Chuyên đề hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

1. Xét các hình chóp – giác ( là số tự nhiên tùy ý lớn hơn ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a/ Đáy có tất cả các cạnh đều bằng .

b/

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao của hình chóp nêu trên.

Hướng dẫn giải

Chứng minh nếu hình chóp tồn tại thì khi đó hình chóp là đều:

Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau

Đặt : ; ; ..... ; .

Dùng định lý cosin trong các tam giác ; ; ...; ta có:

.......................................................

.

Đặt , ta có hệ: với

Trên đồng biến.

Do đó: thì vô lý.

Thật vậy: nếu . Ta có ( vô lý)

Tương tự nếu cũng suy ra điều vô lý: . Vậy .

Do ta được . Từ đó ta được: .

Chứng minh đáy là đa giác đều. Từ suy ra hình vuông góc của lên đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều.

a) Tìm lớn nhất, nhỏ nhất.

b) Chứng minh .Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh .

Ngoài ra: ; ; ...; .

Do đó: .

• Tính và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của :

Xét tam giác vuông : .

.

; ; .

• Do đó giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là .

1. Cho hình lập phương cạnh .Gọilần lượt là trung điểm của các cạnh và. là tâm của hình vuông. là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng và sao cho vuông góc với và cắt .Tính độ dài đoạn theo .

Hướng dẫn giải

A

B

C

D

G₁

E₁

M

H₁

I₁

N₁

C

C’

A

B

D

E₁

A’

B’

D’

E

G

H

H₁

N₁

I₁

I

M

G₁

Xác định đoạn

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .

Do (gt) và Ksuy ra , suy ra tại .

Mà theo giả thiết cắt tại suy ra mà là trung điểm của đoạn nên phải là trung điểm của .

Từ đó suy ra cách dựng hai điểm .

Tính độ dài

Đặt .

Xét tam giác vuông, ta có: .

Xét tam giác vuông , ta có: ..

(Cách khác: Gọi là trung điểm của , suy ra được ở trên , suy ra .)

.

Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian....

1. Cho hình chóp tứ giác đềucó cạnh đáy ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp .

Hướng dẫn giải

Chiều cao của hình chóp:

Thể tích của hình chóp:

Trung đoạn của hình chóp

Diện tích xung quanh của hình chóp:

1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy , ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc.

a) Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp.

b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp .

Hướng dẫn giải

(bán kính mặt cầu nội tiếp)

Thể tích hình chóp :

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của với các mặt bên của hình chóp:

Bán kính đường tròn giao tuyến:

Diện tích hình tròn giao tuyến:

1. Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng đựng nước cao lên so với mặt trong của đáy. Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu). Hãy tính bán kính của viên bi.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình :

Với lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước.

Bấm máy giải phương trình:

Ta có:

B. Xét hai độ dài khác nhau . Tìm điều kiện của để tồn tại tứ diện có một cạnh bằng và các cạnh còn lại đều bằng .Với tứ diện này, hãy xác định mặt phẳng sao cho thiết diện của mặt phẳng và tứ diện là một hình vuông .Tính diện tích của hình vuông theo và .

Điều kiện độ dài :

+ Giả sử tứ diện tồn tại. Gọi là cạnh bằng , các cạnh đều cùng bằng . Gọi là trung điểm cạnh .Tam giác là tam giác cân:

. Từ Suy ra:

+Ngược lại với: .Dựng tam giác đều cạnh với chiều cao .

Dựng tam giác cân có , nằm trong mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng .Ta có: mp. Tứ diện thỏa điều kiện bài toán.

Xác định mặt phẳng :

+ Giả sử thiết diện là hình vuông . Các mặt của tứ diện lần lượt chứa các đoạn giao tuyếnđược gọi tên là mặt , mặt , mặt , mặt .

Do nên cạnh chung của mặt và mặt ; cạnh chung của mặt và mặt nằm trên hai đường thẳng song song với mp .

Ngoài ra hai đường thẳng này vuông góc với nhau, vì vuông góc .

+ Do khác nên tứ diện chỉ có một cặp cạnh đối vuông góc , đó là và .

Vì vậy mặt phẳng phải song song với và .

+ Gọi giao điểm của mp với , lần lượt là .Đặt: .

Ta có: ;. Từ ta có : .

+ Diện tích của hình vuông là :

........................................................................................................................................

1. Cho hình chóp tứ giác , có đáy là một hình bình hành. Gọi là trọng tâm tam giác . là một điểm thay đổi trong miền hình bình hành .Tia cắt mặt bên của hình chóp tại điểm .Đặt

1/ Tìm tất cả các vị trí của điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

2/ Tìm giá trị lớn nhất của .

Hướng dẫn giải

1/

+ .Dấu bằng khi và chỉ khi .

+ cắt mp tại tâm của hình bình hành . Gọi là trung điểm của . Từ dựng mặt phẳng song song với mp cắt lần lượt tại . Từ dựng mặt phẳng song song với mp cắt tại .

Ta có : trùng thuộc cạnh hình bình hành

Nối cắt cạnh hình bình hành tại , ta có : .

+ Từ đó khi và chỉ khi thuộc cạnh hình bình hành

là hình chiếu song song của hình bình hành lên mp

theo phương .

2/

+ Miền hình bình hành hợp bởi các miền tam giác

thuộc miền hình bình hành nên thuộc một trong bốn miền tam giác này. Chẳng hạn thuộc miền . ; ; .

Do đó thuộc miền và thuộc đoạn , với và lần lượt là trung điểm của và .

Do đó: . Vì vậy: hay .

+Đặt : Ta có : với .

vàø . .

+Giá trị lớn nhất của là : . Đạt khi trùng với hoặc các đỉnh .

1. Cho tứ diện có diện tích các tam giác và là và. Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt và cắt tại . là góc giữa hai mặt và .

