Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết về Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên tập $\mathfrak{D}$

Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên tập $\mathfrak{D}$ nếu $f\left( x \right)\le M$ với mọi $x \in \mathfrak{D}$ và tồn tại $x_0 \in \mathfrak{D}$ sao cho $f\left(x_0\right)=M$

Kí hiệu $M=\max\limits_{\mathfrak{D}}\,f\left( x \right)$

Giá trị nhỏ nhất

Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên tập $\mathfrak{D}$ nếu $f\left( x \right)\ge m$ với mọi $x \in \mathfrak{D}$ và tồn tại $x_0 \in \mathfrak{D}$ sao cho $f\left(x_0\right)=m$

Kí hiệu $m=\min\limits_{\mathfrak{D}}f\left( x \right)$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do trên khoảng $\left( -5;0 \right)$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
Do trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ hàm số không có giá lớn nhất.
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập $\mathbb{R}$.

Câu 2: Cho đồ thị hàm số sau, trong các khẳng định sau, khẳng định sai là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số không có điểm cực đại.

Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số $ y=x-\dfrac{1}{x} $ trên nửa khoảng $ \left( 0;\left. 2 \right] \right. $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=1+\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }} > 0,\forall x\in \left( 0;2 \right] $

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\] .

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y=(x-6)\sqrt{{ x ^ 2 }+3} $ trên đoạn $\left[1;2\right]$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=\sqrt{{ x ^ 2 }+3}+\dfrac{x\left( x-6 \right)}{\sqrt{{ x ^ 2 }+3}},y'=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{3} } 2 \notin \left[ 1;2 \right] $

$ f\left( 1 \right)=-10,f\left( 2 \right)=-4\sqrt{7} $

$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 10$

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0\]

Câu 6: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ liên tục trên đoạn $ \left[ -1;3 \right] $ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $ M $$ m $ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $ \left[ -1;3 \right] $ . Giá trị $ M-3m $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right) $ ta có $ M=5 $ và $ m=-2 $ . Do vậy $ M-3m=11 $ .

Câu 7: Cho đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right) $ Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3\]

Câu 8: Cho hàm số \[y=f(x)\]xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên trên khoảng \[\left( -3;2 \right)\] như hình vẽ. Khẳng định đúng là?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào BBT
+ thấy giá trị $-4$ là giá trị nhỏ nhất nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( -3;2 \right)$ bằng $-4$ tại $x=0$.
+ hàm số không đạt giá trị lớn nhất trong khoảng $\left( -3;2 \right)$

Câu 9: Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;0 \right]$ và $f\left( x \right)=1;\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) = 1$$f\left( x \right)=1\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ nên có giá trị lớn nhất là $1$.

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số: $ y=\dfrac{x}{x+1} $ trên $ \left[ 2;3 \right] $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tự luận: $ y'=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} > 0,\forall x\in \left[ 2;3 \right] $ , $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = \dfrac{3}{4}$ .

 

Casio: Mode 7, START 2, END 3, STEP $ \dfrac{1}{20} $ $ \Rightarrow $ $ \max f\left( x \right)=\dfrac{3}{4} $ khi $ x=3 $ .

 

Câu 11: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ có đồ thị như hình bên Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $ \left[ -2;3 \right] $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn $ \left[ -2;3 \right] $ GTLN của hàm số là 4.

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=x+\dfrac{1}{x} $ trên khoảng $ \left( 0;+\infty \right) $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=1-\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }},y'=0\Rightarrow x=\pm 1 $ . Lập bảng biến thiên ta thấy \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\]

Câu 13: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y={ x ^ 3 }-3x+3 $ trên đoạn $ \left[ -3;\dfrac{3}{2} \right] $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=3{ x ^ 2 }-3,y'=0\Rightarrow x=\pm 1 $

$ f\left( -3 \right)=-15,f\left( 1 \right)=1,f\left( -1 \right)=5,f\left( \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{15} 8 $

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;\frac{3}{2}} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - 15\]

Câu 14: Cho đồ thị hàm số sau, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ bằng $\pm 1$.

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=x+\dfrac{2}{x} $ trên khoảng $ \left( 0;+\infty \right) $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\[\begin{gathered}
  y = x + \frac{2}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{2}{{{x^2}}} \hfill \\
   \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2  \hfill \\ 
\end{gathered} \]
Vậy ta có BBT trên khoảng $(0;+\infty)$

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0;+\infty)$$2\sqrt 2$.

