200 câu trắc nghiệm vận dụng cao vectơ-tích vô hướng có đáp án và lời giải
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
VECTƠ - TÍCH VÔ HƯỚNG
VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ
Câu 1. Cho tam giác ABC biết , là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .Gọi là các số thực dương thỏa mãn .Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn B
Dựng hình bình hành như hình vẽ. Khi đó
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác : ,
Suy ra .
Từ suy ra .
Do là hai véc tơ không cùng phương suy ra với .
Vậy .
Email: [email protected]
Câu 2. Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác . Đặt . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet
Chọn A
* là trung điểm của nên: .
* là trọng tâm tam giác nên: , thay và ta được .
Email: [email protected]
Câu 3. Cho tam giác với các cạnh . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng.
A. B.
C. D.
Lời giải
Họ và tên : Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm
Chọn A
Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
Ta có (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác
trong ta có :
Tương tự :
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
Đ/c mail: [email protected]
Câu 4. Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn theo hai vectơ và .
A. B.
C. D.
Lời giải
Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh
Kẻ BE // AD , E nằm trên cạnh CD. Ta có:
.
Vậy đáp án đúng là câu B.
Email: [email protected]
Câu 5. Cho hình bình hành , là điểm thỏa mãn . Trên các cạnh, lần lượt lấy các điểmsao cho . Gọi là giao điểm của và . Giá trị của tổng bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
FB: Kim Duyên Nguyễn.
Đặt
Vì
Ta có:
Nên
Do thẳng hàng nên
Mặt khác
Từ (1) và (2) suy ra . Do đó . Đáp án D
Email: [email protected]
Câu 6. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức . Tìm x :
A.2. B.6. C.5. D.4.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao
Chọn B
Vì đẳng thức (1) thỏa mãn với mọi M nên nó đúng khi M trùng với K. Khi đó ta có : (2).
Gọi G là trọng tâm , ta có (3).
Thay (3) vào (2) ta được , suy ra K là trung điểm của GD.
Từ (1) ta có:
Vậy suy ra x = 6.
Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/hoaihappy
Câu 7. Cho tam giác , trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm sao cho , . Gọi là giao điểm của và . Tính diện tích tam giác biết diện tích tam giác bằng 1.
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài
Chọn C
Ta có: và .
(1)
Đặt ta được
Thay vào (1) và thu gọn ta được:
Suy ra . Với ta được
Vì .
Email: [email protected]
Câu 8. Cho tam giác , gọi là điểm trên kéo dài sao cho . Gọi lần lượt là những điểm trên cạnh sao cho . Khi đó . Tính tổng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen
Chọn B
Ta có: (1)
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Ta có: . Chọn đáp án B.
Email: [email protected]
Câu 9. Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn .
Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan)
Chọn A
J là trọng tâm tam giác BMN khi và chỉ khi (9)
Ta có
*
*
*
Nên thay vào (9) ta có
Email: [email protected] FB: nguyennga
Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ điểm M, trên cạnh BC lấ N sao cho AM=3MB, NC=2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2.
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy
Chọn đáp án B
Đặt .
Suy ra
Do A, I, N thẳng hàng nên
Và M, I, C thẳng hàng nên
Mặt khác
Mà không cùng phương suy ra
Với
Hay
Mà
Câu 11. Cho ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: , . Chọn mệnh đề đúng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn)
Chọn B
.
Gọi E là trung điểm BC. M, N là các điểm như hình vẽ.
Ta có: .
.
Nên .
Vậy .
Câu 12. (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác . Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi , , . Khi đó , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. và có cùng trọng tâm.
B. .
C. .
D. và có cùng trực tâm.
Lời giải
(Email): [email protected]
Chọn A
Ta có
(1)
Tương tự ta có
Cộng vế với vế lại ta được
.
Vậy và có cùng trọng tâm
Câu 13. ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều cạnh . Gọi điểm là trung điểm . Tính độ dài của vec tơ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm , là điểm đối xứng của qua và là đỉnh của hình bình hành .
Khi đó ta có suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có
Gọi là hình chiếu của lên
Vì
Xét tam giác vuông ta có
Ta lại có
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ta có
Vậy
Email: [email protected]
Câu 14. Cho ΔABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm để .
A. B. . C. D..
Lời giải
Họ và tên: Trần Quốc An Facebook: Tran Quoc An
Chọn A
Gọi là điểm đối xứng với A qua O , ta có :
Tương tự ta chứng minh được
Từ (1) ,(2) suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành .
Do đó M là trung điểm của .
Ta có :
Câu 15. Cho tam giác có đường trung tuyến vuông góc với phân giác trong . Giả sử ngoài ra còn có . Biết . Tính
A.. B. . C.. D..
Lời giải
Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam
Chọn A
Ta có cân tại với , .
Theo đề bài là phân giác trong của góc nên: .
.
Lai có .
Từ .
Vậy .
Email: [email protected]
Câu 16. Cho tam giác . Gọi là các điểm lần lượt thỏa mãn , , Gọi là giao điểm của và . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Phạm Thanh My Facebook: Pham Thanh My
Chọn C
Gọi là giao điểm của và .
Áp dụng định lý Menelaus ta có mà là trung điểm .
Áp dụng định lý Menelaus ta có
Email: [email protected]
Câu 17. Cho hình thang có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết Tìm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến
Chọn B
Mail:[email protected] Fb:Thanh Lâm Lê
Câu 18. Cho tam giác có .Gọi là đường phân giác trong của góc .Biết .Khi đó tổng có giá trị là:
A. B. C. D.
Lời giải
A
Họ và tên tác giả :Lê Thanh Lâm
Chọn A
B
C
D
Theo tính chất đường phân giác trong của góc trong tam giác ta có:
.Ta có .Vậy tổng . Chọn A
Câu 19. Cho tam giác bất kỳ, gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . lần lượt là trực tâm các tam giác . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
là trực tâm tam giác nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Gọi là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên là hình bình hành suy ra .
Mail : [email protected]
Câu 20. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa
Chọn C
Gọi hình chiếu của M lên cạnh BC là D. Ta có
.
Tương tự cho các đánh giá khác.
Do đó :
Cách Khác: Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC, CA, AB
Email: [email protected]
Câu 21. Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N. Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối lượng của giá đỡ)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Đáp án: B
Hệ chất điểm cân bằng nên
Tam giác ABC vuông cân tại B suy ra
Email: [email protected]
Câu 22. Cho ba điểm , , thuộc đường tròn tâm , thỏa mãn . Tính góc ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân
Chọn A
Do nên là trọng tâm tam giác .
Mà là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC đều. Vậy góc
Email: [email protected]
Câu 23. Cho tam giác . Điểm trên cạnh thỏa mãn , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân
Chọn B
Cách 1: Giả sử khi đó
Ta có
Mà suy ra
Cách 2:
Email: [email protected]
Câu 24. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm là một điểm tùy ý nằm bên trong tam giác đã cho; gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh và . Khi đó ta có đẳng thức vectơ là phân số tối giản. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung
Chọn B
Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh và các đường thẳng này cắt các cạnh của tam giác tại các điểm như hình trên.
Xét tam giác do tam giác đều và tính chất của góc đồng vị nên góc suy ra tam giác đều và là trung điểm của từ đó ta có:
Chứng minh tương tự ta có .
Suy ra , mặt khác các tứ giác là hình bình hành nên .
Vậy .