Chứng minh:

a/

b/ Diện tíchcủa tam giác là: .

Hướng dẫn giải

Câu a:

+ Do ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị

diện cạnh nên khoảng cách từđến hai mặt phẳng

, bằng nhau và kí hiệu là .

+ Do đó:

Câu b:

+ Tính công thức thể tích tứ diện:

K

A

D

S

M

C

+ , áp dụng công thức tính thể tích trên ta suy ra:

Rút gọn, được: .

1. Với hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, kí hiệuvà lần lượt là khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng .

a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện thỏa điều kiện:

thì trong ba số: có một số bằng tổng hai số còn lại.

b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện thỏa điều kiện:và thì nó là hình chóp tam giác đều.

Hướng dẫn giải

C₁

A

C

D

B₁

D₁

a /

• Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện.

A₁

• Giả thiết

suy ra các mặt của hình hộp cùng diện tích .

Đặt

.

• Từ hình bình hành ta có:

B

• Chú ý: . Do đó:

Tương tự:

• Nếuthì .
• Các trường hợp khác cũng có kết quả như thế.

b/

• Từ các kết quả câu a/ nếu thêm

thì .

• Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc đôi một.
• Lúc này ta cũng có:
• Suy ra . Vì vậy phải có ít nhất một mặt của tứ diện là một tam giác đều. Từ đólà hình chóp tam giác đều.

1. Trong không gian cho ba tia không đồng phẳng và ba điểm( khác điểm ) lần lượt trên .Dãy số (a_n) là một cấp số cộng có và công sai . Với mỗi số nguyên dương, trên các tia theo thứ tự lấy các điểmsao cho .Chứng minh các mặt phẳngluôn luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải

+ Phát biểu và chứng minh mệnh đề:

Nếu hai điểm phân biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc đường thẳng là tồn tại cặp số thực thỏa:

, với điểm tùy ý.

+Từ giả thiết: là cấp số cộng công sai nên: .

+ áp dụng nhận xét trên, ta có:

thì .

và

Thế vào trên ta được: suy ra cố định, nên đường thẳngluôn đi qua một điểm cố định .

+ Tương tự, chứng minh được:

• luôn đi qua một điểm cố định xác định bởi: .
• luôn đi qua một điểm cố định xác định bởi:

Vậy các đường thẳng lần lượt đi qua ba điểm cố định.

+Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

Ta có: , , .

Do đó:

Vậy thẳng hàng. Điều này chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua một đường thẳng cố định.

1. Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có một điểm chung duy nhất. là một điểm của không gian, các đường thẳng đi qua song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng còn lại lần lượt tại . Biết .Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác.

Hướng dẫn giải

+ Gọi là giao điểm của 3 mặt phẳng. là 3 giao tuyến . Dùng tính chất hình hộp và tính chất trọng tâm, ta có: , với là trọng tâm của.

_

U

_

C

_

V

_

M

'

_

O

_

M

_

A

_

C

_

B

+ Tìm tập hợp các điểm :

Ba mặt phẳng chia không gian làm 8 miền. Ta chỉ cần xét một miền: Gọi thuộc : .

Chứng minh được: M thuộc miền trong tam giác khi và chỉ khi: với .

Mà .

Do đó: Tập các điểm là miền trong của tam giác .

Suy ra các điểm ( trọng tâm của tam giác ) là ảnh của miền trong tam giác qua phép vị tựtâm tỉ

1. Cho hình chóp , đáy là hình chữ nhật có ,. là hình chiếu vuông góc của xuống .

a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của và .

b/ Gọilần lượt là trung điểm của đoạn thẳng và . Chứng minh: Các đường thẳng và vuông góc nhau.

Hướng dẫn giải

_

D

_

C

_

B

_

A

_

S

_

O

_

K

_

M

_

N

a) + Theo giả thiết ta được: .

Mà và B.

+ Gọi là hình chiếu của xuống

và ( vì )

⇒ là đoạn vuông góc chung của và .

Suy ra được: và vuông tại .

+ Do vuông đỉnh nên: .

+ cân đỉnh , là đường cao nên

+ Do vuông tại nên:

b) + ( vì là trung điểm của )

+

+ .

+ Do đó:

Vậy: .

( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor).

1. Cho tứ diện cóhai cạnh đối bằng và các cạnh còn lại bằng .

a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứ diện.

b/ Giả sử tứ diện thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh lần lượt ở trên mặt cầu cố định và đồng tâm.Chứng minh rằng đỉnh luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài thay đổi thỏa các giả đã cho.

Hướng dẫn giải

I

J

A

B

C

D

D’

A’

K₀

a)

• Ta có thể giả sử và các cạnh còn lại

bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Ta dễ dàng suy ra vuông góc với và

và chính là trục đối xứng của tứ diện.

• Lấy tùy ý trong không gian, là điểm đối xứng

của qua suy ra trung điểm của chính là

hình chiếu của trên đường thẳng và ta có:

.

( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng

của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó).

• Do đó:
• Bài toán trở thành tìm điểm trên sao cho bé nhất.
• Trong mặt phẳng dựng hình thang sao cho là trung điểm của hai đáy và . Ta thấy rằng: với tùy ý trên thì và. Do đó:

.

• Vậy nhỏ nhất khi chính là giao điểm của hai đường chéo và.
• Tính .
• Tính .
• Tổng các khoảng cách nhỏ nhất là:.

b)

• Gọi là bán kính các mặt cầu tâm và lần lượt đi qua các đỉnh . Ta có:
• . Do đó ở trong hình cầu cố định tâm , bán kính .

1. Cho tam giác có góc nhọn. là điểm di động trên . lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .Tìm tập hợp các điểm không phụ thuộc mặt phẳngsao cho:

.

( ký hiệu là góc giữa hai đường thẳng )

Hướng dẫn giải

+ Với tứ diệnta chứng minh:

và .

