Định nghĩa tích phân

Định nghĩa tích phân

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Định nghĩa tích phân

MỤC LỤC

Lý thuyết về Định nghĩa tích phân

Cho hàm số $f$ liên tục trên $K$ và $a; b$ là hai số bất kì thuộc $K$ . Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của $f$ từ $a$ tới $b$ , kí hiệu là $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}.$

Người ta còn dùng kí hiệu $\left. F(x)\right|_{a}^{b}$ để chỉ hiệu số $F(b) - F(a)$ . Khi đó ta có thể viết $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} = \left. F(x)\right|_{a}^{b} = \left.\left( \int{f(x) dx}\right)\right|_{a}^{b}.$

$a, b$ được gọi là hai cận của tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f(x)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $x$ là biến số lấy tích phân. Kết quả của tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số lấy tích phân, có nghĩa là $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b} {f(u)du}=\int\limits_{a}^{b} {f(t)dt}=\cdots$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=3;f\left( 3 \right)=1$ . Khi đó, $I=\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)d\text{x}}$ bằng

A
$-2$
B
$2$
C
$3$
D
$4$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $I=\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)d\text{x}}=f\left( 3 \right)-f\left( 0 \right)=-2$

Câu 2: Nếu $f\left( 1 \right)=2,\mathsf{ }f'(x)$ liên tục và $\int\limits_{1}^{2}{f'(x)dx}=8$ , thì giá trị của $f(2)$ bằng:

A
$10$
B
$12$
C
$8$
D
$6$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\int\limits_{1}^{2}{f'(x)dx}=8\Leftrightarrow f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=8\Rightarrow f\left( 2 \right)=f\left( 1 \right)+8=10$

Câu 3: Nếu $f\left( 2 \right)=-5,f'\left( x \right)$ liên tục $\left( 0;+\infty \right)$ và $\int\limits_{2}^{5}{f'\left( x \right)dx}=3$ thì $f\left( 5 \right)$ bằng

A
$8$
B
$-8$
C
$-2$
D
$2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $3=\int\limits_{2}^{5}{f'\left( x \right)dx}=\left. f\left( x \right) \right|_{2}^{5}=f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)=-2$

Câu 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ , $t$ là biến số. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

A
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}$
B
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}$
C
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=-\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}$
D
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=F\left( a \right)-F\left( b \right)$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì tích phân của hàm số không phụ thuộc vào biến số nên $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}$

Câu 5: Cho $\int{f\left( x \right)}dx=F\left( x \right)+C$ , biết $F\left( a \right)=m;F\left( b \right)=n;$ khi đó $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=...$

A
$m$
B
$m-n$
C
$n$
D
$n-m$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=F\left( b \right)-F\left( a \right)=n-m$

Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ . Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=8,F\left( a \right)=-3$ . Khi đó, $F\left( b \right)$ bằng

A
$4$
B
$3$
C
$11$
D
$5$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$ $\Leftrightarrow F\left( b \right)+3=8\Leftrightarrow F\left( b \right)=5$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới