Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa

Cho hàm số $f$ có đạo hàm cấp $n-1$ (với $n\in N,n\ge 2$) là ${{f}^{\left( n-1 \right)}}$ . Nếu ${{f}^{\left( n-1 \right)}}$ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số $f$ và ký hiệu là ${{f}^{\left( n \right)}}$ . Nói cách khác,

${{f}^{\left( n \right)}}=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}} \right]',\left( n\in N,n\ge 2 \right)$

Đạo hàm cấp n của hàm số $y=f\left( x \right)$ còn được kí hiệu là ${{y}^{\left( n \right)}}$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1$. Tính ${{y}^{\left( 3 \right)}}$.

Ta có:

$y'=4{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-4x+1$ ,

$y''=\left( y' \right)'=12{{x}^{2}}+36x-4$ ,

${{y}^{\left( 3 \right)}}=\left( y'' \right)'=24x+36$

CHÚ Ý: Với những bài toán tính đạo hàm cấp quá lớn hay những bài toán dạng tổng quát yêu cầu tính đạo hàm cấp n, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tính $f'\left( x \right),f''\left( x \right),{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right),..$ . Từ đó quan sát các kết quả và dự đoán công thức chung cho ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)$.

Bước 2: Dùng quy nạp để chứng minh cho dự đoán trên là đúng.

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số $\dfrac{1}{{}x+1}$

Ta có 

$\begin{array}{l} y' =  - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}};y'' = \dfrac{2}{{{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}\\ y''' = \dfrac{{ - 2.3}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}...... \end{array}$

Ta dự đoán ${{\left( \dfrac{1}{{}x+1} \right)}^{(n)}}=\dfrac{{{(-1)}^ n }.n!}{{{(1+x)}^{n+1}}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k$ ta chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$

${{\left( \dfrac{1}{{}x+1} \right)}^{(k+1)}}={{\left( \dfrac{{{(-1)}^ k }.k!}{{{(1+x)}^{k+1}}} \right)}^{\prime }}={{(-1)}^ k }.k!.\dfrac{-1.(k+1)}{{{(1+x)}^{k+2}}}.$