Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác

Ta có: $\cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A={{30}^{0}}$

Ta có: $S=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}=\dfrac{3}{4}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).$

Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$ : $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ .

Áp dụng công thức Hê-rông: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=24$

Ta có trong tam giác góc đối diện với cạnh có số đo lớn nhất thì lớn nhất $\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{3}^{2}}+{{8}^{2}}-{{9}^{2}}}{2.3.8}=-\dfrac{1}{6}$

Ta có: Trong tam giác $ABC$ có $a=6\Rightarrow BC=6$ mà $BM=3$ suy ra $M$ là trung điểm $BC$

Suy ra: $A{{M}^{2}}=m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=9\Rightarrow AM=3$

Ta có: $m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}.$

Ta có: $m_{c}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}\Rightarrow {{m}_{c}}=\sqrt{\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(2{{b}^{2}}+2{{a}^{2}})-{{c}^{2}}}$

Ta có: ${{BC}^{2}}={{AC}^{2}}+{{AB}^{2}}-2AC.AB\cos A$

$=36+64-2.6.8.\cos {{60}^{0}}=52\Rightarrow BC=2\sqrt{13}$