Email: [email protected]
Câu 25. Cho hình vuông ABCD , E,F thõa mãn ;
Ta có . Khi đó tỉ số k,l thõa mãn cặp nào sau:
A. B. C. D.
Lời giải
Họ tên: Nguyễn Thị Trang Fb: Trang Nguyen
Chọn B
Kẻ EK//AB
Ta có:
Câu 26. Cho tam giác , trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm sao cho: , , gọi là giao điểm của và .Tính diện tích biết diện tích bằng 1.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn D
Vì thẳng hàng nên:
Tương tự:
hay (1)
Đặt , .
Ta có:
Thay vào (1) ta có:
Từ đó ta có:
Với
hay .
Vì .
Email: [email protected]
Câu 27. Cho tam giác có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Họ và tên : Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn
Dễ thấy: nếu tam giác vuông.
Nếu tam giác không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó:
(vì cùng vuông góc với AC).
(vì cùng vuông góc với AB).
Suy ra là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì (1).
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra ..
Tên facebook: NT AG
Câu 28. Cho tam giác có là trung điểm của , là một điểm trên đoạn sao cho . Gọi ,, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng
Chọn B
Đặt:, , .
Theo bài ra ta có
Do thẳng hàng nên
Do thẳng hàng nên
Từ đó: , lại có
Câu 29. Cho hình thang có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Kẻ và . Gọi , kẻ . Khi đó trong tam giác hệ thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta chứng minh
Kẻ . Tứ giác nội tiếp
Khi đó là tứ giác nội tiếp.
là các đường trung bình của các tam giác
là các đường trung trực của nên . Vậy
Từ đó suy ra là trực tâm tam giác . Nên đáp án đúng là B
Email: [email protected]
Câu 30. Cho , điểm thuộc cạnh sao cho . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. . B. .
C. D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát
Chọn C
Kẻ đường cao của .
Ta có , suy ra A đúng.
Tương tự D cũng đúng.
Từ giả thiết ta có , suy ra B đúng.
(C sai vì ).
(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng ,Gmail: [email protected])
Câu 31. Cho tam giác . là điểm nằm trên cạnh sao cho . Một đường thẳng cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Biết rằng . Tìm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng ,Gmail: [email protected])
Chọn C
Ta có
Đặt
Ta có
Lại có:
Mặt khác , cùng phương nên
Hay .
Từ đó suy ra .
Câu 32. Cho điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là . Bạn Bình kí hiệu chúng là (). Vectơ tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí)
Chọn A
Lấy điểm bất kì. Khi đó
Vì nên
Do đó .
Câu 33. Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho .Tính:
A. 2a B. C. D. a
Lời giải
Ta có: (1)
Do cùng phương nên:
Mặt khác
Từ (1) và (2) suy ra
Câu 34. Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:.
Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K ,E thẳng hàng. Xác định tỷ số
A. B. C. D.
Lời giải
Ba điểm K, B, E thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại sao cho:
(1)
Đặt
(2)
Áp dụng hệ quả 5 thì từ (1) và (2) ta có:
Vậy
Email: [email protected]
Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại C, có , D là chân đường cao kẻ từ C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. D. .
Lời giải
Facebook: Lê Văn Kỳ
Chọn A
Ta có .
Lại có: .
Vậy
Email: [email protected]
Câu 36. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi Gọi E là giao điểm của AI và BG. Tính tỷ số
A. 2. B. C. 3. D.
Lời giải
(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền. Tên FB: Thu Huyen Nguyen)
Chọn B
G
A
B
C
E
I
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Mà:
Vậy ta có:
(hình vẽ)
Email: [email protected]
Câu 37. Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1. C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN. Trên đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP. Gọi S là giao điểm của AM và PN. Giả sử , , ,
Khi x + y = thì k = , với và a, b nguyên tố cùng nhau thì a.b bằng
A. 7 B. 4 C. 5 D.
Lời giải
FB: Ngô Quang Nghiệp
Ta có:
, (1).
Mặt khác:
, (vì AP = CA = 1 - k nên )
, (2).
Từ (1) và (2), ta có
Ta có:
Đối chiếu điều kiện, ta chọn . ĐÁP ÁN D.
Email: [email protected]
Câu 38. Cho tam giác . Giả sử điểm nằm trên cạnh thỏa các tam giác lần lượt có diện tích là . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê
Chọn A
Gọi .
Ta có
Email: [email protected]
Câu 39. Cho tam giác ABC có có M là trung điểm của BC, . Điểm K thuộc cạnh AC sao cho B,I,K thẳng hàng. Khi đó . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc
Chọn B
Ta có .
Gọi điểm thuộc cạnh AC sao cho .
Ta có và
Để B,I,K thẳng hàng thì
Vậy
Email : [email protected]
Câu 40. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho và và thỏa mãn đẳng thức . Giá trị của biểu thức là:
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên : Nguyễn Quang Huy Fb: Nguyễn Quang Huy
Thật vậy nếu ta gọi M là trung điểm của BC ta có:
Mặt khác ta lại có
Do đó
Nhận thấy do đó .vậy chọn B
(Email): [email protected]
Câu 41. Cho tam giác . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho . Một đường thẳng cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Biết . Tính .
A.2. B.5. C.3. D.4.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My)
Ta có
Đặt
Ta có
Mặt khác , cùng phương nên
Hay
Tên facebook: NT AG
Câu 42. Cho tam giác có là trung điểm của , là một điểm trên đoạn sao cho . Gọi ,, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên tác giả: Nguyễn Đặng
Chọn B
Đặt:, , .
Theo bài ra ta có
Do thẳng hàng nên
Do thẳng hàng nên
Từ đó: , lại có
Câu 43. Cho hình thang có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Kẻ và . Gọi , kẻ . Khi đó trong tam giác hệ thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta chứng minh
Kẻ . Tứ giác nội tiếp
Khi đó là tứ giác nội tiếp.
là các đường trung bình của các tam giác
là các đường trung trực của nên . Vậy
Từ đó suy ra là trực tâm tam giác . Nên đáp án đúng là B
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet
Email: [email protected]
Câu 44. Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác . Đặt . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
* là trung điểm của nên: .
* là trọng tâm tam giác nên: , thay và ta được .
(Email): [email protected]
Câu 45. Một đường thẳng cắt các cạnh và đường chéo của hình bình hành lần lượt tại các điểm và Biết Khẳng định đúng là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt
Khi đó:
Ta có:
Do không cùng phương nên
Giải hệ được và
Vậy
(Họ và tên tác giả : Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc)
Email: [email protected]
Câu 46. Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao
AC cắt BH tại I. Biết .
Tính tổng
A.20 B. 18 C.17 D.21
Lời giải
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui
Mà không cùng phương
Câu 47. Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. Với , , khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn
Chọn B
Do nên: .
Do đó ;
, nên:
;
Có:
Câu 48. Cho tam giác đều tâm ; điểm thuộc miền trong tam giác ; , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải.
Phan Minh Tâm
Chọn D
Từ kẻ đường thẳng cắt , tại , ;
Từ kẻ đường thẳng cắt , tại , ;
Từ kẻ đường thẳng cắt , tại , ;
Suy ra , , là các tam giác đều nên , , là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến. Khi đó
;
;
.
Ta được .
Hay .
Mặt khác ta có tam giác đều nên tâm cũng là trọng tâm tam giác nên ;
Vậy .
