Tính chất của tính vô hướng
Định lí
Với ba vectơ →a,→b,→ctuỳ ý và mọi số thưc k ,ta có
1)→a.→b=→b.→a (tính chất giao hoán);
2)→a.→b=0⇔→a⊥→b
3)(k→a).→b=→a(k→b)=k(→a.→b)
4) →a.(→b+→c)=→a.→b+→a.→c (tính chất phân phối đối với phép cộng);
→a.(→b−→c)=→a.→b−→a.→c (tính chất phân phối đối với phép trừ);
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD
a. Chứng minh rằng: AB2+CD2=BC2+AD2+2→CA.→BD
b. Chứng minh: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường thẳng chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Giải
a, Ta có
AB2+CD2−BC2−AD2=(→CB−→CA)2+CD2−CB2−(→CD−→CA)2=−2→CB.→CA+2→CD.→CA=2→CA.(→CD−→CB)=2→CA.→BD
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
b. Từ a ta có: CA⊥BD⇔→CA.→BD⇔AB2+CD2=BC2+AD2
Chú ý:
1) Cho 2 vecto →OA,→OB . Gọi B′ là hình chiếu của B trên đường thằng OA. Khi đó:
- Vecto →OB′ gọi là hình chiếu của vecto →OB trên đường thằng OA
- Công thức →OA.→OB=→OA′.→OB′ gọi là công thức hình chiếu
2) Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M, cắt đường tròn đó tại 2 điểm A và B.
Khi đó, giá trị không đổi →MA.→MB=d2−R2(d=MO) gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là (P)M/(O)
(P)M/(O)=→MA.→MB=d2−R2(d=MO)
3) Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó ( T là tiếp điểm) thì (P)M/(O)=→MT2=MT2
→a=(3;6);→b=(8;−4)
Phương án (I): →a.→b=24−24=0 nên loại (I)
Phương án (II): →a.→b=0 suy ra →a vuông góc →b nên loại (II)
Phương án (III): |→a|.|→b|=√32+62.√82+(−4)2≠0 nên chọn (III)
Ta có →a.→a=10 , →a.→b=−13 suy ra →a(→a+4→b)=−42
Ta có |→a|=√22+(−1)2=√5
|→b|=√(−3)2+42=5
→a.→b=2.(−3)+(−1).4=−10≠0
Phương án 1: →a.→b=2.(−3)+(−1).4=−10≠0
Phương án 2: →a.→b=3.(−3)+(−4).4≠0
Phương án 3: →a.→b=−2.(−6)−3.4=0⇒→a⊥→b
Phương án 4: →a.→b=7.3+(−3).(−7)=42≠0
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.
Bài toán cho →a và →b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ →0 suy ra (→a,→b)=00
Do đó →a.→b=|→a|.|→b|.cos0o=|→a|.|→b|