300 câu trắc nghiệm chương vectơ có đáp án và lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHƯƠNG I. VECTƠ

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng Nếu ta chọn điểm làm điểu đầu, điểm là điểm cuối thì đoạn thẳng có hướng từ đến Khi đó ta nói là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu điểm cuối được kí hiệu là và đọc là “ vectơ “. Để vẽ được vectơ ta vẽ đoạn thẳng và đánh dấu mũi tên ở đầu nút

Vectơ còn được kí hiệu là khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của được kí hiệu là như vậy

Vectơ có độ dài bằng gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu

Chú ý. Khi cho trước vectơ và điểm thì ta luôn tìm được một điểm duy nhất sao cho

4. Vectơ – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là Vectơ này được kí hiệu là và được gọi là vectơ – không.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ

Câu 1. Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là được kí hiệu là

A. B. C. D.

Câu 2. Cho tam giác Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh

A. B. C. D.

Câu 3. Cho tứ giác . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?

A. B. C. D.

Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.

B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.

C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.

D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.

Câu 5. Cho ba điểm phân biệt. Khi đó:

A. Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là cùng phương với

B. Điều kiện đủ để thẳng hàng là với mọi cùng phương với

C. Điều kiện cần để thẳng hàng là với mọi cùng phương với

D. Điều kiện cần để thẳng hàng là

Câu 6. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác đều . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. và B. và C. và D. và

Câu 7. Cho lục giác đều tâm Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. B. C. D.

Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU

Câu 8. Với (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn được gọi là

A. Phương của B. Hướng của

C. Giá của D. Độ dài của

Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. B. cùng hướng với mọi vectơ.

C. D. cùng phương với mọi vectơ.

Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.

C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.

D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Câu 12. Cho bốn điểm phân biệt Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để ?

A. là hình bình hành. B. là hình bình hành.

C. D.

Câu 13. Cho bốn điểm phân biệt thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây sai?

A. cùng hướng B. cùng phương

C. D. là hình bình hành.

Câu 14. Gọi là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B. C. D.

Câu 15. Cho tứ giác Gọi lần lượt là trung điểm của Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. C. D.

Câu 16. Cho hình vuông . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D. Hai vectơ cùng hướng.

Câu 17. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. và cùng hướng.

C. và cùng hướng. D.

Câu 18. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác đều . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 19. Cho tam giác đều cạnh . Gọi là trung điểm . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 20. Cho hình thoi cạnh và . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 21. Cho lục giác đều có tâm Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B. C. D.

Câu 22. Cho lục giác đều tâm Số các vectơ bằng có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. B. C. D.

Câu 23. Cho tam giác có trực tâm . Gọi là điểm đối xứng với qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. và . B. và .

C. và . D. và và .

Câu 24. Cho và một điểm Có bao nhiêu điểm thỏa mãn

A. B. C. D. Vô số.

Câu 25. Cho và một điểm Có bao nhiêu điểm thỏa mãn

A. B. C. D. Vô số.

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ và Lấy một điểm tùy ý, vẽ và Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và Ta kí hiệu tổng của hai vectơ và là Vậy

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

C

B

A

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu là hình bình hành thì

A

B

C

D

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ kí hiệu là

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của là nghĩa là

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ và Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ kí hiệu Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm tùy ý ta có

O

A

B

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý ta luôn có

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ).

Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng

a) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi

b) Điểm là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 1. Cho ba điểm phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 2. Cho và là các vectơ khác với là vectơ đối của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vectơ cùng phương. B. Hai vectơ ngược hướng.

C. Hai vectơ cùng độ dài. D. Hai vectơ chung điểm đầu.

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 4. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. và cùng hướng. B. và cùng độ dài.

C. là hình bình hành. D.

Câu 5. Tính tổng .

A. B. C. D.

Câu 6. Cho hai điểm và phân biệt. Điều kiện để là trung điểm là:

A. B. C. D.

Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để là trung điểm của đoạn thẳng ?

A. B. C. D.

Câu 8. Cho tam giác cân ở , đường cao . Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. C. D.