VÁN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Email: [email protected]
Câu 1. Cho hình bình hành có các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác . Xác định để đi qua .
A.. B. . C.. D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng
Chọn C
Gọi là trung điểm của . Khi đó:
Ta có:
Do và điểm nằm trên đoạn nên
Do đi qua nên thẳng hàng .
Câu 2. Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E . Đặt .
Tìm x để A, O, E thẳng hàng.
Chọn C
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
A, E, O thẳng hàng
Vậy là giá trị cần tìm.
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Email: [email protected]
Ý tưởng: Cho tam giác, là trung điểm của . Gọi là các điểm xác định bởi:
với .
Chứng minh rằng: thẳng hàng khi và chỉ khi .
Chứng minh
Ta có
Do đó, thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho
(vì không cùng phương)
Câu 3. Cho tam giác . Gọi là trung điểm; là điểm đối xứng với qua ; là điểm trên cạnh sao cho . Khi đó đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A. Trọng tâm tam giác . B. Trọng tâm tam giác .
C. Trung điểm . D. Trung điểm .
Lời giải
Đáp án: B
Theo đề bài,
Gọi là trọng tâm tam giác , ta được
Ta có suy ra P, G, R thẳng hàng.
(có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, còn M chia AI theo tỷ số tính được)
Câu 4. Cho có là trung điểm của và . Gọi là giao điểm của và . Tìm điểm trên sao cho thẳng hàng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành và là trung điểm của Khi đó, ta có:
Vận dụng định lý trong có thẳng hàng
Vậy
Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà
Câu 5. Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi , với . Tìm điều kiện của để M, N, P thẳng hàng.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có . Mà
Do nên M, N, Q thẳng hàng khi và chỉ khi
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Với bài toán trên thì việc cụ thể hóa bộ ba số m,n,p sao cho thỏa mãn điều kiện trên ta đều ra được bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Kết quả trên chúng ta có thể vận dụng vào để giải nhanh bài toán sau:
Câu 6. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các điểm được xác định bởi . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện tích tam giác ANP và tam giác CNP.
A. 3 B. C. 4 D. 2
Lời giải.
Ta có . Yêu cầu bài toán dẫn đến tìm tỉ số .
Ta dễ dàng chứng minh được M, N, G thẳng hàng.
Ta có
Vậy G, M, N thẳng hàng. Mặt khác MN cắt AC tại P, nên M, G, P thẳng hàng.
Áp dụng kết quả G, M, P thẳng hàng theo câu 1 vào ta có
, Khi đó , khi đó . Vậy
Câu 7. Cho tam giác. Gọi lần lượt là các điểm thỏa mãn: . Điểm trên thỏa mãn (với là phân số tối giản) sao cho 3 điểm thẳng hàng. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Vì
Giả sử
Mà nên
Vì thẳng hàng ()nên có m sao cho
Do đó có:
Hay
Do không cùng phương nên
Từ đó suy ra
Vậy
Email: [email protected]
Câu 8. Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn:
K là điểm thỏa mãn:
P là điểm thỏa mãn:
Có bao nhiêu cặp sao cho thẳng hàng.
A. 2 B. 3 C. D. 5
Lời giải
Ta có
Có:
Có:
I,K,P thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương
Do nên
(Fb: Lưu Thêm)
Email : [email protected]
Bài em sưu tầm ạ !
Câu 9. Cho tam giác , và là hai điểm thỏa mãn: , . Xác định để , , thẳng hàng.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
Để thẳng hàng thì sao cho
Hay
Câu 10. Cho tam giác có là trọng tâm, là trung điểm , lấy thuộc cạnh sao cho . Nếu thẳng hàng thì giá trị của nằm trong khoảng?
A. B. C. D.
Lời giải
(Họ tên: Nguyễn Thu Hương. Tên FB: Thu Hương)
N
O
B
C
G
K
Chọn B
I
Không giảm tính tổng quát: giả sử tam giác có: thì
Gọi Khi đó: . Để thẳng hàng :
suy ra
Họ và tên: Trần Văn Luật
Email: [email protected]
FB: Trần Luật
Câu 11. Cho tam giác , là điểm thuộc cạnh sao cho, thuộc sao cho, là điểm thuộc . Biết rằng ba điểm thẳng hàng khi . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
.
Do là điểm thuộc nên .
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi .
Vậy .
Họ và tên: Hoàng Thị Kim Liên
Email: [email protected]
Facebook: Kim Liên
Câu 12. Cho tam giác . Gọi lần lượt nằm trên đường thẳng sao cho, . Tính tích để thẳng hàng?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có :
Để thẳng hàng thì ta có :
Câu 13.
(Email): [email protected]
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó ( là tối giản) . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
( Tên FB: Phùng Hằng )
Chọn B
Ta có
.
Đặt .
Do A,G,K thẳng hàng thì
Suy ra
Vậy
Email: [email protected]
Câu 15. Cho hình thang có đáy , , ., lần lượt là các điểm thuộc cạnh và sao cho , . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; Khi đó , với là phân số tối giản. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui
Chọn A
Gọi là giao điểm của và . Ta có A, lần lượt là trung điểm của, .
Giả sử ; .
Ta có
Do thẳng hàng nên .
Vậy .
Ta có
Do thẳng hàng nên .
Vậy .
Suy ra .
Cách 2:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng là , ta có
.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng là , ta có
.
Vậy .
Email: [email protected]
Câu 16. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN bằng 4.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy
Chọn D
Giả sử ta có
Tương tự
Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có
Suy ra
(Có thể dùng định lý Menelauyt để tính tỷ số)
Email: samnk.thptnhư[email protected]
Câu 17. Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm
Chọn B
A
B
C
M
P
N
Ta có:
Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:
.
VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH
Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng
Email: [email protected]
Câu 1. Cho tam giác với là điểm thoả mãn , gọi là điểm thuộc và thoả mãn . Xác định để thẳng hàng.
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Ta có
Để thẳng hàng thì . Chọn C
Câu 2. Cho hình vuông tâm cạnh . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn là một đường tròn có bán kính . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh)
Chọn C
Vì là hình vuông tâm nên ta có:
Theo giải thiết:
.
Vậy tập hợp các điểm là đường tròn tâm bán kính .
Email: [email protected]
Câu 3. Cho tam giác . Tập hợp những điểm thỏa mãn :
là :
A. Đường thẳng đi qua B. Đường thẳng qua và
C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất.
Lời giải
, (: là trung điểm )
, ( : trọng tâm )
,( là trung điểm của )
(không đổi). Vậy tập hợp điểmlà đường tròn tâm, bán kính . Chọn đáp án C.
(Họ và tên tác giả : Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung)
Câu 4. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo)
Chọn B
A
B
C
H
M
Ta có
.
(do
(định lý chiếu vectơ)
Suy ra
.
Câu 5. Cho hai điểm và cố định. Tìm giá trị để tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện là một đường tròn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là điểm thỏa mãn: ta có
ta có:
Mà ; nên
Nếu : Quỹ tích điểm là rỗng.
Nếu : Quỹ tích điểm là điểm .
Nếu : Quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính .
PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm
Email: [email protected]
Câu 6. Cho tam giác vuông tại . Tìm tập hợp sao cho .
A.Đường thẳng. B.Đường tròn. C.Đoạn thẳng. D.Một điểm.
