Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Vì $8+2{{x}^{2}} > 0\forall x$ nên biểu thức có nghĩa với mọi $x\in \mathbb{R}$ .

Ta có: $\sqrt{\dfrac{{{(-5)}^{2}}}{6-3x}}$ có nghĩa khi $\dfrac{{{(-5)}^{2}}}{6-3x}\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{25}{6-3x}\ge 0$ mà $25 > 0$

$\Rightarrow 6-3x > 0\Leftrightarrow 6 > 3x\Leftrightarrow x < 2$ .

Ta có $2{{x}^{2}}-4x+3=2{{(x-1)}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-4x+3}\ge 1$ khi $x=1$
Do đó $y=2020+\sqrt{2{{x}^{2}}-4x+3}\ge 2021$ khi $x=1$ .

Ta có $P=\sqrt{12}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}-\left| \sqrt{3}-2 \right|=2\sqrt{3}-\left( 2-\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2$ .

Ta có $\sqrt{4{{x}^{2}}}=3x-1\Leftrightarrow \left| 2x \right|=3x-1\left( * \right)$

Nếu $x\ge 0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 2x=3x-1\Leftrightarrow x=1$

Nếu $x < 0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow -2x=3x-1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\left( L \right)$

Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị x thỏa mãn là $x=1$

Ta có: $\sqrt{144{{a}^{2}}}=\sqrt{{{(12a)}^{2}}}=\left| 12a \right|$ mà $a > 0\Rightarrow 12a > 0$ nên $\left| 12a \right|=12a$ hay $\sqrt{144{{a}^{2}}}=12a$

Từ đó: $A=\sqrt{144{{a}^{2}}}-9a=12a-9a=3a.$ .

Ta có biểu thức $P=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$ xác định khi ${{x}^{2}}-4x+3\ge 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\ge 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l} x-1\ge 0 \\ x-3\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 3$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l} x-1\le 0 \\ x-3\le 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\le 1$

Vậy với $x\ge 3;x\le 1$ thì biểu thức xác định

ĐK: $x\ge 2021$ .
Ta có: $\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{x-2021}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}-1\,=\,0 \\ \sqrt{x-2021}\,=0 \\ \end{matrix}\, \right.\,\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\,=\,\pm 1 \\ x-2021\,=\,0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\,=\,\pm 1\,\left( \text{L} \right) \\ x\,=\,2021\,\left( \text{TM} \right)\, \\ \end{matrix} \right.\,$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S\,=\,\left\{ 2021 \right\}$ .

Biểu thức có nghĩa khi $2x-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$ .

Để $A=10$ thì $\sqrt{4x-4}=10\Leftrightarrow 4x-4=100\Leftrightarrow 4x=104\Leftrightarrow x=26$ . (TMĐK)

Ta có: $\sqrt{9x}\le 15\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & 9x\ge 0 \\ & 9x\le {{15}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ge 0 \\ & x\le 25 \\ \end{array} \right.$
Vậy tổng số các giá trị nguyên của $x$ thỏa bất phương trình là:
$\begin{array}{l} & S=1+2+3+4+...+24+25 \\ & S=\left( 25+1 \right).\dfrac{25}{2}=325. \\ \end{array}$

Biểu thức có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l} & x\ge 1 \\ & 5-x > 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le x < 5$ .

Biểu thức có nghĩa khi ${{x}^{2}}-6x+8 > 0$ (do $3 > 0$ ) $\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( x-4 \right) > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x > 4 \\ & x < 2 \\ \end{array} \right.$ .

Ta có

$\begin{array}{l} 2\sqrt{5}-3\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}} \\ =2\sqrt{5}-3\left| 2-\sqrt{5} \right|+\sqrt{9-2.3.\sqrt{5}+5} \\ =2\sqrt{5}-3\left( \sqrt{5}-2 \right)+\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{2}}} \\ =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+6+\left| 3-\sqrt{5} \right| \\ =-2\sqrt{5}+9 \end{array}$

$\sqrt{5+\sqrt{x}}=4$ (ĐKXĐ: $x\ge 0$ )
$\Leftrightarrow 5+\sqrt{x}=16$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=11\,\,\,\Leftrightarrow x=121$ (t/m ĐKXĐ).