Thật vậy ta có đẳng thức: . Từ đó nếu:

thì

Với nhận giá trị hay. Mặt khác ta có bất đẳng thức đối với các cạnh của tứ diện là:

, nên .

+khi và chỉ khi hình chiếu lên là trực tâm tam giác .

+ Đặt . Gọi là hình chiếu của và lên . Ta có:

mà ta có:

+Suy ra: . Tập hợp các điểm là đoạn .

Vậy tập hợp các điểm là dải mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng lần lượt đi qua và vuông góc mặt phẳng .

1. Cho tứ diện đều . Mặt phẳng chứa cạnh và cắt cạnh của tứ diện tại . Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các mặt phẳng và
   a, cm
   b, Cho . Tính tỉ số thể tích 2 tứ diện và
2. Cho hình chóp đáy là hình thang và . Gọilần lượt là trung điểm của . Mặt phẳng cắt tại . Tính tỉ số .
3. Cho tam giác đều :
4. M là điểm nằm trong tam giác sao cho . Hãy tính góc
5. Một điểm nằm ngoài mặt phẳng sao cho tứ diện đều, gọi là trung điểm của các cạnh và . Trên đường thấng và ta chọn các điểm sao cho . Tính độ dài biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng .
6. Trong mặt phẳng cho đường tròn Đường kính cố định và điểm di động trên . Gọi là điểm cố định trên đường thẳng vuông góc với mp tại . Hạ các đường lần lượt vuông góc với và .

2.1 Chứng minh rằng .

2.2 Tìm quỹ tích của điểm khi di động trên .

1. Cho hình lập phương cạnh .
2. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
3. Gọi , , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , , sao cho . Chứng minh rằng trọng tâm tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định khi , , thay đổi.
4. Cho hình lăng trụ có đáy là hình thoi lần lượt là trung điểm của và . Mặt phẳng cắt tại .
5. Chứng minh tam giác là tam giác vuông.
6. Mặt phẳng cắt tại . Tính tỉ số .
7. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , , . Gọi là trung điểm của .
8. Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng đi qua , vuông góc với .
9. Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo .
10. Cho tứ diện có vuông góc với và chân đường vuông góc hạ từ đến mặt phẳng là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng .
11. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm .
12. Chứng minh tứ giác là hình bình hành. Tìm điều kiện của tứ diện để là hình thoi.
13. Mặt phẳng đi qua N và song song với . Xác định thiết diện của và tứ diện . Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

1. Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều với cạnh (). Cạnh vuông góc với đáy và . là một điểm khác trên sao cho . Tính tỉ số .

Hướng dẫn giải

Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ. Suy ra ta có:, , và . Suy ra phương trình của là

Gọi thuộc cạnh , ta có:

.

Mặt khác ⇔

hay

1. Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành tâm và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. Một mặt phẳng thay đổi và luôn cắt các cạnh bên của chóp, gọi giao điểm của với các cạnh bên lần lượt là . Đặt , , , . Chứng minh rằng: .
2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng , mặt bên là tam giác đều và mp vuông góc với mp.
   1. Tính các khoảng cách: , , .
   2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
   3. Mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng cắt hình chóp đã cho theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo .
3. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi là trọng tâm của tam giác , là hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng.

1/. Chứng minh rằng : là trực tâm của tam giác.

2/. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Hướng dẫn giải

S

A

K

O

B

C

H

2a

3a

M

1/. Gọi là trung điểm của cạnh .

Do đều, là trọng tâm của nên ta có .

Do nên là hình chiếu vuông góc của lên .

Theo Định lí ba đường vuông góc ta có .

Mặt khác do là hình chiếu vuông góc của lên nên và Suy ra.

Suy ra (1)

* Do đều nên ta có

Do nên.

Từ đó suy ra.

Suy ra .

Mặt khác

Từ đó ta có .

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm của .

2/. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên .

Do đó ta có.

Ta có đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên.

Vì vậy góc giữa đường thẳng và bằng góc giữa đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng bằng góc .

Do và nên

Xét vuông tại có , .

Suy ra

Từ đó ta có góc .

Kết luận: .

1. Cho tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Chứng minh với mọi điểm trong không gian ta đều có:

1. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau nhận làm đường vuông góc chung ( thuộc và thuộc ). Trên lấy điểm cố định, trên lấy hai điểm di động sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

a/. Chứng minh trực tâm tam giác cố định.

b/. Xác định để diện tích tam giác là nhỏ nhất.

1. Cho tứ diện có , mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt cạnh lần lượt tại (khác).

Chứng minh rằng: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .

1. Cho hình chóp , có đáy là hình chữ nhật với và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là hình chiếu vuông góc của trên .

1/. Chứng minh rằng .

2/. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

1. Cho góc tam diện thỏa mãn góc . Trên tia lấy điểm sao cho cho trước. Trên tia phân giác của góc lấy điểm thỏa mãn .

Tính các góc của tam giác.

1. Cho hình thang vuông có, và là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng.

1/. Xác định vị trí của điểm để hai đường thẳng và vuông góc với nhau.

2/. Lấy điểm thuộc đường thẳng vuông góc với tại sao cho , xét mặt phẳng qua điểm và vuông góc với . Mặt phẳng cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện theo biết và?.

1. Cho tứ diện có các đường cao đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo thứ tự tại .  Chứng minh:

1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. lần lượt là trung điểm của,.

a/. Tìm giao tuyến của và.

b/. Tìm giao điểm của và , tính tỷ số .

Hướng dẫn giải

S

A

B

C

D

M

N

K

I

J

a/. Trªn gäi lµ giao ®iÓm cña vµ.

Ta cã: lµ ®iÓm chung thø nhÊt cña 2 mp vµ .

MÆt kh¸c:

- nªn

- nªn do ®ã .