Lời giải
Chọn D
. Gọi là điểm được xác định bởi . ( E là điểm thứ tư của hình bình hành ).
Ta có:
. Vậy . Nên tập hợp điểm là điểm .
( Cách chứng minh trên phục vụ cho cả tam giác là tam giác thường và khi đó các tập hợp điểm là khác nhau )
Email: [email protected]
Câu 7. Cho tam giác vuông cân tại có . Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: . Gọi là trung điểm của . Kết luận nào sau đây đúng?
A. là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng .
B. là đoạn thẳng .
C. là đường tròn cố định bán kính .
D. là đường tròn tâm bán kính
Lời giải
(Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3)
Chọn C
Từ giả thiết:
Gọi là điểm thỏa mãn
là trung điểm của đoạn thẳng
Ta có
Và , .
Suy ra
Ta có kết quả:
Như vậy là đường tròn tâm bán kính .
Câu 8. Cho tam giác đều cạnh . Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức nằm trên một đường tròn có bán kính là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Gọi là điểm thỏa mãn điều kiện:
Khi đó, ta có:
.
Suy ra : ;.
Ta lại có:
.
Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính .
Câu 9. Cho . Tìm tập hợp các điểm sao cho: .
A. Tập hợp các điểm là một đường tròn.
B. Tập hợp của các điểm là một đường thẳng.
C. Tập hợp các điểm là tập rỗng.
D. Tập hợp các điểm chỉ là một điểm trùng với .
Lời giải
Chọn A
Gọi là điểm thỏa mãn .
.
Gọi là trung điểm . Ta được: .
, , cố định nên tập hợp các điểm là đường tròn tâm , bán kính .
Câu 10. Cho tam giác đều cạnh . Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức nằm trên một đường tròn có bán kính là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Gọi là điểm thỏa mãn điều kiện:
Khi đó, ta có:
.
Suy ra : ;.
Ta lại có:
.
Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính .
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga
Email: [email protected]
Câu 11. Cho đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm sao cho là:
A. Đường tròn có bán kính .
B. Đường tròn có bán kính .
C. Đường tròn có bán kính .
D. Đường tròn có bán kính .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trọng tâm . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp và cố định.
Ta có
Mà
Ta có
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm bán kính .
Họ và tên tác giả : Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An
Email: [email protected]
Câu 12. Cho tìm tập hợp điểm :
Lời giải
Gọi là trung điểm của , ta có:
Gọi là trung điểm của , suy ra:
Suy ra:
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho hay , suy ra điểm xác định duy nhất.
Dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với , khi đó với mọi điểm nằm trên ta có:
.
Vậy tập hợp điểm là đường thẳng
Email: B[email protected]
Câu 13. Cho tam giác đều cạnh bằng . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là đường tròn cố định có bán kính bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ tên: Lê Thị Bích Hải. Tên face: Bich Hai Le
Chọn B
Gọi là trọng tâm của tam giác
Ta có
Chọn điểm sao cho
Mà là trọng tâm của tam giác
Khi đó
Do đó
Vì là điểm cố định thỏa mãn nên tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn tâm bán kính
Câu 14. Cho tam giác có là trọng tâm . Tìm tập hợp điểm thỏa mãn .
A. Đường tròn đường kính . B. Đường trung trực đoạn thẳng.
C. Đường tròn đường kính . D. Đường trung trực đoạn thẳng.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)
Chọn A
Ta có .
Gọi điểm là trung điểm cạnh .
Ta có .
Do đó .
Từ đó suy ra tam giác vuông tại hay tập hợp các điểm là đường tròn đường kính .
Câu 15. Cho đoạn thẳng . Biết rằng tập hợp điểm thỏa mãn là một đường tròn có bán kính . Tìm giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)
Chọn A
Ta có .
Gọi điểm là trung điểm cạnh .
Ta có .
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn là đường tròn tâm có bán kính .
Họ và tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ
Email: [email protected]
Câu 16. Cho tam giác , có bao nhiêu điểm thỏa ?
A. . B. .
C. vô số. D. Không có điểm nào.
Lời giải.
Chọn C
Gọi là trọng tâm của tam giác , ta có .
Thay vào ta được : , hay tập hợp các điểm là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng .
Vấn đề 4. TỈ LỆ
Họ và Tên: Trần Quốc Đại
Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/tqd1671987
Câu 1. Cho có;. Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Tính .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B
* Phân tích theo các vectơ .
Ta có: .
.
Lấy suy ra: .
Câu 2. [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho gọi điểm nằm trên cạnh sao cho , là trung điểm của . Một đường thẳng bất kì qua và cắt các cạnh lần lượt tại . Tình tỉ số
A. . B. .
C. . D.
Lời giải
Chọn A
Do nằm trên cạnh nên ta có
Do nằm trên cạnh nên ta có
Ta có
Suy ra
Suy ra
Do hai vecto và không cùng phương nên suy ra
Họ và tên tác giả : Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức
Email: [email protected]
Câu 3. Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi là trung điểm của . Tia cắt tại . Tỉ số có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Giả sử chia theo tỉ số . Ta có: (1).
Lại có: (2).
Vì và là 2 vectơ cùng phương nên .
Do đó .
Câu 4. (Bài toán tổng quát của bài toán 1). Cho tam giác . Gọi là điểm chia theo tỉ số . Trên các tia và lấy các điểm . cắt tại . Đặt , . Tỷ số có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Giả sử P chia MN theo tỉ số x. Ta có .
Lại có: (1).
Vì và đồng phương nên .
Do đó (2).
Từ và , ta có .
Câu 5. (Hệ quả hay dùng của bài toán 2). Cho tam giác . Gọi là trung điểm của BC. Trên các tia và lấy các điểm . cắt tại . Đặt , . Tỷ số có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
là trung điểm của nên I chia BC theo tỷ số . Áp dụng kết quả ở bài 2, ta có:
.
Tên: Nam Phương Tên FB: Nam Phương
Email:[email protected]
Câu 6. Cho tam giác . Gọi lần lượt là các các điểm thỏa mãn . Điểm trên đoạn thẳng sao cho ba điểm thẳng hàng. Tìm tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì nên
Giả sử
Do thẳng hàng ta có:
Vậy
Email: [email protected] Face Hải Vân
Câu 7. Cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại thỏa mãn . Qua trung điểm của dựng đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có
Đặt , ta có
Vì cùng phương nên có số thực sao cho
Suy ra .
(Email): [email protected]
Câu 8. Cho tam giác và điểm thỏa mãn . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Giá trị của tỉ số là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
(Họ và tên tác giả : Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà)
Giả sử .
Từ giả thiết suy ra:
.
Do thẳng hàng nên cùng phương
.
Gmail: B[email protected]
Câu 9. Cho tam giác . Điểm chia trung tuyến theo tỷ số kể từ đỉnh.
Đường thẳng chia diện tích tam giác theo tỷ số , giá trị của bằng?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án D
K
F
D
B
A
C
Do là trung điểm của thiết:
Gọi F là giao điểm của BK và AC.
