Định nghĩa tích phân
Lý thuyết về Định nghĩa tích phân
Cho hàm số $f$ liên tục trên $K$ và $a; b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của $f$ từ $a$ tới $b$, kí hiệu là $$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}.$$
Người ta còn dùng kí hiệu $\left. F(x)\right|_{a}^{b}$ để chỉ hiệu số $F(b) - F(a)$. Khi đó ta có thể viết $$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} = \left. F(x)\right|_{a}^{b} = \left.\left( \int{f(x) dx}\right)\right|_{a}^{b}.$$
$a, b$ được gọi là hai cận của tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f(x)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $x$ là biến số lấy tích phân. Kết quả của tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số lấy tích phân, có nghĩa là $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b} {f(u)du}=\int\limits_{a}^{b} {f(t)dt}=\cdots$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và $f\left( 0 \right)=3;f\left( 3 \right)=1$ . Khi đó, $I=\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)d\text{x}}$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $I=\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)d\text{x}}=f\left( 3 \right)-f\left( 0 \right)=-2$
Câu 2: Nếu $f\left( 1 \right)=2,\mathsf{ }f'(x)$liên tục và $\int\limits_{1}^{2}{f'(x)dx}=8$, thì giá trị của $f(2)$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Ta có \(\int\limits_{1}^{2}{f'(x)dx}=8\Leftrightarrow f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=8\Rightarrow f\left( 2 \right)=f\left( 1 \right)+8=10\)
Câu 3: Nếu $f\left( 2 \right)=-5,f'\left( x \right)$ liên tục $\left( 0;+\infty \right)$ và $\int\limits_{2}^{5}{f'\left( x \right)dx}=3$ thì $f\left( 5 \right)$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $3=\int\limits_{2}^{5}{f'\left( x \right)dx}=\left. f\left( x \right) \right|_{2}^{5}=f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)=-2$
Câu 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, $t$ là biến số. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là
- A
- B
- C
- D
Vì tích phân của hàm số không phụ thuộc vào biến số nên $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}$
Câu 5: Cho $\int{f\left( x \right)}dx=F\left( x \right)+C$ , biết $F\left( a \right)=m;F\left( b \right)=n;$ khi đó $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=...$
- A
- B
- C
- D
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=F\left( b \right)-F\left( a \right)=n-m$
Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ . Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=8,F\left( a \right)=-3$ . Khi đó, $F\left( b \right)$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$$\Leftrightarrow F\left( b \right)+3=8\Leftrightarrow F\left( b \right)=5$