Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông $\Delta MNP$ và $\Delta NMQ$ dễ dàng ta có NQ=PM

Xét $\Delta MNP$ và $\Delta NMQ$ có $\left\{ \begin{array}{l} NP=MQ \\ NQ=PM \\ MN\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta NMQ\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{NPM}={{48}^{o}}$

Vì BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$ .

Vì CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{BCE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ .

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (theo giả thiết)

Do đó: $\widehat{CBD}=\widehat{BCE}$ .

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (giả thiết); Cạnh BC chung; $\widehat{BCE}=\widehat{CBD}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \,\Delta BEC=\Delta CDB\,(g.c.g)$

$\Rightarrow \,CE=BD\,;\,BE=CD$ .

Vì AB // CD nên $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ (so le trong); $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (so le trong).

Xét tam giác AOB và tam giác COD có:

$\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ (chứng minh trên);

$AB=CD$ (giả thiết)

$\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \,\Delta AOB=\Delta COD\,(g.c.g)$

$\Rightarrow \,OA=OC,\,OB=OD.$

Xét tam giác BMK và tam giác IKM có

$\widehat{IMK}=\widehat{MKB}$ (so le trong do MI // BC);

Cạnh MK chung;

$\widehat{BMK}=\widehat{MKI}$ (so le trong do BM // IK)

$\Rightarrow \,\Delta BMK\,=\Delta IKM\,(g.c.g)\,\Rightarrow \,IK=BM$ . (1)

Vì M là trung điểm của AB nên $AM=BM$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IK=AM=\dfrac{1}{2}AB$ .

Ta có AD // BC nên $\widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A}$

AB // CD nên $\widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C}$

Xét $\Delta AB\text{D}$ và $\Delta C\text{D}B$ có

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} \\ B\text{D}\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta C\text{D}B(g.c.g)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB=C\text{D} \\ A\text{D}=BC \end{array} \right.$

Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\,$

$\Rightarrow \,\widehat{C}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{B} \right)={{180}^{o}}-({{80}^{o}}+{{60}^{o}})={{40}^{o}}$ .

Xét tam giác MNP có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{o}}\,$

$\Rightarrow \,\,\widehat{P}={{180}^{o}}-\left( \widehat{M}+\widehat{N} \right)={{180}^{o}}-\left( {{80}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{60}^{o}}$ .

Xét tam giác ABC và tam giác MPN có:

$\widehat{A}=\widehat{M}={{80}^{o}}$ ; $AC=MN$ (giả thiết) ; $\widehat{C}=\widehat{N}={{40}^{o}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\Delta ABC=\Delta MPN\,(g.c.g) \\ \Rightarrow \,AB=MP\,;\,BC=NP. \end{array}$

Vì BM là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}{{.50}^{o}}={{25}^{o}}$ .

Xét tam giác ABM có: $\widehat{BAM}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}={{180}^{o}}\,$

$\Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{180}^{o}}-\left( \widehat{BAM}+\widehat{ABM} \right)={{180}^{o}}-\left( {{30}^{o}}+{{25}^{o}} \right)={{125}^{o}}$ .

Xét tam giác BCM có: $\widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}={{180}^{o}}$

$\Rightarrow \,\widehat{BMC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{MBC}+\widehat{MCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{25}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{125}^{o}}$ .

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$\widehat{ABM}=\widehat{CBM}$ ; Cạnh BM chung ; $\widehat{AMB}=\widehat{CMB}={{125}^{o}}$

$\Rightarrow \,\Delta ABM=\Delta CBM\,(g.c.g).$

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ );

Cạnh AD chung;

$\widehat{ADB}=\widehat{ADC}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta ACD$ (g.c.g)

$\Rightarrow \,AB=AC\,;\,BD=CD\,;\,\widehat{B}=\widehat{C}$ .

Ta có: $AD\bot BC,\,\,BD=CD$ $\Rightarrow$ AD là đường trung trực của BC.

Xét tam giác AMI và tam giác BNI có:

$\widehat{AIM}=\widehat{BIN}$ (đối đỉnh);

$IM=IN$ (giả thiết);

$\widehat{AMI}=\widehat{BNI}$ (so le trong do AM // BN)

$\Rightarrow \,\Delta AMI=\Delta BNI\,(g.c.g)$

$\Rightarrow \,AM=BN\,;\,AI=BI$

Vì $AI=BI$ và I nằm giữa A và B nên I là trung điểm của AB.