Ta có $\sqrt{\dfrac{-2}{3x-1}}$ có nghĩa khi $\dfrac{-2}{3x-1}\ge 0$ mà $-2 < 0$

$\Rightarrow 3x-1 < 0$ $\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} 2\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{4}}}-3\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}}+5\sqrt{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{8}}}} \\ =2\sqrt{{{\left[ {{\left( -3 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}-3\left| -5 \right|+5\sqrt{\sqrt{{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{4}} \right]}^{2}}}} \\ =2\left| {{\left( -3 \right)}^{2}} \right|-3.5+5\sqrt{\left| {{\left( -2 \right)}^{4}} \right|} \\ =2.9-3.5+5.\left| {{\left( -2 \right)}^{2}} \right| \\ =18-15+20=23 \end{array}$

Ta có $\sqrt{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -1 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{{{x}^{2}}-7}{x+\sqrt{7}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}}{x+\sqrt{7}}=\dfrac{\left( x-\sqrt{7} \right)\left( x+\sqrt{7} \right)}{x+\sqrt{7}}=x-\sqrt{7} \\ \Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-7}{x+\sqrt{7}} > \sqrt{7}\Leftrightarrow x-\sqrt{7} > \sqrt{7}\Leftrightarrow x > 2\sqrt{7} \end{array}$

Biểu thức có nghĩa khi $2x-{{x}^{2}} > 0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right) < 0\Leftrightarrow 0 < x < 2$ .

Ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}+10x+25}=\sqrt{{{(x+5)}^{2}}}=\left| x+5 \right|=-x-5$ (vì $x < -5$ ).

Nên $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+10x+25}}{-5-x}=\dfrac{-(x+5)}{-(x+5)}=1$ .

Ta có: $\sqrt{\dfrac{4\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x-1}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l} & \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x-1}\ge 0 \\ & x\ne 1 \\ \end{array} \right.$ . Mà ${{x}^{2}}+1 > 0\forall x\Rightarrow x-1 > 0\Leftrightarrow x > 1$ .

Biểu thức có nghĩa khi $2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{2}$ .

Ta có: $P=\sqrt{{{a}^{6}}{{\left( a-10 \right)}^{2}}}=\left| {{a}^{3}} \right|\sqrt{{{\left( a-10 \right)}^{2}}}={{a}^{3}}\left| a-10 \right|={{a}^{3}}\left( 10-a \right)$ .

Ta có $\sqrt{-3x+6}$ có nghĩa khi và chỉ khi $-3x+6\ge 0\Leftrightarrow x\le 2$

Ta có: $Q=\dfrac{3\sqrt{x}-1}{2020} < 0\Leftrightarrow 3\sqrt{x}-1 < 0\Leftrightarrow \sqrt{x} < \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 0\le x < \dfrac{1}{9}$ .

Ta có $\dfrac{1}{x-1}\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} 4-{{x}^{2}}\ge 0 \\ x-1\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4\ge {{x}^{2}} \\ x\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right|\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2\le x\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.$

Biểu thức có nghĩa khi $x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$ .

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{{{x}^{2}}-2\sqrt{5}x-15}{x-3\sqrt{5}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2\sqrt{5}x+5-20}{x-2\sqrt{5}} \\ =\dfrac{{{\left( x-\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}{x-3\sqrt{5}}=\dfrac{\left( x-3\sqrt{5} \right)\left( x+\sqrt{5} \right)}{x-3\sqrt{5}}=x+\sqrt{5} \end{array}$

Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-6x+8\ne 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2;4$ .

Ta có $\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{n}^{2}}}=\left| n+1 \right|+\left| n \right|=2n+1$ do $n\in \mathbb{N}$

Mặt khác ${{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}=\left( n+1-n \right)\left( n+1+n \right)=2n+1$

Vậy $\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{n}^{2}}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}$

Biểu thức có nghĩa khi $\dfrac{2x-6}{\sqrt[3]{x+1}}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & \left\{ \begin{array}{l} & 2x-6\ge 0 \\ & x+1 > 0 \\ \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} & 2x-6\le 0 \\ & x+1 < 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x\ge 3 \\ & x < -1 \\ \end{array} \right.$ .

Ta có: $\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ $=\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}-\sqrt{2+2\sqrt{2}.\sqrt{5}+5}$ $=\sqrt{{{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{5} \right)}^{2}}}$
$=1+\sqrt{2}-\left( \sqrt{2}+\sqrt{5} \right)$ $=1-\sqrt{5}$ .
$\Rightarrow a=1$ ; $b=1$ $\Rightarrow a+b=2$ .

Ta có

$\begin{array}{l} \sqrt{5\sqrt{23-8\sqrt{7}}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\sqrt{7-2.4.\sqrt{7}+16}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\sqrt{{{\left( \sqrt{7}-4 \right)}^{2}}}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\left| \sqrt{7}-4 \right|-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{20-5\sqrt{7}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{9-6\sqrt{7}+7} \\ =\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{2}}} \\ =3-\sqrt{7} \end{array}$