Câu 9. Cho hình vuông . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì

B. Nếu là trọng tâm tam giác thì

C. Nếu là hình bình hành thì

D. Nếu ba điểm phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì

Câu 11. Gọi là tâm hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 12. Cho hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 13. Gọi là tâm hình vuông . Tính .

A. B.

C. D.

Câu 14. Cho tam giác đều cạnh Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 15. Cho tam giác với là trung điểm Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 16. Cho tam giác với lần lượt là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 17. Cho ba điểm phân biệt Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 18. Cho tam giác có và đường cao Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 19. Cho tam giác vuông cân đỉnh , đường cao . Khẳng định nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 20. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác Hỏi vectơ bằng vectơ nào trong các vectơ sau?

A. B. C. D.

Câu 21. Cho đường tròn và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với tại hai điểm và Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 22. Cho đường tròn và hai tiếp tuyến ( và là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 24. Gọi là tâm của hình vuông . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng

A. B. C. D.

Câu 25. Cho lục giác đều có tâm Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 26. Cho hình bình hành có là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ bằng vectơ nào trong các vectơ sau?

A. B. C. D.

Câu 27. Cho hình bình hành có là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 28. Cho hình bình hành có là giao điểm của hai đường chéo. Gọi lần lượt là trung điểm của . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 29. Cho hình bình hành Gọi là trọng tâm của tam giác Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 30. Cho hình chữ nhật Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

Câu 31. Cho tam giác đều cạnh . Tính

A. B.

C. D.

Câu 32. Cho tam giác vuông cân tại có . Tính

A. B.

C. D.

Câu 33. Cho tam giác vuông cân tại và Tính độ dài của

A. B.

C. D.

Câu 34. Cho tam giác vuông tại và có . Tính .

A. B. C. D.

Câu 35. Tam giác có và . Tính

A. B.

C. D.

Câu 36. Cho tam giác đều cạnh là trung điểm của . Tính

A. B. C. D.

Câu 37. Gọi là trọng tâm tam giác vuông với cạnh huyền Tính độ dài của vectơ .

A. B. C. D.

Câu 38. Cho hình thoi có và Tính .

A. B.

C. D.

Câu 39. Cho hình vuông cạnh Tính

A. B. C. D.

Câu 40. Cho hình vuông cạnh , tâm Tính .

A. B. C. D.

Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 41. Cho tam giác có thỏa mãn điều kiện . Xác định vị trí điểm

A. là điểm thứ tư của hình bình hành

B. là trung điểm của đoạn thẳng

C. trùng với

D. là trọng tâm tam giác

Câu 42. Cho tam giác Tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn đẳng thức là

A. đường thẳng B. trung trực đoạn

C. đường tròn tâm bán kính D. đường thẳng qua và song song với

Câu 43. Cho hình bình hành . Tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn đẳng thức là

A. một đường tròn. B. một đường thẳng.

C. tập rỗng. D. một đoạn thẳng.

Câu 44. Cho tam giác và điểm thỏa mãn . Tìm vị trí điểm

A. là trung điểm của B. là trung điểm của

C. là trung điểm của D. là điểm thứ tư của hình bình hành

Câu 45. Cho tam giác và điểm thỏa mãn điều kiện . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. là hình bình hành. B.

C. D.

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

1. Định nghĩa

Cho số và vectơ Tích của vectơ với số là một vectơ, kí hiệu là cùng hướng với nếu ngược hướng với nếu và có độ dài bằng

2. Tính chất

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì với mọi điểm thì ta có

b) Nếu là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm thì ta có

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ và cùng phương là có một số để

Nhận xét. Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác để

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ và nghĩa là có duy nhất cặp số sao cho

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

Câu 1. Cho tam giác vuông cân tại cạnh Tính

A. B. C. D.

Câu 2. Cho tam giác vuông cân tại cạnh Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B.

C. D.

Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ

Câu 3. Cho tam giác có là trung điểm của là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 4. Cho tam giác có là trung điểm của là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 5. Cho tam giác có là trung điểm của là trọng tâm của tam giác Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 6. Cho tứ giác Trên cạnh lấy lần lượt các điểm sao cho và Tính vectơ theo hai vectơ

A. B.

C. D.

Câu 7. Cho hình thang có đáy là và Gọi và lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B.

