Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

1. Định nghĩa

Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $OM'=OM$ và góc lượng giác $\left( OM;OM' \right)=\alpha$ được gọi là phép quay tâm $O$, $\alpha$ được gọi là góc quay.

Phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$ được kí hiệu là ${{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}$.

Nhận xét

• Khi $\alpha =\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì ${{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}$ là phép đối xứng tâm $O$.
• Khi $\alpha  = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ thì ${{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}$ là phép đồng nhất.

2. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$ và $M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( O,\alpha  \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l} x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\ y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha  \end{array} \right.$

Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$, $I\left( a;b \right)$ và $M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( I,\alpha  \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l} x' = a + \left( {x - a} \right)\cos \alpha  - \left( {y - b} \right)\sin \alpha \\ y' = b + \left( {x - a} \right)\sin \alpha  + \left( {y - b} \right)\cos \alpha  \end{array} \right.$

3. Tính chất của phép quay

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.