Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Ta có: $AC > AB\Rightarrow {{\widehat{B}}_{2}} > {{\widehat{C}}_{2}}$

Mà ${{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{2}}={{180}^{o}}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{2}}={{180}^{o}}$

Do đó ${{\widehat{B}}_{1}} < {{\widehat{C}}_{1}}.$

Vậy góc ngoài đỉnh B nhỏ hơn góc ngoài đỉnh C.

Xét tam giác MBB’ có MB = MB’

$\Rightarrow MB{B}'$ cân tại M

Nên $\widehat{M{B}'B}=\widehat{MBB'}$ ( tính chất tam giác cân)

Ta có $\widehat{MBC}=\widehat{MB{B}'}+\widehat{B'BC}=\widehat{MB'B}+\widehat{B'BC} > \widehat{MB'B}$ .

Vậy $\widehat{MBC} > \widehat{MB'B}$ .

$\Delta ABD=\Delta HBD$ (cạnh huyền-góc nhọn) $\Rightarrow BA=BH.$

$\Delta DHC$ vuông tại H $\Rightarrow DC > DH.$

Ta lại có: $DA=DH$ (do $\Delta ABD=\Delta HBD$ ) nên $DA < DC.$

Xét tam giác $\Delta BAM\,$ và $\Delta CEM$ có

MA = ME

MB = MC

$\widehat{BMA}=\widehat{CME}$

$\Delta BAM=\Delta CEM\,\,\left( c-g-c \right)$

nên $\widehat{ABM}=\,\,\widehat{MCE}\,\,={{90}^{0}}$ .

Xét tam giác $CEM$ có $\widehat{MCE}={{90}^{0}}$ nên $EC < EM$ và $EA\,\,=\,\,2AM$ .

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Vì tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC, điểm $D\in$ Bx nên $\widehat{DBC} < \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{ACB}$ . (1)

Vì điểm D nằm ngoài tam giác ABC nên $\widehat{BCD} > \widehat{ACB}$ . (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{BCD}$ .

Xét tam giác BCD có: $\,\widehat{DBC} < \widehat{BCD}$ $\Rightarrow \,\,CD < BD$ .

Tam giác ABC có $AB < AC$ $\Rightarrow \widehat{ACB} < \widehat{ABC}$

Mà ${{\widehat{B}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác)

$\Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}$ .

Xét $\Delta IBC$ có ${{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}\,\,\Rightarrow \,IB < IC$ .

Do $AB < BC < CA$ nên $\widehat{C}\,\, < \widehat{A} < \,\,\widehat{B}\,\Rightarrow 3\,\widehat{C} < \,\widehat{C}\,\,+\widehat{A}+\,\,\widehat{B}\,\,={{180}^{0}}\,\Rightarrow \,\widehat{C}\, < \dfrac{{{180}^{0}}}{3}\,=\,{{60}^{0}}$ .

Vì cạnh AB là cạnh nhỏ nhất nên góc C đối diện với cạnh AB là góc nhỏ nhất.

Khi đó: $\widehat{C}\le \widehat{B};\,\,\widehat{C}\le \widehat{A}.$

Ta có: $3\widehat{C}\le \widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{A}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}\le {{60}^{0}}.$

Vì $\Delta ABC$ đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{ACB}={{60}^{o}}$

Ta có: ${{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{A}={{60}^{0}}$ (góc ngoài); ${{\widehat{C}}_{1}} < \widehat{ACB}={{60}^{0}}$

Do đó trong tam giác có: ${{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{B} > \widehat{{{C}_{1}}}\,\,\Rightarrow$ $BC > CD > BD.$

Tam giác $MB{B}'$ cân tại $M$ , Gọi $H$ là trung điểm của $B{B}'$ nên $MH\bot B{B}'$ .

Xét tam giác MHB vuông tại H

Có cạnh MH đối diện góc B; cạnh MB đối diện góc $\widehat{MHB}$

Mà góc $\widehat{MHB}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow MH < MB$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$

Áp dụng định lí Pitago

$\begin{array}{l} A{{C}^{2}}+\,\,A{{B}^{2}}=\,\,B{{C}^{2}}\Rightarrow \,\,A{{C}^{2}}\,=\,B{{C}^{2}}\,-\,A{{B}^{2}}\,={{10}^{2\,}}\,-\,{{6}^{2}}\,={{8}^{2}} \\ \Rightarrow AC=8 \end{array}$

Ta có $BC > AC > AB\,$ do $\left( 10 > 8 > 6 \right)$ nên $\widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}$ .

Góc ở đáy nhỏ hơn ${{60}^{0}}$ thì góc ở đỉnh lớn hơn ${{60}^{0}}$ .

Do đó cạnh đáy lớn hơn cạnh bên.

Xét tam giác ABC

Ta có $\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}-{{35}^{0}}={{95}^{0}}$ nên $\widehat{C} > \widehat{A} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,AB\,\, > \,BC\,\, > \,AC$

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$ là $AB$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất

$\Rightarrow \,\,AB < AC\,;\,\,BC < AC$ .

Ta có: $\widehat{ACD} > \widehat{B}$ (góc ngoài $\Delta ABC$ ) nên $\widehat{ACD} > {{90}^{0}}.$

$\Delta ACD$ có: $\widehat{ACD} > {{90}^{0}}$ $\Rightarrow$ $AD > AC.$

Xét tam giác $ABD$ vuông tại A có $\widehat{ABD}+\widehat{ADC}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow \,\,\widehat{ADB}={{90}^{o}}-\widehat{ABD}={{90}^{o}}-{{20}^{o}}={{70}^{o}}$ .

Ta có: $\widehat{ADB}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}$ (kề bù) $\Rightarrow \,\,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{70}^{o}}={{110}^{o}}$ .

Khi đó: $\Delta ABD$ có $\widehat{ABD} < \widehat{ADB} < \widehat{A}\,\,\Rightarrow$ $AD < AB < BD$ . (1)

$\Delta BDC$ có $\widehat{DCB} < \widehat{DBC} < \widehat{ADC}\,\,\Rightarrow$ $BD < DC < BC$ . (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AD < AB < BD < DC < BC.$

Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất.

Nên cạnh huyền (đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.

Ta có $\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{110}^{0}}-{{30}^{0}}={{40}^{0}}$ nên ta có $\widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,BC\,\, > \,AB\,\, > \,AC$ .

Vậy cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất, tam giác $ABC$ là tam giác tù.