Tổng n số hạng của cấp số nhân

Tổng n số hạng của cấp số nhân

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tổng n số hạng của cấp số nhân

Lý thuyết về Tổng n số hạng của cấp số nhân

Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với công bội $q\ne 1$ thì tổng của $n$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức

${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$

Ví dụ: Cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-\frac{1}{2}$ và công bội $q=-3$. Khi đó tổng của $n$ số hạng đầu tiên được tính bởi:

${{S}_{n}}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}\left( 1-{{\left( -3 \right)}^{n}} \right)}{1-\left( -3 \right)}=-\dfrac{1-{{\left( -3 \right)}^{n}}}{8}$.

Từ đó ta có thể tính được:

${{S}_{2}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}=-\dfrac{1-{{\left( -3 \right)}^{2}}}{8}=1$

${{S}_{3}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=-\dfrac{1-{{\left( -3 \right)}^{3}}}{8}=-\dfrac{7}{2}$

Một số tính chất hay dùng:

  • ${{S}_{1}}={{u}_{1}}$
  • ${{u}_{k}}+{{u}_{k+1}}+...+{{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{k-1}}$
  • ${{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có tổng $ n $ số hạng đầu tiên là $ {{S}_{n}}={{6}^{n}}-1 $ . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ {{S}_{5}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}={{6}^{5}}-1 $

$ {{S}_{4}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}={{6}^{4}}-1 $

$ \Rightarrow {{u}_{5}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}={{6}^{5}}-{{6}^{4}}=6480 $ .

Câu 2: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có $ {{u}_{1}}=3,{{u}_{2}}=-6 $ . Biết rằng $ {{S}_{k}}=-16383, $ tính $ {{u}_{k}} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

 Công bội của cấp số nhân là. $ q=\dfrac{-6}{3}=-2 $ . Ta có:
$ {{S}_{k}}=\dfrac{3. \left[ 1-{{\left( -2 \right)}^{k}} \right]}{1-\left( -2 \right)}=-16383\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{k}}=16384\Rightarrow k=14\Rightarrow {{u}_{14}}=-24576. $

Câu 3: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có $ {{u}_{1}}=7,{{u}_{6}}=224 $ và $ {{S}_{k}}=3577 $ . Tính giá trị của biểu thức $ T=\left( k+1 \right){{a}_{k}} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

. Ta có. $ {{u}_{6}}=224\Leftrightarrow {{u}_{1}}{{q}^{5}}=224\Rightarrow q=2 $ . Do $ {{S}_{k}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right) $ nên $ {{S}_{k}}=3577 $
$ \Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}\Rightarrow k=9 $ . Suy ra $ T=10. {{u}_{9}}=10. {{u}_{1}}. {{q}^{8}}=17920 $

Câu 4: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $$ {{u}_{1}}=5,q=3 $$ {{S}_{n}}=200 $ , tìm $ n $$ {{u}_{4}} $.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

. Ta có $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}. \dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q} $ nên theo giả thiết, ta có $ 5. \dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=200\Leftrightarrow {{3}^{n}}=81\Leftrightarrow n=4 $
Suy ra $ {{u}_{4}}={{u}_{1}}. {{q}^{3}}=135. $

Câu 5: Cho cấp số nhân $ \left( {{x}_{n}} \right) $ có $ \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\
{{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20
\end{array} \right. $ . Tính tổng S của $ 50 $ số hạng đầu của cấp số nhân?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

. Ta có. $ \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\
{{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=10 \\
{{x}_{2}}q\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{x}_{2}}=2 \\
q=2
\end{array} \right. $
Suy ra $ {{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{2}}}{q}=1\Rightarrow S=\dfrac{1. \left( 1-{{2}^{50}} \right)}{1-2}={{2}^{50}}-1 $

Câu 6: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có tổng $ n $ số hạng đầu tiên là $ {{S}_{n}}={{5}^{n}}-1 $ . Tìm số hạng đầu $ {{u}_{1}} $ và công bội $ q $ của cấp số nhân đó.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

 Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $$ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $
Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5. $

Câu 7: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có tổng $ n $ số hạng đầu tiên là $ {{S}_{n}}={{5}^{n}}-1 $ . Tìm số hạng thứ $ 20 $ của cấp số nhân.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cách 1.

