Sự biến thiên của hàm số

Giả sử $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $f$ là hàm số xác định trên $K$

1. Hàm số $f$ gọi là đồng biến (hay tăng) trên $K$ nếu  $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
2. Hàm số $f$ gọi là nghịch biến (hay giảm) trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.

Nói một cách khác, ta có:

1. Hàm số $f$ đồng biến trên $K$ khi và chỉ khi $\forall {x_1} \ne {x_2} \in K$ thì $\dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}>0$.
2. Hàm số $f$ nghịch biến trên $K$ khi và chỉ khi $\forall {x_1} \ne {x_2} \in K$ thì $\dfrac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}<0$

Về dáng điệu đồ thị ta có kết luận như sau:

1. Nếu một hàm số đồng biến trên $K$ thì trên đó, đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải.
2. Nếu một hàm số nghịch biến trên $K$ thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.

Chú ý: Để xét sự đồng biến, nghịch biến thì $K$ phải là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn chứ không thể xét trên hợp của các khoảng, đoạn, nửa khoảng.

Ví dụ. Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$ nhưng không đơn điệu trên $J = (-\infty;0) \cup (0;+\infty)  = \mathbb{R} \backslash\{0\}$.