Mà thẳng hàng : thẳng hàng :
thẳng hàng và
Từ suy ra :
Từ suy ra :
Do hai véctơ không cùng phương nên từ ta có:
Do đó:
Vậy
(Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)
Họ và tên: Tăng Lâm Tường Vinh
Email: [email protected]
Facebook: tanglamtuong.vinh
Câu 10. Cho tam giác với là trung điểm . Lấy các điểm thỏa mãn , . Gọi là giao điểm của và . Đặt . Hỏi
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Chọn A
Ta có
Mà là 2 vector không cùng phương nên ta có
Gmail: B[email protected]
Câu 11. Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho ; ;. Đường thẳng chia đoạn theo tỷ số . Giá trị của bằng?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án A
Theo giả thiết:
Mà thẳng hàng : thẳng hàng :
Từ suy ra :
Từ suy ra :
Do hai véctơ không cùng phương nên từ ta có:
Vậy
(Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)
Họ và tên: Hoàng Ngọc Lâm
Email: [email protected]
Facebook: Hoàng Ngọc Lâm
Câu 12. Cho tam giác . Kéo dài một đoạn , gọi là trung điểm của . Vẽ hình bình hành . Đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Để xác định giao điểm của và , ta tính theo và .
Ta có: .
cắt tại điểm mà .
Suy ra .
Câu 13. Cho tam giác có , . Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn C
Theo tính chất đường phân giác ta có
Và
Vậy ta có
Suy ra .
Hoặc ta có thể giải như sau:
Ta có
Ta lại có .
Theo tính chất phân giác, ta lại có
Vậy .
Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát
Email: [email protected] Nhờ thầy cô góp ý!
Câu 14. Cho hình bình hành , là điểm bất kì trên đoạn , đường thẳng cắt cạnh tại và đường thẳng tại sao cho . Tỷ số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt: và .
Theo định lý talet: .
Ta có: ; .
Theo đề bài: .
Họ và Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh
Email : [email protected]
Câu 15. Cho hai tam giác và ; gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , . Tính tỉ số ta được kết quả :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Vì là trọng tâm tam giác suy ra
Tương tự là trọng tâm tam giác suy ra
Mặt khác
Mà lần lượt là trọng tâm các tam giác
Suy ra
Do đó
. Vậy .
VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX
Email: [email protected]
Câu 1. Cho đều cạnh bằng 3, là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp . Đặt . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó, giá trị biểu thức là:
A.. B.. C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng
Chọn B.
Gọi lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp . Ta có:
khi và chỉ khi trùng
khi và chỉ khi trùng là điểm đối xứng của qua
đều cạnh bằng 3 .
Họ và tên tác giả : Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth
Email: [email protected]
Câu 2. Cho và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: , . Giá trị lớn nhất của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt 3 vectơ , , tương ứng là , , như hình vẽ.
Ta có:
Vậy Max
Câu 3. Cho hai điểm và , thỏa mãn : . Khi thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Bổ đề : Cho hai véc tơ và khác véc tơ , ta luôn có :
Chứng minh : Bình phương vô hướng vế phải ta được :
Từ đó suy ra : (đpcm).
Áp dụng vào bài toán cân bằng hệ số : Chúng ta có thể ghi nhớ công thức để áp dụng nhanh vào các bài toán cân bằng hệ số đối với đường tròn và mặt cầu như sau :
Ta có : và
Trong đó :
Suy ra :
Có :
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là chọn đáp án C.
Câu 4. Cho tứ giác , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn với mọi điểm M: Giá trị của k là
A. k = 3 B. k = 4 C. k = 5 D. k = 6
Lời giải
Chọn D
Vì thỏa mãn với mọi M.
Do đó, đẳng thức cũng đúng với
Tức là:
Gọi G là trọng tâm
là trung điểm GD.
Mặt khác:
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị nhỏ nhất của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
(Vì tam giác ABC vuông tại A nên
Mặt khác,
Suy ra,
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BD = CK hay ΔABC vuông cân tại A
Câu 6. Cho hai điểm cố định G và là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Do G và là trọng tâm nên và
Ta có:
Mặt khác,
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng
Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: [email protected]
Mail: [email protected]
FB: Nguyễn Nga Nvc
Câu 7. Cho hình thang có . Với mỗi điểm di động trên cạnh ta xác định điểm sao cho . Tìm độ dài nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , từ giả thiết suy ra tam giác đều cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của , suy ra cố định và
Từ giả thiết ta có tứ giác là hình bình hành, nên .
Vậy độ dài nhỏ nhất của bằng .
Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II
Gmail: [email protected]
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2 ; CA = b; AB = c và điểm M di động
Biểu thức F= đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 4 B. 12 C. 16 D. 24
Lời giải
Xét điểm I thỏa mãn: (1)
( Dựng đường cao AH, dựng I sao cho A là trung điểm IH ; I thỏa (1))
Bình phương hai vế của (1) chú ý rằng
rồi biến đổi ta được kết quả .
Họ và tên tác giả : Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên
Email: [email protected]
Câu 9. Cho đều có cạnh bằng . Gọi là đường thẳng qua và song song , điểm di động trên . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
(với là trung điểm ).
là điểm thứ 4 của hình bình hành .
.
Min đạt được khi . Khi đó:
.
Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Thành
Email: [email protected]
Câu 10. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó:
Từ đó suy ra:
Lại có và
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều đồng thời M trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Mail: [email protected]
Chủ đề: Vectơ.
Câu 11. Cho tam giác ABC có trung tuyến . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. . B. . C. . D.
Lời giải:
Chọn. A.
A
A’
C
C’
B
G
Đặt , ta có:
và
Do nên
+ Nếu thì
+ Nếu thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của cosB là , đạt dược khi tam giác ABC cân tại
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê
Email: [email protected]
Câu 12. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Lời giải
Chọn B.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
Theo tính chất phân giác trong: , mà hai vecto , ngược hướng nên ta có
hay (*)
Mặt khác
Mà ngược hướng nên
Thay vào (*) ta có
Vậy độ dài của nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I
Họ và tên: Ngô Gia Khánh
Địa chỉ mail: [email protected]
Câu 13. Cho tam giác là tam giác đều cạnh bằng , là điểm di động trên đường thẳng . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
A. B. C. D.
Lời giải
+, Gọi G là trọng tâm tam giác , ta có:
+, Dựng hình bình hành , ta được:
+, Khi đó
( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC)
Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GD và đường thẳng AC hay M là trung điểm của AC
+ Nhận xét
Vậy .
Email: [email protected]
Câu 14. Cho và có các trọng tâm G và cố định và . Khi đó giá trị nhỏ nhất của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Vậy
Giâ trị nhỏ nhất của T là 3a khi cùng phương.
(Họ và tên tác giả : Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan)
Mail: [email protected]
Câu 15. Cho tam giác với các cạnh ; . Gọi là đường phân giác trong của góc . Biết biểu thị vectơ . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có
điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số
Nên ta có: .
Câu 16. Cho có ;. Phân giác trong của góc cắt trung tuyến tại . Biết , với và tối giãn. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C.
Ta có: .
.
Từ và ta có hệ
Họ và tên tác giả : Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi
Email: [email protected]
Câu 17. Cho tứ giác có và cùng vuông góc với , , , . Gọi là một điểm thuộc cạnh . Biết , giá trị lớn nhất của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Vì là một điểm thuộc cạnh nên tồn tại sao cho
.
Khi đó, và .
Suy ra
Do .
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có .
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi và .
Vậy .
Câu 18. Cho tứ giác có và cùng vuông góc với , , , . Cho là số thực dương thuộc và điểm thỏa mãn . Tìm hệ thức liên hệ giữa , , , để góc ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Từ suy ra
và .
Khi đó,
Do nên .