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $$ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $

Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{20}}={{u}_{1}}. {{q}^{19}}={{4. 5}^{19}} $.

Cách 2.

Ta có: $S_n = \dfrac{q^n - 1}{q- 1} u_1 = 5^n - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ \dfrac{u_1}{q - 1} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} q= 5\\ u_1 = 4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow u_{20} = u_1 q^{19} =  4 \cdot 5^{19}$.

Câu 8: Cho cấp số nhân $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có tổng $ n $ số hạng đầu tiên là $ {{S}_{n}}={{5}^{n}}-1 $ . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là gì?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=5-1=4 $$ {{u}_{2}}={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\left( {{5}^{2}}-1 \right)-\left( {{5}^{1}}-1 \right)=20. $
Suy ra $ q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=5\Rightarrow {{u}_{n}}={{4. 5}^{n-1}} $.

Câu 9: Cho dãy $\left\{ {{u}_{n}} \right\}$ là cấp số nhân có \({{u}_{3}}=16; {{u}_{6}}=128\) . Giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}}+...+\dfrac{1}{{{u}_{10}}}\) là
 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

\({{u}_{n}}\) là cấp số nhân nên ta có

\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_3} = {u_1}.{q^2} = 16}\\
{{u_6} = {u_1}.{q^5} = 128}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{q^3} = 8}\\
{{u_1}.{q^2} = 16}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
q = 2\\
{u_1} = 4
\end{array} \right.\]

Ta thấy $\dfrac{1}{{{u}_{1}}};\dfrac{1}{{{u}_{2}}};...;\dfrac{1}{{{u}_{10}}}$ lập thành cấp số nhân với số hạng ban đầu \({{a}_{1}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}=\dfrac{1}{4}\) và công bội \({{q}_{2}}=\dfrac{1}{2}\)
Có \({{S}_{n}}= {{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}\) $\Rightarrow A={{S}_{10}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1-{{(\dfrac{1}{2})}^{10}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1023}{2048}$

Câu 10: Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=2 \\ & { u _ n }=5{ u _{n-1}}+6,n\ge 2 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá trị là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta xét: $ { u _ n }+a=5({ u _{n-1}}+a)\Leftrightarrow { u _ n }=5{ u _{n-1}}+4a $

Kết hợp với đề bài $ \Rightarrow 4a=6\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2} $

Vậy $ { u _ n }=5{ u _{n-1}}+6\Leftrightarrow { u _ n }+\dfrac{3}{2} =5\left( { u _{n-1}}+\dfrac{3}{2} \right) $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+\dfrac{3}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} $$ { v _ n }=5{ v _{n-1}} $

Suy ra dãy số $ ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có $ { v _ 1 }=\dfrac{7}{2} $ , công bội $ q=5 $

$ \begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}} \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}}-\dfrac{3}{2} \\ & \Rightarrow { u _ 6 }=10936. \\ \end{align} $

Câu 11: Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=5 \\ & { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8{ n ^ 2 }+14n+1,n\ge 1 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ 7 trong dãy số có giá trị là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ đề bài suy ra $ f(n)=8{ n ^ 2 }+14n+1 $ là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức

$ g(n)=a{ n ^ 2 }+bn+c $ sao cho $ { u _{n+1}}+g(n+1)=9\left[ { u _ n }+g(n) \right] $

$ \begin{align} & \Rightarrow { u _{n+1}}+a{{(n+1)}^ 2 }+b(n+1)+c=9\left[ { u _ n }+a{ n ^ 2 }+bn+c \right] \\ & \Rightarrow { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a \\ \end{align} $

Mà $ { u _{n+1}}=9{ u _ n }+8{ n ^ 2 }+14n+1 $ nên ta phải có:

$ 8a{ n ^ 2 }+(8b-2a)n+8c-b-a=8{ n ^ 2 }+14n+1 $

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8a = 8\\
8b - 2a = 14\\
8c - b - a = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2\\
c = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow g(n) = {n^2} + 2n + \frac{1}{2}\]

Do đó: $ { u _{n+1}}+{{(n+1)}^ 2 }+2(n+1)+\dfrac{1}{2} =9\left[ { u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right] $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{7}{2} =\dfrac{17} 2 $ và $ { v _{n+1}}=9{ v _ n } $