C. D.

Câu 8. Cho hình bình hành có là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 9. Cho tam giác điểm thuộc cạnh sao cho và là trung điểm của Tính theo và

A. B.

C. D.

Câu 10. Cho tam giác Hai điểm chia cạnh theo ba phần bằng nhau Tính theo và

A. B.

C. D.

Câu 11. Cho tam giác có là trung điểm của Tính theo và

A. B.

C. D.

Câu 12. Cho tam giác , gọi là trung điểm và là một điểm trên cạnh sao cho . Gọi là trung điểm của . Khi đó

A. B.

C. D.

Câu 13. Cho hình bình hành Tính theo và

A. B.

C. D.

Câu 14. Cho tam giác và đặt Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

A. B. C. D.

Câu 15. Cho tam giác và điểm thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Ba điểm thẳng hàng. B. là phân giác trong của góc

C. và trọng tâm tam giác thẳng hàng.

D.

Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 16. Cho tam giác có là trọng tâm và là trung điểm của Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Câu 17. Cho tam giác có là trọng tâm và là trung điểm Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B. C. D.

Câu 18. Cho tam giác vuông tại là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 19. Cho tam giác Gọi và lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B. C. D.

Câu 20. Cho tam giác có là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 21. Cho tam giác đều và điểm thỏa mãn Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 22. Cho tam giác và một điểm tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 23. Cho hình vuông có tâm là Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. B.

C. D.

Câu 24. Cho hình bình hành Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 25. Cho hình bình hành có là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. B.

C. D.

Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 26. Cho tam giác và điểm thỏa mãn Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. trùng B. trùng

C. trùng D. là trọng tâm của tam giác

Câu 27. Gọi là trọng tâm tam giác . Đặt . Hãy tìm để có

A. B. C. D.

Câu 28. Cho ba điểm không thẳng hàng và điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Câu 29. Cho hình chữ nhật và số thực Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là

A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng.

C. một đường tròn. D. một điểm.

Câu 30. Cho hình chữ nhật và là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm thỏa mãn là

A. trung trực của đoạn thẳng B. trung trực của đoạn thẳng

C. đường tròn tâm bán kính D. đường tròn tâm bán kính

Câu 31. Cho hai điểm phân biệt và cố định, với là trung điểm của Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là

A. đường tròn tâm đường kính

B. đường tròn đường kính

C. đường trung trực của đoạn thẳng

D. đường trung trực đoạn thẳng

Câu 32. Cho hai điểm phân biệt và cố định, với là trung điểm của Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là

A. đường trung trực của đoạn thẳng

B. đường tròn đường kính

C. đường trung trực đoạn thẳng

D. đường tròn tâm bán kính

Câu 33. Cho tam giác đều cạnh trọng tâm Ttập hợp các điểm thỏa mãn là

A. đường trung trực của đoạn BC. B. đường tròn đường kính BC.

C. đường tròn tâm G, bán kính . D. đường trung trực đoạn thẳng AG.

Câu 34. Cho tam giác đều cạnh Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là đường tròn cố định có bán kính Tính bán kính theo

A. B. C. D.

Câu 35. Cho tam giác . Có bao nhiêu điểm thỏa mãn ?

A. B. C. D. Vô số.

BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị

Ta kí hiệu trục đó là

M

O

b) Cho là một điểm tùy ý trên trục Khi đó có duy nhất một số sao cho Ta gọi số đó là tọa độ của điểm đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm và trên trục Khi đó có duy nhất số sao cho Ta gọi số là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho và kí hiệu

Nhận xét.