- nªn

lµ ®iÓm chung thø 2 cña 2 mp vµ .

VËy: giao tuyÕn cña vµ lµ.

b/. Trªn gäi lµ giao ®iÓm cña vµ.

Ta cã: , mµ nªn .

VËy lµ giao ®iÓm cña vµ .

Gäi lµ trung ®iÓm cña th× lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c nªn .

MÆt kh¸c dÔ thÊy lµ träng t©m tam gi¸c nªn . Do ®ã: .

Suy ra: nªn : .

1. Cho hình thoi có Gọi là trung điểm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

a/. Khi Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .

b/. Tính theo độ dài của để góc giữa và có số đo lớn nhất.

Hướng dẫn giải

A

S

B

C

D

H

M

K

I

N

a/. Ta có

vuông tại.

Gọi là giao của và.

Ta có: vuông tại .

Kết hợp với

b/. Gọilà góc giữa và ; là hình chiếu vuông góc của lên ; là giao của với . Lấy đối xứng với qua .

Vì . Kết hợp với .

Mà là đường trung bình của tam giác nên .

Suy ra tại . Suy ra vuông tại và là hình chiếu của trên. Ta có .

Đặt . Tam giác vuông tại và là đường cao nên

.

Tam giác vuông tại nên .

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi .

Vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất khi và chỉ khi

1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

a/. Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b/. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

A

S

B

C

D

H

M

N

Hướng dẫn giải

a/. Vì là hình chiếu của trên nên

góc giữa và là

( vì tam giác vuông tại nên nhọn)

Tam giác đều cạnh nên

Ta có

Trong tam giác ta có:

b/. Ta có

vuông tại.

Gọi là giao của và . Suy ra vuông tại .

Kết hợp với

1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi là hình chiếu của trên .

a/. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b/. Tính độ dài đoạn thẳng theo .

Hướng dẫn giải

S

A

B

C

H

a/. Ta có (Vì vuông tại ) (1)

(Vì ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

b/. Ta có (theo giả thiết) (3)

Từ (3) và (4) suy ra hay tam giác vuông tại .

Tam giác vuông tại có là đường cao nên

Tam giác vuông tại nên

Do đó,

1. Cho hình chóp, là điểm nằm trong hình chóp. Kéo dài cắt mặt phẳng tại. Chứng minh:

1. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của

a) Tính góc giữa và biết , .

b) Giả sử . Chứng minh rằng:

1. Cho hình lập phương . Một mặt phẳng bất kì đi qua và cắt cạnh ở , cắt cạnh ở .

a) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành và .

b) Tìm để diện tích tứ giác đạt GTNN.

1. Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại . Trên lấy điểm và điểm sao cho vuông góc với .

a) Chứng minh rằng .

b) Tìm điều kiện cần và đủ để nằm cùng phía đối với trên đường thẳng .

1. Cho hình chóp đáy là đa giác đều . cố định trên . Mặt phẳng quay quanh trục cắt tại
2. Xác định mặt phẳng để diện tích tứ giác nhỏ nhất.
3. Cho ; . Tính diện tích tứ giác .
4. Cho tứ diện có Gọi , lần lượt là trọng tâm của các mặt đối diện với đỉnh và đỉnh .
5. Chứng minh rằng: .
6. Gọi là đường cao của tứ diện, thuộc mặt phẳng là trực tâm . Kéo dài cắt tại . Chứng minh .
7. Cho 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Gọi là đường vuông góc chung và là 2 điểm di động trên sao cho không đổi. là điểm cố định trên .
8. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác cố định.
9. Tìm tập hợp hình chiếu của trên .
10. Cho góc tam diện vuông , tia bất kì nằm trong góc tam diện. Gọi theo thứ tự là góc hợp bởi tia với các tia

Chứng minh rằng:

1. Chứng minh rằng nếu một tứ diện thỏa mãn điều kiện vuông góc với và vuông góc với thì vuông góc với .
2. Cho hình chóp . đáy là hình bình hành, cắt tại và:. Chứng minh: vuông góc với mặt phẳng

a)Cho tứ diện và là Một điểm nằm trong . Chứng minh:

b)Gọi và là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Hỏi tứ diện nào có tỉ số lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Hướng dẫn giải

a) Gọi là giao điểmcủa và , ta có :

Hay : (1)

A

D

B M K

C

tương tự : (2)

(3)

Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có đpcm. 

b) Gọi và lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ta có :

Mặt khác ta có :

Từ (1) và (2) hay . đẳng thức xảy ra là tứ diện đều.

Và khi đó

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và độ dài . Một mặt phẳng đi qua cắt cạnh lần lượt ở . Đặt .

a)Tính diện tích tứ giác theo .

b) Xác định để thể tích hình chóp bằng lần thể tích hình chóp .

Hướng dẫn giải

a) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểmcủa và . Áp dụng định lý cosin trong tam giác ta có : .

Theo Tính chất đường phân giác trong ta có : .

S

L

N

D C

H

A

B Hình 2

M

K

P

.

b) Gọi hình chóp đều đó là , vì thiết diện cắt tất cả các mặt bên nên các đỉnh của ngũ giác đều nằm trên các cạnh tương ứng

Không mất tính tổng quát, hình chiếu trên mặt phẳng vuông góc với cạnh .(xem hình 3)

S’

N’

M’

P’

A’

B’ K’

Hình 3

Giả sử

VÌ nên

(vì )

.

Giả sử Ta có : và ()

(Do )

⇔ . Vậy mặt bên của hình chóplà tam giác đều.

1. a) Cho hình chóp tứ giác đều . Trên cạnh lấy điểm . Thiết diện tạo thành do mặt phẳng đi qua và song song với cắt lần lượt tại

Tính diện tích thiết diện đó khi cho cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng và .

b) Giả sử thiết diện của hình chóp tứ giác đều là một ngũ giác đều. Hãy chứng minh rằng mặt bên của hình chóp này là các tam giác đều.

