Sự tồn tại nguyên hàm

Bài sau

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí. Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$

Ví dụ.

Hàm số $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và $\displaystyle\int{x^{\frac{2}{3}}}dx=\dfrac{3}{5} \cdot x^{\frac{5}{3}}+C$
Hàm số $g(x)=\dfrac{1}{\sin^2{x}}$ có nguyên hàm trên từng khoảng $\left( k\pi ;\left( k+1 \right)\pi \right),\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $\displaystyle\int{\dfrac{1}{\sin^2{x}}dx}=-\cot x+C$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x$ .

A
$F\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{3}}}{3}+C$ .
B
$F\left( x \right)=2\pi x+C$ .
C
$F\left( x \right)={{\pi }^{2}}x+C$ .
D
$F\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{2}}{{x}^{2}}}{2}+C$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x={{\pi }^{2}}x+C$ .

Câu 2: Hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ có nguyên hàm trong khoảng

A
$\left( -\infty ;1 \right)$ .
B
$\left( 1;+\infty \right)$ .
C
$\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ .
D
$\left( -\infty ;+\infty \right)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ luôn liên tục trên tập xác định nên nó có nguyên hàm trên tập xác định, tức trên tập $\left( 1;+\infty \right)$ .

Câu 3: Cho $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A
$\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}$ .
B
$\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}}$ .
C
$\int{f\left( x \right)g\left( x \right)dx=\int{f\left( x \right)dx.\int{g\left( x \right)dx}}}$ .
D
$\int{2f\left( x \right)dx=2\int{f\left( x \right)dx}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.

Câu 4: Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $K$ nếu

A
${F}'\left( x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in K$ .
B
${f}'\left( x \right)=F\left( x \right),\forall x\in K$ .
C
${f}'\left( x \right)=-F\left( x \right),\forall x\in K$ .
D
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in K$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo lý thuyết nguyên hàm:
Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in K$ .

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Sự tồn tại nguyên hàm

Lý thuyết về Sự tồn tại nguyên hàm

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm nguyên hàm F(x)=∫π2dx F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x .

Câu 2: Hàm số y=(x−1)12y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}} có nguyên hàm trong khoảng

Câu 3: Cho f(x),g(x) f\left( x \right),g\left( x \right) là các hàm số xác định và liên tục trên R \mathbb{R} . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 4: Hàm số F(x) F\left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x) f\left( x \right) trên khoảng K K nếu

Câu 1: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x$ .

Câu 2: Hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ có nguyên hàm trong khoảng

Câu 3: Cho $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 4: Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $K$ nếu