Nếu cùng hướng với thì còn nếu ngược hướng với thì

Nếu hai điểm và trên trục có tọa độ lần lượt là và thì

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ gồm hai trục và vuông góc với nhau. Điểm gốc chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục được gọi là trục hoành và kí hiệu là trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên và và Hệ trục tọa độ còn được kí hiệu là

1

1

y

x

O

O

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ còn được gọi là mặt phẳng tọa độ hay gọi tắt là mặt phẳng

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng cho một vectơ tùy ý. Vẽ và gọi lần lượt là hình chiếu của vuông góc của lên và Ta có và cặp số duy nhất để Như vậy

Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ và viết hoặc Số thứ nhất gọi là hoành độ, số thứ hai gọi là tung độ của vectơ

A

O

Như vậy

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu và thì

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ cho một điểm tùy ý. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục được gọi là tọa độ của điểm đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số là tọa độ của điểm khi và chỉ khi Khi đó ta viết hoặc Số được gọi là hoành độ, còn số được gọi là tung độ của điểm Hoành độ của điểm còn được kí hiệu là tung độ của điểm còn được kí hiệu là

O

Chú ý rằng, nếu thì

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm và Ta có

3. Tọa độ của các vectơ

Ta có các công thức sau:

Nhận xét. Hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi có một số sao cho và

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng có Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

b) Cho tam giác có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác được tính theo công thức

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

C HIỆM

Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. cùng hướng. B. là vectơ đối của

C. cùng phương. D. ngược hướng.

Câu 2. Cho Tìm tọa độ của

A. B. C. D.

Câu 3. Cho Tìm tọa độ của vectơ

A. B. C. D.

Câu 4. Cho Tìm tọa độ của vectơ

A. B. C. D.

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ , tọa độ của vectơ là

A. B. C. D.

Câu 6. Cho Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. và ngược hướng. B. cùng phương.

C. và cùng hướng. D. cùng phương.

Câu 7. Cho và . Xác định sao cho và cùng phương.

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho Tìm để hai vectơ cùng phương.

A. B. C. D.

Câu 9. Cho Tìm biết .

A. B. C. D.

Câu 10. Cho ba vectơ Giá trị của để là

A. B.

C. D.

Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Câu 11. Trong hệ tọa độ cho Tìm tọa độ của vectơ

A. B. C. D.

Câu 12. Trong hệ tọa độ cho ba điểm Tìm tọa độ của vectơ

A. B. C. D.

Câu 13. Trong hệ tọa độ cho hai điểm Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

A. B. C. D.

Câu 14. Trong hệ tọa độ cho tam giác có Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

A. B. C. D.

Câu 15. Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm . Tìm tọa độ đỉnh ?

A. B. C. D.

Câu 16. Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm là gốc tọa độ Tìm tọa độ đỉnh ?

A. B. C. D.

Câu 17. Trong hệ tọa độ cho tam giác có , và thuộc trục , trọng tâm của tam giác thuộc trục . Tìm tọa độ điểm

A. B. C. D.

Câu 18. Trong hệ tọa độ cho tam giác có , trọng tâm và trung điểm cạnh là Tổng hoành độ của điểm và là

A. B. C. D.

Câu 19. Trong hệ tọa độ cho ba điểm Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. thẳng hàng.

C. D.

Câu 20. Trong hệ tọa độ cho bốn điểm Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là hai vectơ đối nhau. B. ngược hướng.

C. cùng hướng. D. thẳng hàng.

Câu 21. Trong hệ tọa độ cho Khẳng định nào sau đây đúng?

A. thẳng hàng. B. cùng phương.

C. không cùng phương. D. cùng hướng.

Câu 22. Trong hệ tọa độ cho bốn điểm Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tứ giác là hình bình hành. B. là trọng tâm tam giác

C. D. cùng phương.

Câu 23. Trong hệ tọa độ cho tam giác có Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là trọng tâm tam giác B. ở giữa hai điểm và

C. ở giữa hai điểm và D. cùng hướng.

Câu 24. Trong hệ tọa độ cho điểm Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên Khẳng định nào đúng?

A. B.

C. D.

Câu 25. Trong hệ tọa độ cho hình bình hành , điểm thuộc trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. có tung độ khác B. Hai điểm có tung độ khác nhau.

C. có hoành độ bằng D.

Câu 26. Trong hệ tọa độ cho bốn điểm Khẳng định nào sau đây đúng?

A. cùng hướng. B. là hình chữ nhật.

C. là trung điểm D.

Câu 27. Trong hệ tọa độ cho bốn điểm Xét hai mệnh đề:

là hình bình hành. cắt tại

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Chỉ đúng. B. Chỉ đúng.