Vậy hệ thức liên hệ giữa , , , để góc là .
Câu 19. Cho tam giác có trọng tâm , qua dựng đường thẳng cắt cách cạnh , lần lượt tại , . Đặt , , gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
(Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)
Chọn B
Ta có , , .
.
.
Do , , thẳng hàng nên .
.
Do , lần lượt nằm trên các cạnh , nên .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
giá trị nhỏ nhất .
Ta có .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ta có
giá trị lớn nhất là .
Vậy .
Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
Email: [email protected]
Facebook: Nguyễn Thị Thu
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho . Điểm M di động trên BC sao cho . Tìm x sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Dựng hình bình hành AGCE. Ta có .
Do đó nhỏ nhất khi .
Gọi P là trung điểm của AC; Q, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, E trên BC.
Ta có và đồng dạng nên hay .
Có PQ là đường trung bình của nên Q là trung điểm của HC hay .
.
Do đó . Vậy .
gmail: [email protected]
Câu 21. Cho tam giác ABC đều cạnh , là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi E là trung điểm AB.
Gọi I là điểm thỏa mãn:
nằm giữa đoạn EC và
Ta có:
Vậy min M là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Đường thẳng d qua B và tạo với AB 1 góc nên d song song AC và cắt EC tại K.
nên là trung điêm KC
(Tác giả: Hoàng Thị Thúy - Facebook: Cỏ ba lá )
Câu 22. Cho tam giác đều cạnh nội tiếp đường tròn và điểm thay đổi trên . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng hình bình hành . Ta có
Gọi là giao điểm khác của với . Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
và
Dấu bằng xảy ra lần lượt khi trùng và trùng .
Vậy .
Câu 23. Cho lục giác đều cạnh . Trên đường chéo , lấy hai điểm , sao cho . Độ dài đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng bao nhiêu ?
A.. B. . C.. D..
Lời giải
(Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam )
Chọn B.
Ta có mà .
Vậy .
Lại có mà .
Vậy .
Khi đó
.
Mà và .
Vậy .
.
Xét , ta có .
Vậy khi .
Câu 24. Cho hình chữ nhật có , . và lần lượt là trung điểm và . là điểm thỏa mãn và lớn nhất. Tính .
A. B. C. D. .
Lời giải
Suy ra
Để lớn nhất thì là giao điểm của đường tròn tâm bán kính với ( và khác phía so với ).
Do đó
Họ tên tác giả : Đoàn Phú Như Tên fb : Như Đoàn
Email : [email protected]
Câu 25. Cho tam giác ABC, Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A.. B. . C. . D..
Lời giải :
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O là trung điểm AC..
Gọi D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì
Ta có
Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi DM nhỏ nhất.
Vì M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên DM nhỏ nhất khi và chỉ khi O,M,D theo thứ tự thẳng hàng.
Ta có
Vậy .
Chọn đáp án B
Câu 26. Cho tam giác có là trọng tâm. Gọi là chân đường cao hạ từ sao cho . Điểm di động nằm trên sao cho . Tìm sao cho độ dài của vectơ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn B.
Dựng hình bình hành . Ta có .
Kẻ . Khi đó .
Do đó nhỏ nhất khi .
Gọi là trung điểm , là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó là trung điểm nên .
Ta có và đồng dạng nên hay .
Mặt khác, .
là đường trung bình nên là trung điểm hay .
Suy ra
Do đó .
Câu 27. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho và đồng thời thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của góc nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
B
C
A
D
E
Gọi . Ta có: (1)
Lại có: (2)
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được :
Suy ra: của nằm trong khoảng chọn đáp án D.
Câu 28. Cho hình thang ABCD có , , góc tạo bởi hai véc tơ và bằng . Khi đó giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
B
C
A
D
Ta có: và . Suy ra:
Bình phương vô hướng hai vế ta được:
Tương tự ta có:
Ta có: và . Suy ra:
Bình phương vô hướng hai vế ta được:
Suy ra: chọn đáp án B.
Câu 29. Cho hình thang ABCD có , . Giá trị của biểu thức bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
B
C
A
D
Ta có: và . Suy ra:
Bình phương vô hướng hai vế ta được:
(1)
Tương tự ta có:
Ta có: và . Suy ra:
Bình phương vô hướng hai vế ta được:
(2)
Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế, ta được : Chọn đáp án A.
Suy ra: chọn đáp án B.
Câu 30. Cho tam giác có và đã biết. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng với mọi giá trị thực . Giá trị của nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có: và: . Áp dụng vào bài này, ta có :
. Giả thiết cho biết:
Suy ra:
Sử dụng bình phương vô hướng để tính:
Suy ra: . Vậy ta chọn đáp án B.
Email: [email protected]
Câu 31. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê
Chọn B.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
Theo tính chất phân giác trong: , mà hai vecto , ngược hướng nên ta có
hay (*)
Mặt khác
Mà ngược hướng nên
Thay vào (*) ta có
Vậy độ dài của nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I
Email: [email protected]
Câu 32. Cho tam giác đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le
Gọi G là trọng tâm tam giác . Ta có:
=
(Vì )
.
Dấu “=”xẩy ra .
Vậy min khi M là điểm thỏa mãn
Họ và tên tác giả : Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm
Email: [email protected]
Câu 33. Cho tam giác có hai đường trung tuyến kẻ từ và vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi lần lượt là trung điểm của Ta có:
Theo giả thiết nên ta có hay
Mà và nên suy ra
Áp dụng định nghĩa tích vô hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có
Dấu xảy ra khi hay tam giác cân tại Vậy
Họ và tên : Cấn Việt Hưng
Email: [email protected]
FB: Viet Hung
Câu 34. Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ?
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn A.
Gọi là đỉnh thứ 4 của hình bình hành . Khi đó .
Ta có hay .
Suy ra là hình chữ nhật nên .
Do đó nằm trên đường tròn tâm đường kính .
lớn nhất khi trùng với tâm hay
Họ và tên tác giả : Phương Xuân Trịnh Tên FB: : Phương Xuân Trịnh
Email: [email protected]
Câu 35. Cho tam giác vuông tại . Gọi là góc giữa hai trung tuyến và . Giá trị nhỏ nhất của là:.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
(do )
.
Mặt khác:
.
Do đó:
.
vuông cân tại .
Vậy .
Câu 36. Cho có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho . Điểm M di động trên BC sao cho . Tìm x sao cho độ dài vecto đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Dựng hình bình hành AGBE. Ta có .
Gọi là trung điểm của . Khi đó cũng là trung điểm của và
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên BC.
Ta có và đồng dạng nên .
Mặt khác là đường trung bình của nên . Theo giả thiết
Suy ra
Từ giả thiết . Do đó
( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu)
Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai
Email: [email protected]
Câu 37. Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của . Khi đó .
Ta có hay Suy ra vuông tại nên . Do đó nằm trên đường tròn tâm đường kính .
lớn nhất khi trùng với tâm hay
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo
Email: [email protected]
Câu 38. Cho và là hai phân giác trong của tam giác . Biết , và . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
là phân giác trong của tam giác nên
.
Tương tự: .
Vậy .
Câu 39. : Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Một điểm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên . Tính độ dài lớn nhất của ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi là đỉnh thứ 4 của hình bình hành . Khi đó .
Ta có hay .
Suy ra là hình chữ nhật nên .