Câu 16: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=x{{e}^{x}} $ trên đoạn $ \text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;\,\,0] $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$y ^ { \prime } = e ^ { x } + x e ^ { x } = ( x + 1 ) e ^ { x } ; y ^ { \prime } = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in [ - 2 ; 0 ]$

$y ( - 2 ) = - \dfrac { 2 } { e ^ { 2 } } ; y ( - 1 ) = - \dfrac { 1 } { e } ; y ( 0 ) = 0 \operatorname {}\Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \min y = y ( - 1 ) = - \dfrac { 1 } { e } } \\ { \max _ {  } y = y ( 0 ) = 0 } \end{array} \right.$

 

Câu 17: Hàm số $ y=f\left( x \right) $ xác định , liên tục trên $ \mathbb R \backslash \left\{ -\dfrac 1 2 \right\} $ và có bảng biến thiên như sau: 1. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $ -4 $ 2. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 8 3.Hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right) $ 4. Hàm số đạt cực tiểu tại $ x=3 $ Số mệnh đề sai là :  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $ -4 $

Hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right) $

 

Hàm số đạt cực tiểu tại $ x=3 $

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Câu 18: Cho hàm số $y=\left| x-1 \right|$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\left| x-1 \right|\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $0$.

Câu 19: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình bên. Giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;1 \right]$ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nhìn vào đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$$3$

Câu 20: Hàm số $ y=f\left( x \right) $ xác định trên $ \left[ 0;+\infty \right) $ và có bảng biến thiên như sau Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} y = 8$.

Câu 21: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là 4

Câu 22: Cho hàm số $ y=\dfrac{x-1}{x+1} $ . Gọi A, B lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn $ \left[ -3;-2 \right] $ . Khi đó:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=\dfrac{2}{{}{{\left( x+1 \right)}^ 2 }} > 0,\forall x\in \left[ -3;-2 \right] $

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) = 2\]

 

Câu 23: Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=x-\sqrt{4-{ x ^ 2 }} $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: $ -2\le x\le 2 $

$ y'=1+\dfrac{x}{{}\sqrt{4-{ x ^ 2 }}},y'=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt 2$

$ f\left( -2 \right)=-2,f\left( 2 \right)=2,f\left( \sqrt{-2} \right)=-2\sqrt2$

$ \begin{array}{l} & \Rightarrow \max f\left( x \right)=2 ,\min f\left( x \right)=-2\sqrt2 \\ & \max f\left( x \right).\min f\left( x \right)=-4\sqrt2\\ \end{array} $

Câu 24: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ xác định , liên tục trên $ \left[ -1;4 \right] $ và có đồ thị như hình bên dưới . Xét các phát biểu sau 1) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $ -3 $ 2) Hàm số có hai điểm cực trị 3) Hàm số đồng biến trên $ \left( 2;4 \right) $ 4) Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 Số phát biểu đúng là ?  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy cả bốn khẳng định trên đều đúng.

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=\dfrac{2{ x ^ 2 }+5x+4}{x+2} $ trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y=\dfrac{2{ x ^ 2 }+5x+4}{x+2}=2x+1+\dfrac{2}{{}x+2}\Rightarrow y '=2-\dfrac{2}{{}{{(x+1)}^ 2 }} $

$ y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{array} \right. $

$ f\left( 0 \right)=2,f\left( 1 \right)=\dfrac{11} 3 $

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = 2\]

Câu 26: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=\dfrac{{ x ^ 2 }-x+1}{x-1} $ trên khoảng $ \left( 1;+\infty \right) $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=1-\dfrac{1}{{}{{\left( x-1 \right)}^ 2 }},y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{array} \right. $ .

Lập bảng biến thiên

Ta thấy \[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =3\].

Câu 27: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $ \left[ -1;2 \right] $ bằng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $ \left[ -1;2 \right] $ là 5 tại $ x=2 $ .

Câu 28: Cho đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right) $ Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đồ thị ta thấy GTNN của hàm số trên đoạn [-2; 0] là $ -1 $

Câu 29: Giá trị lớn nhất của hàm số $ y={ x ^ 4 }-8{ x ^ 2 }+16 $ trên đoạn $ \left[ -1;3 \right] $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ y'=4{ x ^ 3 }-16x,y'=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm 2 \\ \end{array} \right. $

$ f\left( -1 \right)=9,f\left( 0 \right)=16,f\left( 2 \right)=0,f\left( 3 \right)=25 $

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 25\]