C. Cả và đều đúng. D. Cả và đều sai.

Câu 28. Trong hệ tọa độ cho ba điểm Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành.

A. B. C. D.

Câu 29. Trong hệ tọa độ cho ba điểm Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành.

A. B. C. D.

Câu 30. Trong hệ tọa độ cho hình chữ nhật có , và là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ tung điểm của cạnh

A. B. C. D.

Câu 31. Trong hệ tọa độ cho tam giác có Gọi lần lượt là trung điểm của Tìm tọa độ vectơ ?

A. B. C. D.

Câu 32. Trong hệ tọa độ cho tam giác có lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tìm tọa độ đỉnh ?

A. B. C. D.

Câu 33. Trong hệ tọa độ cho hai điểm . Tìm tọa độ đỉểm sao cho

A. B. C. D.

Câu 34. Trong hệ tọa độ , cho hai điểm Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho thẳng hàng.

A. B. C. D.

Câu 35. Trong hệ tọa độ cho ba điểm và Tìm điểm thuộc trục hoành sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B. C. D.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

VECTÔ

Câu 1. Chọn D.

Câu 2. Chọn B. Đó là các vectơ:

Câu 3. Xét các vectơ có điểm là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài toán là có 3 vectơ.

Tương tự cho các điểm còn lại Chọn D.

Câu 4. Chọn A. Vì vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.

Câu 5. Chọn A.

Câu 6. Chọn B.

Câu 7. Chọn B. Đó là các vectơ: .

O

F

E

D

C

B

A

Câu 8. Chọn D.

Câu 9. Chọn C. Vì có thể xảy ra trường hợp

Câu 10. Chọn D.

Câu 11. Chọn B.

Câu 12. Ta có:

• là hình bình hành.

• Mặt khác, là hình bình hành .

Do đó, điều kiện cần và đủ để là là hình bình hành. Chọn B.

Câu 13. Chọn D. Phải suy ra là hình bình hành (nếu không thẳng hàng) hoặc bốn điểm thẳng hàng.

Câu 14. Chọn C.

Câu 15. Chọn D.

Q

P

N

M

D

C

B

A

Ta có (do cùng song song và bằng ).

Do đó là hình bình hành.

Câu 16. Chọn C.

Vì

Câu 17. Chọn D.

Câu 18.

N

M

C

B

A

Ta có là đường trung bình của tam giác .

Do đó

Chọn D.

Câu 19. Chọn D.

Câu 20.

D

C

B

A

Từ giả thiết suy ra tam giác đều cạnh nên

Chọn B.

Câu 21. Chọn D. Câu 22. Chọn A. Đó là các vectơ: .

O

F

E

D

C

B

A

O

F

E

D

C

B

A

Câu 23.

O

H

D

C

B

A

Ta có và (do góc chắn nửa đường tròn).

Suy ra

Tương tự ta cũng có

Suy ra tứ giác là hình bình hành. Do đó và . Chọn B.

Câu 24. Ta có . Suy ra tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm bán kính . Chọn D.

Câu 25. Chọn A.

Câu 1. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có (với là điểm thỏa mãn là hình bình hành). Vậy A sai.

• Đáp án B. Ta có . Vậy B đúng. Chọn B.

• Đáp án C. Ta có (với là điểm thỏa mãn là hình bình hành). Vậy C sai.

• Đáp án D. Ta có . Vậy D sai.

Câu 2. Chọn D.

Ta có . Do đó, và cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Câu 3. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có . Vậy A sai.

• Đáp án B. Ta có (với là điểm thỏa mãn là hình bình hành). Vậy B sai.

• Đáp án C. Ta có . Vậy C đúng. Chọn C.

Câu 4. Ta có . Do đó:

• và ngược hướng.

• và cùng độ dài.

• là hình bình hành nếu và không cùng giá.

•

Chọn B.

Câu 5. Ta có .

Chọn B.

Câu 6. Chọn C.

Câu 7. Điều kiện cần và đủ để là trung điểm của đoạn thẳng là . Chọn B.