1. Cho hình chóptam giác đều , cạnh đáy bằng và mỗi mặt của góc tam diện đỉnh bằng .
2. Hỏi phải cắt hình chóp bằng một mặt phẳng đi qua như thế nào để thiết diện tam giác thu được có chu vi nhỏ nhất.
3. Tính giá trị chu vi nhỏ nhất đó theo .
4. Cho lăng trụ . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Gọi là trung điểm .

a)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng .

b) Gọi . Tính tỉ số và.

Hướng dẫn giải

+) Xác định được điểm và suy ra hai giao tuyến và

+) Xác định được điểm ; suy rađược đoạn giao tuyến và

+) Kết luận thiết diện là tứ giác

b,(1,25)

+) Xét tam giác có

+) Trong Dựng , khi đó

+) Xét tam giác có:

Suy ra là trung điểm . Vậy

1. Cho hình chóp có đáy là hình thang và . Gọi lần lượt là trung điểm của .

a)Chứng minh rằng: .

b) Chứng minh: và không song song với .

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi . Thiết diện là hình gì?

1. Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm bán kính và điểm cố định trên Tứ giác biến thiên nội tiếp trong sao cho đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm . Nối với
2. Chứng minh cạnh vuông góc với nhau.
3. Nêu cách xác định điểm cách đều điểm
4. Tứ giác là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm GTLN đó theo

Hướng dẫn giải

H

A

B

C

D

d

S

O

d’

I

K

P

a, Vì nên là hình chiếu của trên mp

Theo gt nên theo định lí đường vuông góc ta có .

b, Cách dựng:

Qua kẻ đường thẳng vuông góc với mp.

Dựng mp là mp trung trực của .

Giao của mpvà đường thẳng là điểm cần xác định

CM:

Vì nên cách đều .

Vì nên cách đều và .

Vậy điểm vừa dựng cách đều điểm .

c, . Kẻ tại . Kẻ tại

Ta có

Để tứ giác có diện tích lớn nhất thì độ dài và lớn nhất khi và chỉ khi

Vậy tứ giác là hình vuông. Khi đó

1. Cho hình vuông cạnh tâm . gọi là điểm nằm ngoài mặt phẳng sao cho , là điểm tùy ý trên với . Mặt phẳng qua và song song và cắt lân lượt tại .

a)Tứ giác là hình gì?

b). Tính diện tích theo và . Tìm để diện tích lớn nhất.

1. Cho hình lập phương cạnh .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng và .

b) Gọi lần lượt là các điểm thuộc các cạnh sao cho . Chứng minh rằng trọng tâm tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định khi thay đổi.

1. Cho hình chóp cố định có các góc tam diện đỉnh ba mặt vuông. Hình lăng trụ thay đổi sao cho ; các điểm lần lượt thuộc . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ theo thể tích khối chóp
2. Cho hính chóp có ,diện tích tam giác là .Gọi là điểm di động trên , là trung điểm của . Biết vuông góc với mặt phẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác theo và .
3. Cho hình chóp . Xét các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh sao cho . Chứng minh rằng khi các điểm thay đổi thì mặt phẳng đi qua một điểm cố định.
4. Cho hình hộp . Hãy xác định các điểm theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng và sao cho song song với .
5. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Biết cạnh bên vuông góc với

a)Tính góc giữa các mặt phẳng và với .

b) Gọi là giao điểm của hai đường chéo và .Tính khoảng cách từ đến

Hướng dẫn giải

Hình vẽ ;

a).

Góc giữa với chính là góc

Góc giữa với là góc

Ta có

b). Từ kẻ . Nối và từ kẻ

Vậy chính là khoảng cách cần tìm

Ta có ;

Từ đó ta có kết quả ;

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt đáy .

a) Gọi là trung điểm . Tính góc giữa và .

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mpđi qua và vuông góc với . Tính diện tích của thiết diện đó.

1. Cho hình tứ diện có đáy là tam giác đều cạnh , mặt bên là tam giác cân đỉnh , cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng .

a) Chứng minh rằng vuông góc với .

b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .Chứng minh nằm trên

trung tuyến của tam giác . Tính , biết tam giác vuông.

c) Gọi là trung điểm . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua và

vuông góc với .

1. Cho tứ diện có , , . là điểm tùy ý trên cạnh , là mặt phẳng qua và song song với và cắt lần lượt tại Tìm vị trí của và điều kiện của để thiết diện là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.
2. Cho tứ diện . Tìm trong không gian sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm .

1) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

3) Tính tỉ số

1) Trong mp dựng đường thẳng qua song song với cắt tại , suy ra là trung điểm của

Do Suy ra thuộc mp

2) Ta có là giao tuyến của và mp

Mặt khácsuy ra nằm trên giao tuyến của mp và mp

Vậy thẳng hàng.

3) Xét tam giác có là trọng tâm nên .

1. Cho hình chóp , có đáy là hình chữ nhật với và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là hình chiếu vuông góc của trên .

a)Tính độ dài theo .

b)Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng . CMR các đoạn thẳng và vuông góc với nhau.

1. (HSG Nghệ An 2016) Cho hình thoi có Gọi là trung điểm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
2. Khi . Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3. Tính theo độ dài của để góc giữa và có số đo lớn nhất.

Hướng dẫn giải

1. (HSG Hà Tĩnh 2008) Cho hình thang cân có đáy lớn, đáy nhỏ, các cạnh bên. Trên nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lấy điểm (không trùng với A). Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với cắt các cạnh tại .

a. Chứng minh rằng: là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

b. Khi điểm chạy trên nửa đường thẳng, chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải

1. (HSG Nghệ An Bảng B 2016) Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Gọi là trung điểm của đoạn, là hình chiếu vuông góc của lên.
2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp.
3. Biết góc tạo bởi đường thẳng và mp bằng 30⁰. Tính diện tích tam giác .
4. (HSG Quảng Bình 2011) Cho tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và. Mặt phẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại các điểm với AM = , AN = ().

a) Chứng minh đồng qui hoặc song song và là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng: . Suy ra: .

c) Tính diện tích tứ giác theo và .