Suy ra $ ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có $ { v _ 1 }=\dfrac{17} 2 $ , công bội $ q=9 $

$ \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{17} 2 {{.9}^{n-1}}=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}} $ mà

$ { v _ n }={ u _ n }+{ n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\left( { n ^ 2 }+2n+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{17} 2 {{.3}^{2n-2}}-{ n ^ 2 }-2n-\dfrac{1}{2} $

$ \Rightarrow { u _ 7 }=4517185 $

Câu 12: Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng (theo thứ tự của cấp số nhân kể trên) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng. Số lớn nhất trong ba số đó là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi ba số đã cho là: $ { u _ 1 },{ u _ 2 },{ u _ 7 } $ là ba số của một cấp số cộng

Còn cấp số nhân $ ({ v _ n }) $ . Theo giả thiết ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} + {v_2} + {v_3} = 93\\
{v_1} = {u_1}\\
{u_1} + d = {v_1}q\\
{u_1} + 6d = {v_1}{q^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1}(1 + q + {q^2}) = 93\\
d = {u_1}(q - 1)\\
6d = {u_7} - {u_1} = {u_1}({q^2} - 1)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}(1 + q + {q^2}) = 93(*)\\
{u_1}(q - 1) = \frac{1}{6}{u_1}({q^2} - 1)(1)\\
d = {u_1}(q - 1)
\end{array} \right.\]

Do: $ { u _ 1 }\ne 0,q\ne 1\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{6} (q+1)\Leftrightarrow q=5 $

Theo (*): $ { v _ 1 }+5{ v _ 1 }+25{ v _ 1 }=93\Leftrightarrow { u _ 1 }=3 $

Vậy 3 số đó là: $ 3,15,75 $

Câu 13: Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _{n+1}}=2{ u _ n }+5,n\ge 1 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ $ 2018 $ trong dãy số có giá trị là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo đề bài: $ { u _{n+1}}=2{ u _ n }+5\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2\left[ { u _ n }+\dfrac{5}{2} \right] $

Ta tìm số $ a $ thoả mãn: $ { u _{n+1}}+a=2\left[ { u _ n }+a \right]\Leftrightarrow { u _{n+1}}=2{ u _ n }+a $

Mà $ { u _{n+1}}=2{ u _ n }+5 $ nên ta có $ a=5 $

Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+5\Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+5=6 $ và $ { v _{n+1}}=2{ v _ n } $

$ \Rightarrow ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có công bội $ q=2 $

$ \begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}={{6.2}^{n-1}}={{3.2}^ n } \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-5={{3.2}^ n }-5 \\ & \Rightarrow { u _{2018}}={{3.2}^{2018}}-5 \\ \end{align} $

Câu 14: Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _{n+1}}={ u _ n }+3n-1-{{2.5}^ n },n\ge 1 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

$ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _ 2 }={ u _ 1 }+3.1-1-{{2.5}^ 1 } \\ & { u _ 3 }={ u _ 2 }+3.2-1-{{2.5}^ 2 } \\ & ................................. \\ & { u _ n }={ u _{n-1}}+3.(n-1)-1-{{2.5}^{n-1}} \\ \end{align} $

Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra:

$ { u _ n }=1+3\left[ 1+2+3+...+(n-1) \right]-(n-1)-2\left[ { 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} \right] $

Trong đó: $ 1+2+3+...+(n-1)=\dfrac{(n-1)n} 2 $

Và tổng $ A={ 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} $ là tổng của $ n-1 $ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất $ { a _ 1 }=5 $ , công bội $ q=5 $

$ \Rightarrow A={ S _{n-1}}={ a _ 1 }\dfrac{1-{ q ^{n-1}}}{1-q}\Rightarrow A=5.\dfrac{1-{ 5 ^{n-1}}}{-4}=-\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 $

$ \begin{align} & { u _ n }=2-n+3\dfrac{(n-1)n} 2 -2\left[ -\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 \right]=\dfrac{1}{2} (3{ n ^ 2 }-5n+9-{ 5 ^ n }) \\ & \Rightarrow { u _{10}}=-4882683 \\ \end{align} $