Do đó nằm trên đường tròn tâm đường kính .
lớn nhất khi trùng với tâm hay
Họ và tên tác giả : Hoàng Tiến Đông Tên FB: tiendongpt
Email: [email protected]
Câu 40. Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là điểm , lần lượt thỏa mãn ; . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua , đường thẳng này đi qua lần lượt trên các cạnh . Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm thuộc đoạn:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A
Từ kẻ , suy ra: là trung điểm .
Ta có: .
.
.
Ta có: .
Xét hàm số: trên . suy ra: .
Đỗ Công Dũng
Email: [email protected]
Câu 41. Cho tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp. Tìm giá trị lớn nhất của .
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4
Lời giải
Chọn D
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dựng hình bình hành
Ta có
Tương tự ta có :
Lấy từng vế ta có:
( do tứ giác là hình bình hành nên )
Khi đó
mà,
nên
Vậy giá trị lớn nhất của là .
Đẳng thức xảy ra . Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC có . Hay là tam giác cân tại và có .
Họ và tên tác giả : Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang
Email: [email protected]
Câu 42. Cho tam giác đều cạnh Gọi là điểm nằm trên cạnh Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
trong đó lần lượt là trung điểm của Do đó cố định .
Kẽ vuông góc với Ta có
Tính được
Email: [email protected]
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh A, C)
Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử . Tìm giá trị lớn nhất của m + n
A. B. C. D. 2
Lời giải
Đặt và ,
Có
, (1)
Mặt khác
, (2)
Từ (1) và (2), ta có
Do đó
, đạt được khi k = hay M là trung điểm AC.
(Fb: Lưu Thêm)
Họ và tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan
Email: [email protected]
Câu 44. : Cho tam giác có là trọng tâm. Gọi là chân đường cao hạ từ sao cho . Điểm di động nằm trên sao cho . Tìm sao cho độ dài của vectơ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Dựng hình bình hành . Ta có .
Kẻ . Khi đó .
Do đó nhỏ nhất khi .
Gọi là trung điểm , là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó là trung điểm nên .
Ta có và đồng dạng nên hay .
Mặt khác, .
là đường trung bình nên là trung điểm hay .
Suy ra
Do đó .
Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng
Câu 45. Cho tam giác ABC có nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm thuộc đường tròn (O). Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó giá trị của bằng
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Vậy :
`
Mà :
Họ và tên tác giả : Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen
Email: [email protected]
Câu 46. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm ,bán kính , là một điểm bất kì trên đường tròn. Giá trị lớn nhất của biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Trong đó
Do tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính nên có cạnh là
Dấu bằng xảy ra khi cùng chiều.
Vậy
Email: [email protected]
Câu 47. Cho tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú
Chọn A
Gọi lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có:
. Dấu bằng xẫy ra khi .
Vậy .
VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG
Email: [email protected]
Câu 1. Cho tam giác đều cạnh . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho
Chọn A
Cách 1
Nhận xét: Với mọi điểm M bất kỳ, ta luôn có
Do đó .
Cách 2
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Do tam giác ABC đều nên lần lượt là các hình chiếu của lên các cạnh BA, CB, AB.
Áp dụng công thức chiếu, ta có
Cộng vế theo vế ta được .
Cách 3. Vì tam giác ABC đều nên .
Do đó
Câu 2. Cho tam giác có là trung tuyến, là trọng tâm. Một đường thẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Trước hết ta chứng minh
Thật vậy, kẻ
Do đó
( luôn đúng)
Vậy ta có
( Do )
Câu 3. Cho các véc tơ thỏa mãn và . Tính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Tác giả : Quang Phi
Chọn A
Ta có
Tương tự ta có .
Và ta lại có .
Suy ra .
Họ và tên: Đoàn Thị Hường
Email: [email protected] Fb: Đoàn Thị Hường
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a , M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Biết rằng . Độ dài cạnh AC là:
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC nên ta có
Đặt AB = x ; AC = y ta có (1) (Tam giác ABC vuông tại A)
Mặt khác từ
Nên có
( Do )
(2)
Từ (1) và (2) ta có Chọn đáp án A
Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên
Mail: [email protected]
Câu 5. Cho tam giác có .Dựng điểm M sao cho. Đặt.Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Từ
Và
Ta có hệ:. Suy ra .
Email: [email protected]
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn là
A. Đường thẳng AC. B. Đường thẳng AB.
C. Đường thẳng BC. D. Đường trung trực cạnh BC.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon
Chọn B
Yêu cầu bài toán trở thành
Gọi E là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ABEC. Hệ thức (*) trở thành
Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB.
Câu 7. Cho tam giác đều cạnh , . Lấy các điểm , , lần lượt trên các cạnh
, , sao cho , , . Tìm để .
A. . B. .
C. . D.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon
Chọn B
Ta có
.
Ta có .
Để thì
.
.
. Vậy thì .
Nguyenducloi [email protected]
Câu 8. Cho tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm và là điểm di động trên đường thẳng . Khi đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi)
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm .
Có
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên .
Dựng hình vuông . Gọi là trung điểm và là giao điểm của với .
Dễ dàng chứng minh được .
Lại có tứ giác là hình bình hành, suy ra .
Do đó và là trung điểm Suy ra tam giác cân tại
Vậy
Email: [email protected]
Câu 9. Cho có trọng tâm , là chân đường cao kẻ từ sao cho . Điểm di động trên sao cho . Tìm sao cho nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền
Chọn D
Gọi là trung điểm cạnh .
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi .
Email: [email protected]
Câu 10. Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức theo R.
A.8R2. B.10R2. C.12R2. D.14R2.
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn
Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:
. Khi đó
(chú ý )
Email: [email protected]
Câu 11. Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, =Lấy điểm E trên tia MP và đặt .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
A. k=. B. k=. C. k=. D. k=.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm
Chọn B
Ta có:
NEMF.()=0
..
(Email): [email protected]
Câu 12. Đẳng thức đúng với mọi điểm M. Khi đó tứ giác ABCD là hình gì.
A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật.
C. Hình thoi. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham)
Chọn B
Đẳng thức đúng với mọi điểm M
Cho M trùng với ta được
Cho M trùng với C ta được
(vì )
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Email: [email protected]
Câu 13. Cho hình vuông cạnh . Gọi lần lượt thuộc các đoạn thẳng và sao cho , và . Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap
Chọn B
Ta có: ;
Từ và nằm giữa hai điểm nên suy ra và
.
Email: [email protected]
Câu 14. Cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều kiện , vector vuông góc với . Tính cosin của góc tạo bởi hai vector và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman
Chọn B
Ta có .
Suy ra .
Câu 15. Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh . Tìm giá trị biểu thức:
A. B. C. D.
Lời giải
Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác ta luôn có:
. Từ đó
Vì
Tương tự ta có:
Chọn đáp án C.
Họ và tên: Lê Thái Bình
Email: [email protected]
Facebook: Lê Thái Bình
Câu 16. Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho Gọi E là điểm thỏa mãn Khi Tính giá trị biểu thức .
A. B. C. D.
Lời giải.
Đặt .
Ta có
và
Khi đó
Câu 17. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho . Gọi N là trung điểm CD. Tam giác BMN là
A.Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C.Tam giác Vuông. D.Tam giác vuông cân
Lời giải
Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa
Chọn D
Đặt .