Câu 8. Tam giác cân ở , đường cao . Do đó, là trung điểm .

Ta có:

H

C

B

A

•

• là trung điểm .

Chọn A.

Câu 9.

D

C

B

A

là hình vuông . Chọn D.

Câu 10. Chọn D. Với ba điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng, đẳng thức xảy ra khi nằm giữa và .

Câu 11. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có . Vậy A đúng.

• Đáp án B. Ta có . Vậy B sai.

• Đáp án C. Ta có Vậy C đúng.

O

D

C

B

A

• Đáp án D. Ta có . Vậy D đúng.

Chọn B.

Câu 12. Chọn A. Do là hình bình hành nên

Suy ra

Câu 13. Ta có . Chọn B.

Câu 14. Độ dài các cạnh của tam giác là thì độ dài các vectơ .

Chọn C.

Câu 15. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có (theo quy tắc ba điểm). Chọn A.

• Đáp án B, C. Ta có

(với điểm là trung điểm của ).

• Đáp án D. Ta có .

Câu 16. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có

• Đáp án B. Ta có

• Đáp án C. Ta có

• Đáp án D. Ta có

Chọn D.

Câu 17. Đáp án A chỉ đúng khi ba điểm thẳng hàng và nằm giữa.

Đáp án B đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn B.

Câu 18. Do cân tại ,

là đường cao nên là trung điểm .

Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có

• Đáp án B. Ta có

• Đáp án C. Ta có (do là trung điểm ).

• Đáp án D. Do và không cùng phương nên Chọn C.

Câu 19. Do cân tại , là đường cao nên là trung điểm .

Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có

• Đáp án B. Ta có Do đó B sai. Chọn B.

• Đáp án C. Ta có

• Đáp án D. Ta có (do vuông cân tại ).

Câu 20.

Ta có

Chọn B.

Câu 21.

Do hai tiếp tuyến song song và là hai tiếp điểm nên là đường kính.

Do đó là trung điểm của .

Suy ra .

Chọn A.

Câu 22.

Do là hai tiếp tuyến ( và là hai tiếp điểm) nên .

Chọn C.

Câu 23. Ta có

Chọn A.

Câu 24. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có

• Đáp án B. Ta có

• Đáp án C. Ta có

• Đáp án D. Ta có

Chọn C.

Câu 25. Ta có

Do đo A đúng.

Do đo B đúng.

Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D sai. Chọn D.

Câu 26. Ta có . Chọn B.

Câu 27. Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có

• Đáp án B. Ta có (quy tắc hình bình hành).

• Đáp án C. Ta có .

• Đáp án D. Do

Chọn D.

Câu 28.

Ta có lần lượt là đường trung bình của tam giác và .

là hình bình hành.

Chọn D.

Câu 29.

Vì là trọng tâm của tam giác nên

Do đó

Chọn A.

Câu 30.

Ta có

Mà

Chọn C.

Câu 31.

Gọi là trung điểm của

Suy ra

Ta lại có Chọn A.

Câu 32.

Gọi là trung điểm

Ta có Chọn A.

Câu 33.

Ta có

I

C

B

A

Gọi là trung điểm

Khi đó

Chọn A.

Câu 34. Ta có . Chọn C.

Câu 35. Gọi là trung điểm

Trong tam giác vuông , ta có

Ta có Chọn B.

Câu 36. Gọi là điểm thỏa mãn tứ giác là hình bình hành

là hình chữ nhật.

Ta có

Chọn D.

Câu 37.

Gọi là trung điểm của

Ta có

Chọn D.

Câu 38. Gọi và là trung điểm của .

Ta có

Chọn C.

Câu 39. Ta có Chọn C.

Câu 40. Gọi là trung điểm của .

Ta có

Chọn A.

Câu 41. Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có . Chọn D.

Câu 42. Ta có

Mà cố định Tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính .

Chọn C.

Câu 43.

: vô lí

Không có điểm thỏa mãn. Chọn C.

Câu 44.

Gọi là trung điểm của

là trung điểm

Chọn A.

Câu 45.

Ta có

là hình bình hành

Do đó D sai. Chọn D.

Câu 1.