Câu 15: Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đé tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là $ 12288{ m ^ 2 } $ . Tính diện tích mặt trên cùng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội là:

$ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=12288{ m ^ 2 } \\ & q=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right. $

Vì tháp có 11 tầng nên diện tích mặt trên cùng là số hạng thứ 12 của cấp số

$ \Rightarrow S={ u _{12}}={ u _ 1 }.{ q ^{12-1}}={ u _ 1 }.{ q ^{11}}=12288.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{11}}=6{ m ^ 2 } $

Câu 16: Tìm số lớn thứ nhì trong bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở giữa là 12 ? (Biết số lớn nhất trong bốn số đó lớn hơn 12)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi 4 số đó là: $ { a _ 1 },{ a _ 2 },{ a _ 3 },{ a _ 4 } $ . Theo giả thiết ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}
a_2^2 = {a_1}{a_3}\\
2{a_3} = {a_2} + {a_4}\\
{a_1} + {a_4} = 14\\
{a_2} + {a_3} = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{a_1}{q^2} = {a_1}q + {a_2} + 2d\\
{a_1} + {a_2} + 2d = 14\\
{a_1}q + {a_1}{q^2} = 12\\
{a_2} + {a_2} + d = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_2^2 = {a_1}({a_2} + d)(*)\\
{a_2} + 2d = 14 - {a_1}\\
{a_1} = \frac{{12}}{{q + {q^2}}}\\
d = 12 - 2{a_2}
\end{array} \right.\]

Giải hệ trên ta có 4 số đó là: $ \left[ \begin{align} & (2,4,8,12) \\ & \left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right) \\ \end{align} \right. $ ‘

Nhưng do điều kiện giả thiết nên ta tìm được 4 số đó là: $ \left( \dfrac{25} 2 ,\dfrac{15} 2 ,\dfrac{9}{2} ,\dfrac{3}{2} \right) $

Câu 17: Cho cấp số nhân $ ({ u _ n }) $ , Ta luôn có: $ \dfrac{{ S _ n }}{{ S _{2n}}+a{ S _ n }}=\dfrac{{ S _{2n}}-{ S _ n }}{{ S _{3n}}-{ S _{2n}}} $ . Khi đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

$ VT=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}+a\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^{2n}}-1+a{ q ^ n }-a}=\dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a} $

$ VP=\dfrac{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^ n }-1)}{q-1}}{\dfrac{{ u _ 1 }({ q ^{3n}}-1)-{ u _ 1 }({ q ^{2n}}-1)}{q-1}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^{3n}}-{ q ^{2n}}}=\dfrac{{ q ^{2n}}-{ q ^ n }}{{ q ^ n }({ q ^{2n}}-{ q ^ n })}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }} $

$ VT=VP\Leftrightarrow $ $ \dfrac{{ q ^ n }-1}{{ q ^ n }({ q ^ n }+a)-1-a}=\dfrac{1}{{}{ q ^ n }} $

\[\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {q^{2n}} - {q^n} = {q^{2n}} + a{q^n} - 1 - a\\
 \Leftrightarrow a{q^n} + {q^n} - 1 - a = 0\\
 \Leftrightarrow {q^n}(a + 1) - (a + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow (a + 1)({q^n} - 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
{q^n} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]

Câu 18: Cho bốn số lập thành cấp số nhân. Nếu lấy chúng trừ tương ứng cho $ 2,1,7,27 $ ta nhận được một cấp số cộng. Số bé nhất trong bốn số đó là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi các số phải tìm là $ a,aq,a{ q ^ 2 },a{ q ^ 3 } $ (Với $ q $ là công bội của cấp số nhân)

Khi đó theo giả thiết: $ a-2,aq-1,a{ q ^ 2 }-7,a{ q ^ 3 }-27 $ lập thành cấp số cộng

Do đó: $ \left\{ \begin{align} & 2(aq-1)=(a-2)+(a{ q ^ 2 }-7) \\ & 2(a{ q ^ 2 }-7)=(aq-1)+(a{ q ^ 3 }-27) \\ \end{align} \right. $

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}
a{(q - 1)^2} = 7\\
aq{(q - 1)^2} = 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 7\\
q = 2
\end{array} \right.\]

Vậy bốn số đó là: $ 7,14,28,56 $