Khi đó:
Ta có:
Suy ra
Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M
(Email): [email protected]
Câu 18. Cho tam giác. Gọi là trực tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Đặt, ,. Tìm hệ thức liên hệ giữa , , sao cho vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh của tam giác.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Chứng minh được tứ giác là hình bình hành.
Nên
Ta có là trung điểm của đoạn nên
Suy ra
Ta có: ; tương tự
Gọi , , lần lượt là trung điểm của các cạnh, và.
Lại có:
Suy ra: .
(Sưu tầm, Họ và tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7)
Câu 19. Cho tam giác có là trung tuyến, là trọng tâm. Một đường thẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Trước hết ta chứng minh
Thật vậy, kẻ
Do đó
( luôn đúng)
Vậy ta có
( Do )
Họ và tên:Phan Thông
Email:[email protected]
Facebook:Quocthongphan
Câu 20. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4 .Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm trên cạnh AD sao cho ,CM vuông góc với BN .Khi đó k thuộc vào khoảng nào sau đây
A. B . C. D.
Giải: Đặt ,
Ta có
Theo giả thiết ta có
Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm
Email: [email protected]
Câu 21. Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, =Lấy điểm E trên tia MP và đặt .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
A. k=. B. k=. C. k=. D. k=.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
NEMF.()=0
..
Câu 22. Cho tam giác có . là trung điểm của , là chân đường phân giác trong góc . Tính
A. . B. .
C. . D.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn D
Vì là trung điểm của nên
Suy ra
Ta lại có nên
Theo tính chất đường phân giác thì
Suy ra (*)
Mặt khác và thay vào (*) ta được
Hay
Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát
Email: [email protected] Bài ở mức độ VD, nhờ thầy cô góp ý!
Câu 23. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi và . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Tương tự ta cũng có: .
Vậy:
⇔ .
⇔ .
Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần
Email: [email protected]
Câu 24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn . Biết rằng OM vuông góc với BI và . Tính góc .
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có
Gọi tương ứng là trung điểm của đoạn
Khi đó
Do đó . Suy ra .
Họ và tên tác giả : Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe
Email: [email protected]
Câu 25. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để là
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Họ và tên: Vũ Huỳnh Đức
Email: [email protected]
Facebook: vuhuynhduc2017
Câu 26. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn , . Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính diện tích của tam giác IBC theo a?
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Chọn A
và do nên từ ta cũng có
-
Từ giả thiết ta có
vuông tại I.
Vậy .
Họ và tên tác giả : Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh
Email: [email protected]
Câu 27. Cho tam giác đều và các điểm thỏa mãn , , . Tìm để vuông góc với .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
+) .
Để vuông góc vớithì
Email: [email protected]
Câu 28. : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh . Tìm giá trị biểu thức:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác ta luôn có:
. Từ đó
Vì
Tương tự ta có:
Chọn đáp án C.
Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng. FB: Hùng Tăng
Họ và tên: Nguyễn Thị Huệ FB: Nguyễn Thị Huệ
Gmail: [email protected]
Câu 29. Cho hai véc tơ và thỏa mãn các điều kiện Đặt và Tìm tất cả các giá trị của sao cho
A. B. C. D.
Lời giải. Chọn A
Từ giả thiết .
,
Họ và tên tác giả : Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê
Email: [email protected]
Câu 30. Cho tứ giác , hai điểm thỏa mãn và Tính theo để
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phân tích: Ta thấy nên cần phân tích theo và .
Giải. Ta có biểu diễn
Vậy . Do đó .
Suy ra Đáp án B.
Họ và tên tác giả : Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran
Email: [email protected]
Câu 31. Cho tam giác có Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho và là điểm thuộc sao cho (). Biết
( là phân số tối giản, a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳngvuông góc với đường thẳng
Tính giá trị biểu thức .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
.
.
Suy ra:
Theo giả thiết, ta có :
Họ và tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất
Email: [email protected]
Câu 32. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi và . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có: |
Tương tự ta cũng có: |
Vậy: |
⇔ ⇔ |
⇔ ⇔ |
Câu 33. Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho . Tìm k để CM BN.
A. k=7,9 B. k=8 C. k=8,1 D. k=7.8
Lời giải
Chọn B
giải: Ta có
Để CMBN thì
Mà
Vậy thì
Họ và tên tác giả : Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy
Email: [email protected]
Câu 34. Cho hình bình hành có đường chéo lớn là . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên . Biểu thức nào sau đây là đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên nên ta có:
Suy ra: (*)
Do là đường chéo lớn nên và nằm giữa hai điểm . Suy ra
Tương tự ta có: nằm giữa hai điểm . Suy ra
Vậy đẳng thức (*) trở thành: .
Email: [email protected]
Câu 35. Cho hình thang vuông , đường cao , cạnh đáy . Tìm hệ thức giữa để vuông góc trung tuyến của tam giác .
A. . B. .
C. . D.
Lời giải
Chọn A
Thay , ta có:
(1)
mà
và
nên: .
Họ và tên tác giả : Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam
Email: [email protected]
Câu 36. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R) , M là điểm chính giữa cung BC ( cung BC không chứa điểm A) . Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Tương tự ,
Từ (1), (2) và (3) :
Ta sẽ chứng minh (*)
Thật vậy ,
( đúng)
( với lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MAC, MAB)
Vậy (*)
Theo bài ra: thay vào (*) :
Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương
Email: [email protected]
Câu 37. Cho tam giác có . là trung điểm của , là chân đường phân giác trong góc . Tính
A. B.
C. D.
Lời giải
Hình 2.3
Chọn D
* Vì M là trung điểm của BC nên
Suy ra
Ta có
nên
* Theo tính chất đường phân giác thì
Suy ra (*)
Mặt khác và thay vào (*) ta được
Hay
Họ và tên tác giả : Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung
Email: [email protected]
Câu 38. Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng và người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động được trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại . Người tham dự cuộc thi sẽ đứng tại vị trí điểm để kéo vật thể chuyển động trên . Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc . Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
+ Đặt . Khi đó theo định lý cosin ta có:
Do đó ta có hệ thức:
Xét phương trình bậc hai:
Phương trình có nghiệm khi
Vậy học vị trí xa nhất mà học sinh có thể đạt được cách một khoảng là
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b . Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Theo giả thiết:
Khi đó:
Câu 40. Cho hình chữ nhật ABCD có . Điểm M thuộc cạnh AD và N là trung điểm BC sao cho . Phân số tối giản có bằng bao nhiêu
A. 29. B. 18. C.16. D. 27.
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn)
Chọn B
Ta có
nên
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa
Email: [email protected]
Câu 41. Cho tam giác có ; , . Gọi là trung điểm của và là chân đường phân giác trong góc của tam giác . Biết rằng trung tuyến vuông góc với phân giác trong . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có là chân đường phân giác trong góc nên
và , ngược hướng suy ra
Ta có: .
Vì là trung tuyến nên .
Theo giả thiết:
Vậy .
Câu 42. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ . Khi đó
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
Tương tự
Suy ra
Vì là các véc tơ đơn vị và đôi một tạo với nhau một góc 1200 nên , do đó
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải
- Bộ đề kiểm tra 1 tiết chương 4: biểu thức đại số toán 7 có đáp án
- 205 câu trắc nghiệm vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian oxyz có đáp án và lời giải
- 10 đề thi thử qg môn toán 2020 có lời giải-tập 6
- 8 đề thi thử tốt nghiệp thpt qg toán 2020 có đáp án và lời giải-tập 5