Gọi là điểm đối xứng của qua

Tam giác vuông tại có

Ta có suy ra

Chọn C.

Câu 2. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

 A đúng, gọi nằm trên tia đối của tia sao cho

Và nằm trên tia đối của tia sao cho

Dựng hình chữ nhật suy ra (quy tắc hình bình hành).

Ta có

 B đúng, vì

 C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. Chọn C.

 D đúng, vì

Câu 3.

Vì là trung điểm nên

Mặt khác là trung điểm nên

Suy ra

Chọn B.

Câu 4.

Vì là trung điểm nên

Mặt khác là trung điểm nên

Từ suy ra

Chọn A.

Câu 5.

Vì là trọng tâm của tam giác

Và là trung điểm của

Do đó

Chọn B.

Câu 6.

Ta có và

Suy ra

Theo bài ra, ta có và

Vậy Chọn C.

Câu 7.

Vì lần lượt là trung điểm của

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

A đúng, vì

B đúng, vì

C đúng, vì và

Suy ra

D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D.

Câu 8. Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ theo hai vectơ và

Vì là hình bình hành nên

Và là trung điểm nên

suy ra Chọn C.

Câu 9. Vì là trung điểm nên

Suy ra Chọn B.

Câu 10. Ta có

Chọn A.

Câu 11. Ta có Chọn C.

Câu 12. Ta có . Chọn C.

Câu 13. Vì là hình bình hành nên

Ta có

Chọn A.

Câu 14. Dễ thấy

hai vectơ cùng phương. Chọn C.

Câu 15. Gọi lần lượt là trung điểm và trọng tâm tam giác

Vì là trung điểm nên

Theo bài ra, ta có suy ra thẳng hàng

Mặt khác là trọng tâm của tam giác

Do đó, ba điểm thẳng hàng. Chọn C.

Câu 16. Vì là trung điểm của suy ra

Ta có Chọn C.

Câu 17. Vì là trung điểm của suy ra

Ta có Chọn D.

Câu 18. Vì là trung điểm của nên Chọn C.

Câu 19. Vì lần lượt là trung điểm của

Suy ra là đường trung bình của tam giác

Mà là hai vectơ cùng hướng nên Chọn C.

Câu 20. Gọi là trung điểm của

Mà là trọng tâm của tam giác

Từ suy ra Chọn B.

Câu 21. Từ giả thiết là trung điểm của

Lại có

Chọn C.

Câu 22. Ta có

Chọn C.

Câu 23. Ta có (vì ). Chọn C.

Câu 24. Ta có Chọn A.

Câu 25. Ta có

Suy ra điều trên không thể xảy ra vì Chọn D.

Câu 26. Ta có

Đẳng thức suy ra là trọng tâm của tam giác Chọn D.

Câu 27. Ta có

Chọn B.

Câu 28. Do và không cùng phương nên tồn tại các số thực sao cho

Theo bài ra, ta có suy ra Chọn B.

Câu 29. Gọi là tâm của hình chữ nhật ta có

Do đó

Vì là điểm cố định nên tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là đường

tròn tâm bán kính Chọn C.

Câu 30. Gọi lần lượt là trung điểm của

Khi đó

Do đó

Vì là hai điểm cố định nên từ đẳng thức suy ra tập hợp các điểm là trung trực của đoạn thẳng hay chính là trung trực của đoạn thẳng Chọn B.

Câu 31. Vì là trung điểm của suy ra

Do đó

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là đường tròn tâm bán kính

Chọn A.

Câu 32. Chọn điểm thuộc đoạn sao cho

Chọn điểm thuộc đoạn sao cho

Ta có

Vì là hai điểm cố định nên từ đẳng thức suy ra tập hợp các điểm là trung trực của đoạn thẳng

Gọi là trung điểm của suy ra cũng là trung điểm của

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn là đường trung trực của đoạn thẳng Chọn A.

Câu 33. Gọi lần lượt là trung điểm của Khi đó

Theo bài ra, ta có

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn là đường trung trực của đoạn thẳng cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng vì là đường trung bình của tam giác Chọn A.