Vì $\,\Delta AMI=\Delta BNI$ nên hai tam giác AIM và BIN có diện tích bằng nhau.

Vì BF // AB nên $\widehat{ABC}=\widehat{CEF}$ (so le trong).

Xét tam giác ABC và tam giác FEC có:

$\widehat{ABC}=\widehat{CEF}$ ; BC = CE (giả thiết) ; $\widehat{ACB}=\widehat{FCE}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta FEC\,(g.c.g)$

$\Rightarrow \,AC=CF.$

Xét tam giác ACE và tam giác BCF có:

AC = CF (chứng minh trên); CE = BC ; $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \,\,\Delta ACE=\Delta FCB\,(c.g.c)$

Xét tương tự ta có: $\Delta ABE=\Delta FEB\,\,\,;\,\,\Delta AEF=\Delta FBA$ .

Vậy có 4 cặp tam giác bằng nhau.

Ta có: $\widehat{AEF}+\widehat{AEB}={{180}^{o}}$ (kề bù);

$\widehat{AFE}+\widehat{AFC}={{180}^{o}}$ (kề bù);

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \,\,\widehat{AEB}=\widehat{AFC}$ .

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (giả thiết);

BE = CF (giả thiết);

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}$

$\Rightarrow \,\,\Delta ABE=\Delta ACF\,(g.c.g)$

$\Rightarrow \,AC=AB=12\,cm\,;\,\,AF=AE=9\,cm\,;\,$

$FC=BE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}.12=4cm.$

Vậy chu vi tam giác AFC là: $AF+AC+FC=9+12+4=25\,(cm).$

Xét tam giác SKH có $\widehat{SHK}+\widehat{SKH}+\widehat{K\text{S}H}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{SKH}={{50}^{o}}$

Tương tự ta có $\widehat{HKI}={{50}^{o}}$

Xét $\Delta SHK$ và $\Delta IHK$ có $\left\{ \begin{array}{l} \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \\ \widehat{SKH}=\widehat{IKH} \\ HK\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( g.c.g \right)$

Nên KH là tia phân giác $\widehat{SKI}$ ; HS=HI; SK= IK

+ Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (so le trong do AB // CD);

Cạnh BD chung;

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong do AD // BC)

$\Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CDB\,(g.c.g)$ .

+ Xét tam giác ABC và tam giác CDA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung;

$\widehat{ACB}=\widehat{DAC}$ (so le trong do AD // BC)

$\Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(g.c.g)$ .

Xét $\Delta \text{DEF}$ có $\widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}}$ nên DE=DF nên $\Delta \text{DEF}$ cân tại D

Mà DI là tia phân giác của $\widehat{E\text{D}F}\Rightarrow \widehat{E\text{D}I}=\widehat{I\text{D}F}$ và DI là đường trung tuyến, đường cao của $\Delta \text{DEF}\Rightarrow FI=EI$

Xét ∆ DIE và ∆ DIF có EI=FI; DE=DF; cạnh DI chung nên ∆ DIE = ∆ DIF

Cho $\Delta$ ABC có $\widehat{\text{B}}=\widehat{C}$ nên AC=AB

Do AD là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}}$

Xét $\Delta AB\text{D}$ và $\Delta AC\text{D}$ có

$\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}}$

$\widehat{\text{B}}=\widehat{C}$

AB=AC

Nên $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (g.c.g)

Xét $\Delta OBK$ và $\Delta OAK$ có

$\widehat{BOK}=\widehat{AOK}$ ( OK là phân giác góc xOy)

Cạnh OK chung;

$\widehat{KBO}=\widehat{K\text{A}O}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow \Delta OBK=\Delta OAK\Rightarrow \widehat{BK\text{O}}=\widehat{AK\text{O}}$ nên OK là phân giác góc AK $\Rightarrow OK\bot AB$

Để $\Delta FGE=\Delta GFH\left( g.c.g \right)$ thì $\widehat{EGF}=\widehat{GFH}\Rightarrow EG\text{//}FH$