1. (HSG Vĩnh Phúc 2011) Cho hình hộp có tất cả các mặt đều hình vuông cạnh
2. Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác.
3. Hãy xác định các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho vuông góc với mặt phẳng. Tính độ dài đoạn theo.
4. (HSG Vĩnh Phúc 2016) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc với mặt phẳng . Biết và

a) Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với và chứng minh rằng

b) Tính diện tích tứ giác

Hướng dẫn giải

Trong gọi

Trong gọi

Ta có , mà . Suy ra

Suy ra . Mà .Vậy

b) Ta có; ;

Do , do đó .

Tương tự phần (a) thì . Từ đó tính được

Suy ra

1. (Bình Sơn Vĩnh Phúc) Cho hình chóp tứ giác đều có đường cao. Mặt phẳng

đi qua và vuông góc với, cắt tại sao cho: và cắt các cạnh

bên lần lượt tại .

a) Tính tỷ số diện tích thiết diện và diện tích đáy hình chóp.

b) Cho biết cạnh đáy của hình chóp là a . Tính .

1. (HSG Vĩnh Phúc 2012) 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , các cạnh bên bằng nhau và bằng (). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo .

2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng .

3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi . Do nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D.

Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra .

Ta có .

Vậy .

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.

Trong tam giác vuông SAK ta có , kết hợp với giả thiết ta được (1)

Trong tam giác vuông SDC ta có (2)

Từ (1) và (2) ta được , từ đó suy ra hay suy ra SB vuông góc với SC.

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên suy ra , tương tự ta chứng minh được và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy .

Ta có

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G. Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.

1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm thuộc cạnh sao cho , điểm là trọng tâm tam giác.
2. Chứng minh rằng song song với mp
3. Gọi () là mặt phẳng chứa và song với . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp()
4. Xác định điểm thuộc và điểm thuộc sao cho song song với. Tính theo .

Hướng dẫn giải

a) Gọi là trung điểm của

Ta có mà nên

b) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt và lần lượt tại và. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Thiết diện của hình chóp với mp() là tứ giác .

Ta có vì cùng song song với

nên tam giác bằng tam giác suy ra do đó là hình thang cân

Ta có

.Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có

Diện tích thiết diện là

c) Qua dựng đường thẳng song song với cắt tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.

Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN

Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có ,

Suy ra

1. Cho tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và. Mặt phẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại các điểm với ().

a) Chứng minh đồng qui hoặc song song và là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng: . Suy ra: .

c) Tính diện tích tứ giác theo và .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ,, , phân biệt nên song song hoặc đồng qui.

Gọi là trung điểm, ta có: nên , do đó

Các mặt phẳng đi qua cắt theo các giao tuyến lần lượt là nên : . Suy ra : hay là hình thang.

Ta có: là các tam giác đều,

Nên. Suy ra : , hay là hình thang cân.

b) Ta có:

Vì : nên ;

Mặt khác:

. Vậy : .

c) Ta có: , ,

Gọi h là chiều cao hình thang cân MNPQ, ta có:

Vậy:

1. (HSG Hà Tĩnh 2013) Cho hình chóp SABC có và tam giác vuông tại. Biết và góc giữa hai mặt phẳng bằng với . Tính độ dài theo a.

Gọi là hình chiếu của lên.

Ta chứng minh được

. Suy ra vuông tại K và . Do đó

Đặt . Trong tam giác vuông ta có

C

A

B

S

H

K

x

a

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có

Ta có , vì x > 0. Vậy

1. (HSG Quảng Bình 2013) Cho hình chóp, có đáy là hình thang cân và,. Mặt bên là tam giác đều. Gọi là giao điểm của và. Biết vuông góc với.

a) Tính.

b) Mặt phẳng () qua điểm thuộc đoạn ( khác) và song song với hai đường thẳng và.

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Biết. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

1. Dễ thấy đáy là nữa hình lục giác đều cạnh.

Kẻ ( thuộc). Suy ra và vuông góc.

Ta có: .

Xét tam giác có

Xét tam giác vuông có ,

1. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại

Qua kẻ các đường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Thiết diện là ngũ giác.

Ta có: cùng vuông góc với.

=

.

Ta có: .

Suy ra:

Diện tích lớn nhất bằng khi

1. (HSG Đà Nẵng 2011) 1) Cho hình hộp Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng: .

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N.

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=AC∩BD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q.

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P.

Thiết diện là lục giác MNPQRS

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

⇒ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

⇒ ⇒ MJ=NK và PK=QI

⇒ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S₁ và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S₂, S)

Đặt ta có điều kiện và có:

⇒ S₁ = k²S

⇒ S₂ =( k² + 2k +1)S⇒ Diện tích thiết diện:

(dấu bằng xảy ra ⇔ )

Lấy I = AM∩B'D' và O = AC∩BD,

ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)

⇒ S, O, I thẳng hàng.

Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC

⇒

Vẽ BP // B'I và DN // D'I ⇒ . Đặt

⇒ ⇒ (*)

Suy ra: Suy ra:

1. Cho tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1. Gọi lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Đặt . Tìm để diện tích toàn phần của tứ diện nhỏ nhất.

Kẻ , do suy ra .

Mà là tứ diện đều, nên suy ra là tâm của tam giác đều.

Ta có: . =;

= .

Suy ra =(x+y)

Diện tích toàn phần của tứ diện :

+ + ^. = +.

