Hàm số bậc nhất

Hàm số $y=(3m-1)mx+6m$ là hàm số bậc nhất khi 

$(3m-1).m\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m-1\ne 0 \\ m\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne \dfrac{1}{3} \\ m\ne 0 \end{array} \right.$ .

Hàm số $y=\sqrt{{{m}^{2}}+3}.x+1$ có ${{m}^{2}}+3\ge 3\Rightarrow y=\sqrt{{{m}^{2}}+3}.x+1 > 0$ với mọi $m$ nên là hàm số đồng biến với mọi $m$ .

Hàm số $y=\dfrac{m-1}{{{m}^{2}}+2m+2}x-5$ là hàm số nghịch biến $\dfrac{m-1}{{{m}^{2}}+2m+2} < 0$

Nhận thấy ${{m}^{2}}+2m+2={{(m+1)}^{2}}+1\ge 1 > 0$ với mọi $m$ nên $\dfrac{m-1}{{{m}^{2}}+2m+2} < 0$ $\Rightarrow m-1 < 0\Leftrightarrow m < 1$ .

Hàm số $y=(-2{{m}^{2}}+4m-5)x-7m+5$ là hàm số đồng biến $-2{{m}^{2}}+4m-5 > 0$

Nhận thấy $-2{{m}^{2}}+4m-5=-(2{{m}^{2}}-4m+5)=-2({{m}^{2}}-2m+1)-3=-2{{(m-1)}^{2}}-3 < 0,\forall m$

Nên hàm số nghịch biến với mọi $m$ , nghĩa là không có giá trị nào của $m$ để hàm đã cho đồng biến.

hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \dfrac{-2}{m+1} > 0\Leftrightarrow -2\left( m+1 \right) > 0\\ \Rightarrow m+1 < 0\Leftrightarrow m < -1$

Hàm số $y=\dfrac{m+1}{m-2}x+2m-3$ là hàm số bậc nhất khi 

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{m+1}{m-2}\ne 0 \\ m-2\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+1\ne 0 \\ m\ne 2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -1 \\ m\ne 2 \end{array} \right.$ .

Hàm số $y=({{m}^{2}}-9m+8)x+10$ là hàm số bậc nhất khi

${{m}^{2}}-9m+8\ne 0\Leftrightarrow (m-1)(m-8)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-1\ne 0 \\ m-8\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne 1 \\ m\ne 8 \end{array} \right.$ .

Đặt $X=x-5$ khi đó ta có $g(X)=2(X+5)-1=2X+9$

Vậy $g(x)=2x+9$

Hàm số $y=\left( \dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \right)x-5$ có

$a=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)}=\dfrac{4+4\sqrt{3}+3-4+4\sqrt{3}-3}{4-3}=8\sqrt{3} > 0$

nên là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y=\dfrac{3m}{1-2m}x-5$ là hàm số bậc nhất khi 

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3m}{1-2m}\ne 0 \\ 1-2m\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m\ne 0 \\ 2m\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne 0 \\ m\ne \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$ .

Hàm số $y=\sqrt{2-m}.x+1$ là hàm số bậc nhất khi 

$\left\{ \begin{array}{l} 2-m\ge 0 \\ \sqrt{2-m}\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\le 2 \\ m\ne 2 \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 2$ .

Hàm số $y=5mx-2x+m$ $\Leftrightarrow y=(5m-2)x+m$ là hàm số đồng biến khi $5m-2 > 0\Leftrightarrow m > \dfrac{2}{5}$ .