung điểm của vuông tại .

Dựng .

Từ và suy ra .

Tam giác có , .

.

Ta có: ; .

.