Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\]thường được tìm như sau :
Tìm hai đường thẳng \[a,b\] lần lượt thuộc \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\], đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng \[\left( \gamma \right)\] nào đó; giao điểm \[M=a\cap b\] chính là điểm chung của \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\].
Ví dụ: Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \[M\] thuộc cạnh \[SA\]. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
a) \[\left( SAC \right)\] và \[\left( SBD \right)\] b) \[\left( SAC \right)\] và \[\left( MBD \right)\]
c) \[\left( MBC \right)\] và \[\left( SAD \right)\] d) \[\left( SAB \right)\] và \[\left( SCD \right)\]
Lời giải:
a) Gọi \[O=AC\cap BD\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\
O \in BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)
\end{array}\]
Lại có \[S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\]
\[\Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\].
b) \[O=AC\cap BD\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\
O \in BD \subset \left( {MBD} \right)
\end{array} \right.\]\[\Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\].
Và \[M\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\Rightarrow OM=\left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\].
c) Trong \[\left( ABCD \right)\] gọi \[F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\
F \in AD \subset \left( {SAD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\]
Và \[M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\Rightarrow FM=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\]
d) Trong \[\left( ABCD \right)\] gọi \[E=AB\cap CD\], ta có \[SE=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\].
Gọi \(J=AN\cap BM\).
Ta có \(\left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=S\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\begin{align}
& J\in AN,AN\in \left( SAN \right)\Rightarrow J\in \left( SAN \right) \\
& J\in BM,BM\in \left( SBM \right)\Rightarrow J\in \left( SBM \right) \\
& \Rightarrow \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=J\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
\end{align}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=SJ\)
Gọi G là giao điểm của AN và MD
B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
G là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là BG.
Ta có: \(\left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Hai mặt phẳng có một điểm trung có thể trùng nhau. Do đó phát biểu "Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất" là sai.
Gọi $J=AN\cap BM$.
Ta có $S \in \left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
$ \left\{\begin{array}{l} J \in AN,AN \subset \left( SAN \right) \Rightarrow J \in \left( SAN \right)\\ J \in BM, BM \subset \left( SBM \right) \Rightarrow J \in \left( SBM \right) \end{array}\right. \Rightarrow J \in \left( SAN \right) \cap \left( SBM \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\left( SAN \right)\cap \left( SBM \right)=SJ$.
Gọi O là giao 2 đường chéo trong hình bình hành
\(\begin{align}
& \left( IAC \right)\equiv \left( SAC \right),\left( JBD \right)\equiv \left( SBD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO\Rightarrow \left( IAC \right)\cap \left( JBD \right)=SO \\
\end{align}\)
Gọi O là giao 2 đường chéo trong hình bình hành, dễ nhận thấy M,N,O thẳng hàng. Ta có: S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC)
O là điểm chung thứ hai phẳng của 2 mp (SMN) và (SAC)
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO.
Gọi G là giao điểm của AN và MD
B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
G là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN)
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là BG.
$\left( SAH \right)\cap \left( SBC \right)=SE, E$ là giao của AH với BC.
Nên $\left( SAH \right)\cap \left( SBC \right)=SH$ là sai.
Ta có $\left( SAO \right)\equiv \left( SAC \right),\left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC$
$\Rightarrow \left( SAO \right)\cap \left( SBC \right)=SC$
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất là sai.
Vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Ta có \(\left( SDO \right)\equiv \left( SBD \right),\left( SBD \right)\cap \left( SBC \right)=SB\Rightarrow \left( SDO \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Ta có: \(\left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=SB\)
Giao tuyến của hai mặt $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ là đường thẳng $SA$.
Ta có $\left( SDO \right)\equiv \left( SBD \right),\left( SBD \right)\cap \left( SBC \right)=SB\Rightarrow \left( SDO \right)\cap \left( SBC \right)=SB$
Ta có \(\left( SAO \right)\equiv \left( SAC \right),\left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC\Rightarrow \left( SAO \right)\cap \left( SBC \right)=SC\)
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {H \in SB,SB \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow H \in \left( {SBD} \right)}\\ {H \in \left( {CHK} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow H \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {CHK} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {K \in SD,SD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right)}\\ {K \in \left( {CHK} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {CHK} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right). \end{array}$
$\Rightarrow \left( SBD \right)\cap \left( CHK \right)=HK$.
Ta có $S \in \left( MSB \right); \left( SAC \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Gọi \(I=AC\cap BM\)
\[I \in \left( {MSB} \right);\left( {SAC} \right)\left( 2 \right)\]
Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow \left( MSB \right)\cap \left( SAC \right)=SI$
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau là đáp án sai.
Phát biểu đúng phải là
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
Sử dụng tính chất: Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến của chúng đồng quy hoặc song song với nhau.
Ta có:
$ \left. \begin{align} & S\in (SAB)\cap (SCD) \\ & (SAB)\cap (ABCD)=AB \\ & (SCD)\cap (ABCD)=CD \\ & AB//CD \\ \end{align} \right\}\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx//AB//CD $
$ \Rightarrow $ Khẳng định 1, 2, 3 đúng .
Do $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung là $S$ nên $S \in d$. Mà AD//BC nên giao tuyến cần xác định là $d$ qua $S$ và song song với $BC$.