Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

$y=f(x)=\dfrac{x+1} 2$ .

Ta có: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\dfrac{x+\Delta x+1} 2 -\dfrac{x+1} 2 =\dfrac{\Delta x} 2$ .

Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm suy ra các phương án A, B, C đều đúng.

$\begin{align} & \Delta x=f(x+\Delta x)-f(x)=\left[ {{\left( x+\Delta x \right)}^ 2 }-2(x+\Delta x) \right]-\left( { x ^ 2 }-2x \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2x\,\Delta x+{{(\Delta x)}^ 2 }-2\Delta x \\ \end{align}$

$\Rightarrow \,\,\,\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x-2$ .

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án (3) đúng.

Với hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$ và điểm ${{x}_{0}}$ thuộc khoảng đó, khi đó
$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

(I) Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

(II) Đúng vì

 $\begin{align}& \Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=\Delta x+{{x}_{0}} \\ & \Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \\ & \Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x} \\ \end{align}$

(III) Đúng vì

Đặt $h=\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=h+{{x}_{0}},$ $\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$

$\Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}$

Vậy (IV) là đáp án sai.

$y=f(x)=2{ x ^ 2 }+3$

Ta có:

$\begin{align} & \Delta y=f({ x _ o }+\Delta x)-f({ x _ o })=f(1+\Delta x)-f(1) \\ & \,\,\,\,\,\,\,=\left[ 2{{(1+\Delta x)}^ 2 }+3 \right]-\left[ {{2.1}^ 2 }+3 \right] \\ & \,\,\,\,\,\,\,=2{{(\Delta x)}^ 2 }+4\,\Delta x. \\ \end{align}$

$\begin{array}{l} \Delta y = f({x_o} + \Delta x) - f({x_o})\\  = 3{({x_o} + \Delta x)^3} - 3x_o^3\\  = 9x_o^2.\Delta x + 9{x_o}.{(\Delta x)^2} + 3{(\Delta x)^3} \end{array}$

Với ${ x _ o }=1$ và $\Delta x=1$ ta có: $\Delta y=21$ .

Với hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$ và điểm ${{x}_{0}}$ thuộc khoảng đó, khi đó

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\kern 1pt} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$