Từ

Suy ra khi

1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC, M là điểm thuộc cạnh SA. Mặt phẳng chứa C’M cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’.
2. Khi song song với BC. Xác định vị trí của M để tứ giác B’C’D’M là hình bình hành.
3. Khi thay đổi. Xác định vị trí của M để .

Hướng dẫn giải

1. (2.5 điểm) Khi song song với BC. Xác định vị trí của M để tứ giác B’C’D’M là hình bình hành.

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Gọi .

Ta có:

Mặt khác, vì C’ là trung điểm SC nên .

Khi đó tứ giác B’C’D’M là hình bình hành khi .

Vậy M là trung điểm của SA.

b,

b) Khi thay đổi. Xác định vị trí của M để .

Xét ta giác SAC:

Qua A, C lần lượt kẻ các đường thẳng song song với C’M, cắt SO tại E, F. Ta có:

.

Tương tự, xét ta, giác SBD, ta có:

.

Vậy .

1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=60⁰; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE.

1/ Chứng minh (SOF)(SAD).

2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).

3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này.

Hướng dẫn giải

1/ Tam giác ABD đều nên ; OF//BE (1).

(2).

Từ (1) và (2) .

2/ Kẻ tại H.

.

O là trung điểm của AC nên .

3/ Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) H là trung điểm của AK.

; BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD. Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N. Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN.

MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bình của tam giác SAD.

1. [VĨNH PHÚC -2010-2011] Cho hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh .

a) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác .

b) Hãy xác định các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho vuông góc với mặt phẳng . Tính độ dài đoạn theo .

Hướng dẫn giải

a) Ta có và nên .

Tương tự ta chứng minh được . Từ đó ta suy ra .

Gọi là giao điểm của và . Khi đó chính là giao điểm của và mặt phẳng .

Do suy ra là trọng tâm của tam giác .

b) Đặt

và

Ta có

Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có

Vậy M, N là các điểm sao cho

Do đó ta có .

1. [Cao Văn Bá – THPT Diễn Châu 3 – 2009-2010] Cho hình chóp , có đáy là hình thang với là một điểm di động bên trong tứ giác . Qua vẽ những đường thẳng lần lượt song song với cắt các mặt phẳng và theo thứ tự tại và .

a) Nêu cách dựng các điểm .

b) Chứng minh: không đổi.

c) Tìm tập hợp điểm sao cho diện tích của tam giác có giá trị lớn nhất.

1. [TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I 2008-2009] Cho tam giác đáy là hình thang, đáy lớn , đáy bé . Mặt bên là tam giác đều. là một điểm di động trên , mp qua điểm và song song với .

a) Tìm thiết diện của với mặt phẳng mp. Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo và . Tìm giá trị của x để diện tích thiết diện lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Từ kẻ đường thẳng song song và , lần lượt cắt tại , tại .

Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại suy ra được là thiết diện. Dễ dàng chứng minh được là hình thang cân.

b) * Tính diện tích thiết diện

Sử dụng định lý Talets ta suy ra được  ;

Từ đó tính ra được

Áp dụng công thức

*Tìm để đạt giá trị lớn nhất

Dấu "=" xảy ra khi .

1. [THPT Quảng Xương 2 THANH HOÁ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao .

a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và .

b) Gọi là trọng tâm tam giác , xác định hình chiếu của lên và tính độ dài theo .

Hướng dẫn giải

a) Gọi là trung điểm suy ra góc giữa và là góc ,

Tam giác vuông tại , suy ra hay .

b) Kẻ là đường cao tam giác suy ra vuông góc , từ kẻ đường thẳng song song với trong cắt tại thì là điểm cần tìm.

Ta có

1. Cho tứ diện có các đường cao   đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo thứ tự tại . Chứng minh: .

a. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Chứng minh rằng .

b. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Hai điểm và lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng sao cho , Gọi là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng luôn song song với một mặt phẳng cố định khi thay đổi và tìm để .

1. [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp đều cạnh , cạnh bên bằng . Gọi là mặt phẳng qua song song với và vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của .

a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm đến .

b) Tính sin với là góc giữa và .

1. [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ có và góc . Gọi là trung điểm của .

a) CMR: .

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

1. [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau tại . Gọi thứ tự là trung điểm của các cạnh .

a) Chứng minh tam giác là tam giác nhọn.

b) Biết số đo 3 góc của tam giác là . Gọi là số đo của góc nhị diện , tìm theo và .

c) Gọi là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh và gọi là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác . Chứng minh rằng:

1. [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng .

a) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện có trọng tâm , gọi là góc giữa mp và mp. Hãy tính để cách đều tất cả các mặt của .

b) Biết . Xét mặt phẳng thay đổi đi qua , sao cho mp cắt các đoạn thẳng thứ tự tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác theo .

1. [HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện đều . Gọi là mặt phẳng đi qua đường cao của tứ diện; mặt phẳng cắt các mặt phẳng và lần lượt theo các giao tuyến . Các giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng các góc . Chứng minh:
2. [NGHỆ AN 2015-2016] Cho hình thoi có góc , . Gọi là trung điểm . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .

a) Khi , chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .

b) Tính theo để góc giữa và có số đo lớn nhất.

1. [TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BÌNH ĐỊNH] Trong không gian cho khối đa diện có số cạnh qua mỗi đỉnh là một số chẵn .Một thiết diện tạo bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của khối đa diện với khối đa diện .Chứng minh số cạnh của thiết diện là một số chẵn.

Hướng dẫn giải

Giả sử số đỉnh của thiết diện là ;Ta xét một tron.

Tổng các cạnh đi qua m đỉnh mới là .

Vậy số cạnh của khối đa diện này bằng là số chẵn

1. [VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hình chóp , có đáy là hình chữ nhật với và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là hình chiếu vuông góc của trên .

a) Tính độ dài theo .

b) Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh rằng các đoạn thẳng và vuông góc với nhau.

