Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Do trên khoảng $\left( -5;0 \right)$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
Do trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ hàm số không có giá lớn nhất.
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập $\mathbb{R}$.

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số không có điểm cực đại.

$y'=1+\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }} > 0,\forall x\in \left( 0;2 \right]$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \dfrac{3}{2}$ .

$y'=\sqrt{{ x ^ 2 }+3}+\dfrac{x\left( x-6 \right)}{\sqrt{{ x ^ 2 }+3}},y'=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{3} } 2 \notin \left[ 1;2 \right]$

$f\left( 1 \right)=-10,f\left( 2 \right)=-4\sqrt{7}$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 10$

Từ đồ thị ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0$

Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có $M=5$ và $m=-2$ . Do vậy $M-3m=11$ .

Từ đồ thị ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3$

Dựa vào BBT
+ thấy giá trị $-4$ là giá trị nhỏ nhất nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( -3;2 \right)$ bằng $-4$ tại $x=0$.
+ hàm số không đạt giá trị lớn nhất trong khoảng $\left( -3;2 \right)$

Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( x \right)=1\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ nên có giá trị lớn nhất là $1$.

Tự luận: $y'=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} > 0,\forall x\in \left[ 2;3 \right]$ , $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = \dfrac{3}{4}$ .

Casio: Mode 7, START 2, END 3, STEP $\dfrac{1}{20}$ $\Rightarrow$ $\max f\left( x \right)=\dfrac{3}{4}$ khi $x=3$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn $\left[ -2;3 \right]$ GTLN của hàm số là 4.

$y'=1-\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }},y'=0\Rightarrow x=\pm 1$ . Lập bảng biến thiên ta thấy $\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2$

$y'=3{ x ^ 2 }-3,y'=0\Rightarrow x=\pm 1$

$f\left( -3 \right)=-15,f\left( 1 \right)=1,f\left( -1 \right)=5,f\left( \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{15} 8$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;\frac{3}{2}} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - 15$

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ bằng $\pm 1$.

$\begin{gathered}   y = x + \frac{2}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{2}{{{x^2}}} \hfill \\    \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2  \hfill \\  \end{gathered}$
Vậy ta có BBT trên khoảng $(0;+\infty)$

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0;+\infty)$ là $2\sqrt 2$.

$y ^ { \prime } = e ^ { x } + x e ^ { x } = ( x + 1 ) e ^ { x } ; y ^ { \prime } = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in [ - 2 ; 0 ]$

Có $y ( - 2 ) = - \dfrac { 2 } { e ^ { 2 } } ; y ( - 1 ) = - \dfrac { 1 } { e } ; y ( 0 ) = 0 \operatorname {}\Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \min y = y ( - 1 ) = - \dfrac { 1 } { e } } \\ { \max _ {  } y = y ( 0 ) = 0 } \end{array} \right.$

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $-4$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right)$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Vì $\left| x-1 \right|\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $0$.

Nhìn vào đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ là $3$

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} y = 8$.

Từ đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là 4

$y'=\dfrac{2}{{}{{\left( x+1 \right)}^ 2 }} > 0,\forall x\in \left[ -3;-2 \right]$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) = 2$

Điều kiện: $-2\le x\le 2$

$y'=1+\dfrac{x}{{}\sqrt{4-{ x ^ 2 }}},y'=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt 2$

$f\left( -2 \right)=-2,f\left( 2 \right)=2,f\left( \sqrt{-2} \right)=-2\sqrt2$

$\begin{array}{l} & \Rightarrow \max f\left( x \right)=2 ,\min f\left( x \right)=-2\sqrt2 \\ & \max f\left( x \right).\min f\left( x \right)=-4\sqrt2\\ \end{array}$

Từ đồ thị ta thấy cả bốn khẳng định trên đều đúng.

$y=\dfrac{2{ x ^ 2 }+5x+4}{x+2}=2x+1+\dfrac{2}{{}x+2}\Rightarrow y '=2-\dfrac{2}{{}{{(x+1)}^ 2 }}$

$y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{array} \right.$

$f\left( 0 \right)=2,f\left( 1 \right)=\dfrac{11} 3$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = 2$

$y'=1-\dfrac{1}{{}{{\left( x-1 \right)}^ 2 }},y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{array} \right.$ .

Lập bảng biến thiên

Ta thấy $\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =3$.

Dựa vào đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ là 5 tại $x=2$ .

Từ đồ thị ta thấy GTNN của hàm số trên đoạn [-2; 0] là $-1$

$y'=4{ x ^ 3 }-16x,y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm 2 \\ \end{array} \right.$

$f\left( -1 \right)=9,f\left( 0 \right)=16,f\left( 2 \right)=0,f\left( 3 \right)=25$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 25$