Trắc nghiệm bài tổng hiệu hai vectơ có đáp án và lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

A. TÓM TẮT lý thuyẾt

1. Tổng hai vectơ

b) Tính chất :

+ Giao hoán :

+ Kết hợp :

+ Tính chất vectơ – không:

2. Hiệu hai vectơ

a) Vectơ đối của một vectơ.

Vectơ đối của vectơ là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ

Kí hiệu

Như vậy và

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ và là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ . Kí hiệu là

3. Các quy tắc:

Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :

Quy tắc hình bình hành : Nếu là hình bình hành thì

Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có :

Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm thì

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

• DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.

1. Phương pháp giải.

Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ

• Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.
• Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.

2. Các ví dụ.

Hình 1.10

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông tại có và .

Tính độ dài của các vectơ .

A. B. C. D.

Lời giải:

(hình 1.10)

Theo quy tắc ba điểm ta có

Mà

Do đó

Ta có

Vì vậy

• Gọi là điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có

Vì tam giác vuông ở nên tứ giác là hình chữ nhật suy ra

Vậy

Ví dụ 2: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ.

a) Tính

A. B.

C. D.Cả A, B, C đều đúng

b) Chứng minh rằng không phụ thuộc vị trí điểm . Tính độ dài vectơ

A.2a B.3a C.a D.4a

Lời giải:

(hình 1.11)

a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có

Suy ra .

Hình 1.11

Áp dụng định lí Pitago ta có

Vậy

+ Vì O là tâm của hình vuông nên suy ra

Vậy

+ Do là hình vuông nên suy ra

Mà suy ra

b) Theo quy tắc phép trừ ta có

Suy ra không phụ thuộc vị trí điểm .

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Khi đó tứ giác là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra

Do đó

Vì vậy

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.14: Cho tam giác đều cạnh . Tính độ dài của các vectơ sau .

A. B.

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

Bài 1.15: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ.

a) Tính

A. B.

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

b) Tính độ dài vectơ

A. B.

C. D.

b) Áp dụng quy tắc trừ ta có

Lấy là điểm đối xứng của qua

Khi đó

Suy ra

Bài 1.16: Cho hình thoi cạnh a và . Gọi O là tâm hình thoi.

Tính .

A. B.

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

Lời giải:

Bài 1.16: Ta có

Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ cùng bằng và

a) Tính các góc

A. B.

C. D.

b) Tính

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm do đó

b) Gọi I là trung điểm BC. Theo câu a) đều nên

Bài 1.18: Cho góc . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của A,B sao cho nằm trên phân giác của góc .

A. B. C. D.

Lời giải:

Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB. Khi đó:

Vậy nằm trên phân giác góc xOy là hình thoi .

• DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.

1. Phương pháp giải.

• Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ.

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho năm điểm . Khẳng định nào đúng?

a)

A. B.

C. D.

b)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái ta có

ĐPCM

b) Đẳng thức tương đương với

(đúng) ĐPCM.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

a)

A. B.

C. D.

b)

A. B.

C. D.

c) .

A. B.

C. D.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Tương tự: .

c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên

Cách 2: Đẳng thức tương đương với

(đúng do là hình bình hành)

Ví dụ 3: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

a)

A. B.

C. D.

b)

A. B.

C. D.

c) với là điểm bất kì.

A. B. C. D.

Lời giải:

(Hình 1.13)

a) Vì là đường trung bình của tam giác nên

suy ra tứ giác là hình bình hành

Hình 1.13

là trung điểm của

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có

b) Vì tứ giác là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có , kết hợp với quy tắc trừ

Mà do là trung điểm của .

Vậy .

c) Theo quy tắc ba điểm ta có

Theo câu a) ta có suy ra .

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1.19: Cho bốn điểm. Tìm khẳng định đúng nhất?

a)

A. B.

C. D.

b)

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có

(đúng)

b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có

(đúng)

Bài 1.20: Cho các điểm . Khẳng định nào đúng nhất?

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(đúng)

Cách 2:

Bài 1.21: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.Khẳng định nào đúng

a)

A. B.

C. D.

b)

A. B.

C. D.

c)

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.21 a) Ta có do đó

Hình 1.47

b) Theo quy tắc hình bình hành ta có

c) Theo câu b) ta có

Theo quy tắc trừ ta có

Mà suy ra

Bài 1.22: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của . Khẳng định nào đúng?

a)

A. B.

C. D.

b)

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.22: (Hình 1.48)

Hình 1.48

a) Vì nên

b) Vì và kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có

Bài 1.23: Cho hai hình bình hành và có chung đỉnh A. Khẳng định nào đúng

A. B.

C. D.

Lời giải:

Bài 1.23: Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có

Bài 1.24: Cho ngũ giác đều tâm O. Chứng minh rằng

Lời giải:

Bài 1.24: Đặt

Vì ngũ giác đều nên vectơ cùng phương với nên cùng phương với .

Tương tự cùng phương với suy ra .

Bài 1.25: Cho hình bình hành . Dựng .

Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có

Mặt khác suy ra