1. [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện đều, gọi là trung điểm của các cạnh và . Trên đường thẳng và ta chọn các điểm sao cho . Tính độ dài biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.

Hướng dẫn giải

Ta có là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa và song song với và mặt phẳng chứa và song song với .

Trong mặt phẳng kẻ cắt ở .

Qua kẻ ( thuộc ) , cắt tại . Vậy .

Ta có là các trung điểm của và

Mà

Ta có . Vậy .

1. [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp , đáy là hình vuông và . Mặt phẳng thay đổi nhưng luôn cắt các cạnh lần lượt tại ( không trùng với đầu mút các đoạn thẳng . Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Gọi là tâm đáy , . Ta có thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và ).

Đặt Trong tam giác , ta có:

Tương tự với tam giác ta được

Từ (1) và (2) ta suy Ta có ĐPCM.

1. [THPT QUỲNH LƯU – HOÀNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp , đáy là nửa lục giác đều với , Mặt bên là tam giác đều. Gọi là giao điểm của và . Cho biết vuông góc với .

a) Tính .

b) Mặt phẳng qua điểm thuộc đoạn ( không trùng với ), song song với và . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng Tính diện tích thiết diện theo và biết . Tìm để diện tích thiết diện đó lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Tính

+) Dựng song song (thuộc cạnh );

Ta có:

+) Mặt khác:

+) Áp dụng định lý cosin trong tam giác , tính được

+) Do và nên .

Trong tam giác vuông , tính được .

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng

+) Xác định được thiết diện là tam giác NPQ (với N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh BA, BC, BS)

+) Ta có:

Diện tích thiết diện:

+) Trong tam giác , tính được

+) Trong tam giác , tính được

+) Diện tích thiết diện:

+) Vì thuộc đoạn ( ) nên

Do đó, . Vậy, .

1. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải

Đặt Gọi M là trung điểm BC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Gỉa sử.

Ta có: Ta thấy Vậy G, I, J thẳng hàng. Hay IJ luôn đi qua điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua đường thẳng cố định SG.

1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC và lần lượt là góc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC)

H là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AK là đường cao của tam giác ABC. Ta có:

Mặt khác:

Tương tự: nên tam giác ABC nhọn.

- Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

- Trong tam giác ABH:

Nên:

Từ (1) và (2) ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Vậy ta có ĐPCM.

1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông

góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.

a. Chứng minh rằng .

b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của .

Hướng dẫn giải

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM, điểm G là trọng tâm tam giác BCD.

a) Chứng minh rằng MG song song với mp(SBC)

b) Gọi () là mặt phẳng chứa MG và song với CD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp()

c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tính PQ theo a.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC

Ta có

Mà nên MG //(SBC)

Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H

Thiết diện của hình chóp với mp() là tứ giác EFHM

Ta có HM//EF vì cùng song song với CD

nên tam giác DME bằng tam giác CHF suy ra ME = HF do đó EFHM là hình thang cân

Ta có:

Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có

Diện tích thiết diện là

Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.

Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN

Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có ,

Suy ra .

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AN và DM.

A

B

C

D

A^’

B^’

C^’

D^’

M

N

I

K

H

Gọi I là trung điểm của BC.

NI mp(ABCD) (1đ)

Chứng minh được:

Gọi H là giao điểm của AI và DM, từ H hạ ,HK là đoạn vuông góc chung của AN và DM,

Tính được

🛆AKH đồng dạng 🛆AIN

Vậy khoảng cách AN và DM là:

1. Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng 6 mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm.
2. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC vuông tại B. Biết và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với . Tính độ dài SC theo a.

Hướng dẫn giải

.

+) B hoặc C tù.

Do nên và C tù .

Còn (giống trường hợp 1) Suy ra .

1. Cho tứ diện , là điểm bất kì nằm trong miền tam giác . Từ kẻ các đường thẳng song song với cắt các mặt phẳng lần lượt tai . Chứng minh rằng: không đổi.
2. Cho hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh .
3. Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác .
4. Hãy xác định các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho vuông góc với mặt phẳng Tính độ dài đoạn theo .
5. Cho hình chóp . Tứ giác đáy có và cắt nhau tại . và cắt nhau tại . và cắt nhau tại . là mặt phẳng cắt lần lượt tại .
6. Tìm giao điểm của và .
7. Với điều kiện nào của thì là hình bình hành.
8. Cho tứ diện , mặt phẳng () song song với hai đường thẳng và . Gọi tương ứng là giao điểm của () với các đường thẳng . Xác định tất cả các vị trí của () để:
9. Tứ giác là hình thoi.
10. Diện tích thiết diện giữa () và tứ diện là lớn nhất.
11. Cho tam giác vuông tại có .Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ; là một điểm di động trên sao cho là hình chóp có hai mặt bên , hợp với đáy hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên .
12. Chứng minh rằng .
13. Tìm giá trị lớn nhất của và khi đó hãy tìm giá trị của .
14. Cho hình lăng trụ tứ giác . Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất.
15. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM.
16. Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động.
17. Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC đạt giá trị lớn nhất.
18. Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M và N (MC, ND). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (PC, QD). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP.
19. Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
20. Tính PG theo PA, PB, PC.
21. Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi.
22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).
23. Chứng minh rằng:
24. Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp.
25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có các cạnh bằng a. Xét các đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC’, CA’ và song song với mặt phẳng(ABB’A’). Tìm theo a độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng ấy. Khi MN ngắn nhất hỏi MN có vuông góc với BC’ và CA’ hay không? Chứng minh.
26. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân được vuông góc hạ từ O đến (ABC).
27. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
28. Chứng minh rằng .
29.  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuông góc với đáy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trên AB. Tìm tập hợp hình chiếu của H của M lên CK.
30. Cho tứ diện có trọng tâm . Tìm điểm sao cho tổng:

đạt giá trị bé nhất.