Câu 34. Gọi là trọng tâm của tam giác

Ta có

Chọn điểm sao cho

Mà là trọng tâm của tam giác

Khi đó

Do đó

Vì là điểm cố định thỏa mãn nên tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn tâm bán kính Chọn B.

Câu 35. Gọi là trọng tâm của tam giác nên G cố định duy nhất và

.

Ta có .

Vậy tập hợp các điểm là đường tròn tâm bán kính bằng

Chọn D.

Câu 1. Ta có cùng hướng. Chọn A.

Câu 2. Ta có Chọn B.

Câu 3. Ta có Chọn B.

Câu 4. Ta có Chọn C.

Câu 5. Ta có Chọn D.

Câu 6. Ta có và

Xét tỉ số và không cùng phương. Loại A

Xét tỉ số không cùng phương. Loại B

Xét tỉ số và cùng hướng. Chọn C.

Câu 7. Ta có

Để và cùng phương Chọn B.

Câu 8. Hai vectơ cùng phương Chọn C.

Câu 9. Ta có

Để Chọn C.

Câu 10. Ta có

Theo đề bài: Chọn C.

Câu 11. Ta có Chọn C.

Câu 12. Ta có Chọn B.

Cách khác:

Câu 13. Ta có Chọn C.

Câu 14. Ta có Chọn D.

Câu 15. Gọi

Vì là trọng tâm tam giác nên Chọn C.

Câu 16. Gọi .

Vì là trọng tâm tam giác nên Chọn A.

Câu 17. Vì thuộc trục có hoành độ bằng . Loại B.

Trọng tâm thuộc trục có tung độ bằng Xét các đáp án còn lại chỉ có đáp án A thỏa mãn Chọn A.

Câu 18. Vì là trung điểm nên

Vì là trọng tâm tam giác nên

Suy ra Chọn B.

Câu 19. Ta có Chọn A.

Câu 20. Ta có ngược hướng.

Chọn B.

Câu 21. Ta có không cùng phương. Chọn C.

Câu 22. Ta có là hình bình hành. Chọn A.

Câu 23. Ta có Đẳng thức này chứng tỏ ở giữa hai điểm và Chọn C.

Câu 24. Từ giả thiết, suy ra

A. Sai vì B. Sai vì

C. Sai vì

Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn D.

Cách 2. Gọi là trung điểm .

Ta có Chọn D.

Câu 25. Từ giả thiết suy ra cạnh thuộc trục hoành cạnh song song với trục hoành nên . Do đó loại A và B.

Nếu có hoành độ bằng : mâu thuẩn với giả thiết là hình bình hành. Loại C.

Dùng phương pháp loại trừ, ta Chọn D.

Cách 2. Gọi là tâm của hình bình hành . Suy ra

là trung điểm

là trung điểm

Từ đó suy ra Chọn D.

Câu 26. Ta có suy ra ngược hướng. Loại A.

Tọa độ trung điểm của là . Loại C.

Ta có ; Loại D.

Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn B.

Câu 27. Ta có là hình bình hành.

Khi đó tọa độ trung điểm của là và cũng là tọa độ trung điểm của

Chọn C.

Câu 28. Gọi Ta có

Tứ giác là hình bình hành

Chọn C.

Câu 29. Gọi Ta có

Tứ giác là hình bình hành

Chọn C.

Câu 30. Gọi là tọa độ trung điểm của cạnh

Gọi là tọa độ trung điểm của cạnh

Do là tâm của hình chữ nhật là trung điểm của .

Suy ra Chọn C.

Câu 31. Ta có . Chọn B.

Câu 32. Gọi .

Từ giả thiết, ta suy ra

P

N

M

C

B

A

Ta có và

Khi đó

Chọn B.

Câu 33. Gọi . Ta có

Do đó từ giả thiết Chọn C.

Câu 34. Điểm Ta có và

Để thẳng hàng cùng phương với Chọn D.

Câu 35. Ta có

Chọn điểm sao cho

Gọi , từ ta có

Khi đó

Để nhỏ nhất nhỏ nhất. Mà thuộc trục hoành nên nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của lên trục hoành Chọn B.